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[摘要]本文从构造方程模型、构造不等式组、构造函数关系、构造直角三角形来解决数学实际问题，从而提高教学质量。
[关键词]构造；模型；解决问题
当进入九年级中考复习阶段，学生对初中数学基础知识、基本概念进行系统复习之后，教师指导学生总结、提升，掌握初中阶段所学到的数学思想、方法，在解决应用题时，若能适当构造好数学模型，解决数学应用题就能达到事半功倍的效果。
下面是笔者就以初中阶段常见的几类应用题举例来进行说明如何构建数学模型：
一、构造方程模型，解决实际问题
1、构造二元一次方程组解决际问题：
例1（2012年，来宾）有甲、乙两种车辆参加来宾市“桂中水城”建设工程挖渠运土，已知5辆甲种车和4辆乙种车一次可运土共140立方米，3辆甲种车和2辆乙种车一次可运土共76立方米，求甲、乙两种车每辆一次可分别运土多少立方米？
解：设甲种车辆一次运土x立方米，乙种车辆一次运土y立方米，乙种车辆一次运土y立方米，
由题意得：5x+4y=1403x+2y=16
解得：x=12y=20
答：甲、乙两种车第辆一次可分别运土12立方米和20立方米。
解答本题关键设出两个未知数，根据题意找出合适的两个等量关系，从而列出方程组。
2、构造一元二次方程，解应用题
例2（2012年，娄底）为解决群众看病贵的问题，有关部门决定降低药价，对某种原价为289元的药品进行连续两次降价后为256元，设平均每次降价的百分率为x，则下面所列方程正确的是（ ）
A、289（1-x）2=256 B、256（1-x）2=289
C、289（1-2x）=256 D、256（1-2x）=289
解析：设根据关键语句“连续两次降价后为256元”设平均每次降价的百分率为x，则第一次降价售价为289（1-x），则第二次降价为289（1-x）2，由题意得289（1-x）2=256，此题主要考查求平均变化率的方法，若设变化前的量为a，变化后的量为b，平均变化率为x，经过两次变化后的数量关系为a（1±x）2=b。
3、构造分式方程，解应用题
例3（2013年，云南）建设商店经销某品牌计算器，4月份销售额为2000元，为扩大销售量，5月份该商店对这种计算器打九折销售，结果销售量增加20台，营业额增加700元，求5月份的销售单价。
解：设四月份的销售单价为x元/台，则5月份的销售单价为0.9x元/台，根据题意得27000.9x-2000x=20
解得x=50
经检验为x=50是原分式方程的解
所以0.9x=0.9×50=45（元/台）
故：5月份的销售单价为45元/台
解决本题的关键在于能用分式表示4、5月份的销售量，利用两月的销售量的差得到分式方程从而得解。
二、构造不等式组，解决实际问题
例4（2013年，云南样卷）某公司经营甲、乙两种商品，每件甲种商品进价12万元，售价14.5万元；每件乙种商品进价8万元，售价10万元，且它们的进价和售价始终不变。现准备购进甲、乙两种商品共20件，所用资金不低于190万元，不高于200万元，问该公司有哪几种进货方案？
解：设该公司购进甲种商品x件，则购进乙种商品（20-x）件，由题意得：
190≤12x+8（20-x）≤200
解得：7.5≤x≤10
因为x只取整数，所以x=8，9，10
故该公司有三种进货方案
方案一：购进甲种商品8件，乙种商品12件。
方案二：购进甲种商品9件，乙种商品11件。
方案三：购进甲种商品10件，乙种商品10件。
三、构造函數关系，解决实际问题
1、根据实际问题，列出相应的一次函数解析式，再根据一次函数的性质对实际问题中的方案进行比较，从而解决问题，比如在例4中，问：该公司采用哪种进货方案可获得最大利润？最大利润是多少？
解：设该公司应进甲商品x件，可获利润为y万元，由题意得：
y=2.5x+2（20-x）
整理得y=0.5x+40
可见y是x的一次函数，且y随x的增大而增大
所以，当x=10时，y最大=0.5×10+40=45（万元）
因此，该公司应采用方案三进货，可获利最大利润45万元。
2、例5某租凭公司有同一型号的设备40套，经过一段时间的经营发现；当年套设备的月租金为270元时，设备恰好全部租出，在此基础上，当年套设备的月租金每提高10元时，这种设备就少租出一套，且未租出的每一套设备每月需要支出费用（维护费，管理费）20元，设每套设备的月租金为x（元），租凭公司出租该型号设备的月收益为y（元），（注收益=租金收入-支出费用）。
（1）求y与x之间的函数关系；
（2）当x为何值时，租凭公司出租该型号设备的月收益最大？最大月份收益是多少？
解：（1）略y= - 110x2+6.5x+540；
（2）y= - 110x2+6.5x+540=- 110（x-325）2+11102.5
当x=325时，y有最大值11102.5，但是，当每套设备的月租金为325地时，租出设备的套数为40 - 325-27010 =34.5套，而345不是整数，故租出的设备就是34套或35套。
当租出的设备为34套时，由40 - x-27010 =34，得x=330；
当租出的设备为35套时，由40 - x-27010 =35，得x=320；
因此，当每套设备的月租金为330元或320元时，租凭公司的月收益最大，最大月收益为11100元。
由此可见，构造二次函数模型可解决求最大（小）值问题。
四、构造直角三角形，解决实际问题
例6（2013年，云南样卷）已知小岛C在A地的北偏东600方向，从A地向正东方向走了100米到达B地，此时，小岛C在B地的北偏东300方向，请你利用测得的相关数据，求小岛C距A地的距离。
分析：此题只要构造出适当的直角三角形，利用解直角三角形的方法，即可求解。
解法1：如图①，过点B作BD⊥AB，垂点为B，交AC于点D，则得Rt△ABD解直角三角形ABD，而得到答案。
解法2：如图②，过点C作CE⊥AB交AB的延长线于点E，则得到Rt△ACE和Rt△BCE，解Rt△ACE与Rt△BCE，而得到答案。
解法3：过点B作BF⊥AC，垂点为F，得到Rt△AFB，解Rt△ABF而得到答案。
如在图②中，由题意知∠BAC=30o，∠ABC=120o，由三角形到内角和可求得∠ACB=30o，AB=BC=100（米），在Rt△BCE中，∠CBE=60o，
CE=BCsin∠CBE=100sin60o=503 （米），在Rt△ACE中，∠CAE=30o，故AC=2CE=1003 （米），因为小岛C距A地的距离为1003 米。
综上所述，把实际问题抽象成数学问题，建立合适的数学模型。其实质过程是：通过化归思想，把不熟悉的问题化为熟悉的问题，把复杂的问题化为简单的问题，把难解决的问题，化为容易解决的问题，从而促进问题的解决。
参考文献：
云南2013中考《面对面》第9年第9版
[关键词]构造；模型；解决问题
当进入九年级中考复习阶段，学生对初中数学基础知识、基本概念进行系统复习之后，教师指导学生总结、提升，掌握初中阶段所学到的数学思想、方法，在解决应用题时，若能适当构造好数学模型，解决数学应用题就能达到事半功倍的效果。
下面是笔者就以初中阶段常见的几类应用题举例来进行说明如何构建数学模型：
一、构造方程模型，解决实际问题
1、构造二元一次方程组解决际问题：
例1（2012年，来宾）有甲、乙两种车辆参加来宾市“桂中水城”建设工程挖渠运土，已知5辆甲种车和4辆乙种车一次可运土共140立方米，3辆甲种车和2辆乙种车一次可运土共76立方米，求甲、乙两种车每辆一次可分别运土多少立方米？
解：设甲种车辆一次运土x立方米，乙种车辆一次运土y立方米，乙种车辆一次运土y立方米，
由题意得：5x+4y=1403x+2y=16
解得：x=12y=20
答：甲、乙两种车第辆一次可分别运土12立方米和20立方米。
解答本题关键设出两个未知数，根据题意找出合适的两个等量关系，从而列出方程组。
2、构造一元二次方程，解应用题
例2（2012年，娄底）为解决群众看病贵的问题，有关部门决定降低药价，对某种原价为289元的药品进行连续两次降价后为256元，设平均每次降价的百分率为x，则下面所列方程正确的是（ ）
A、289（1-x）2=256 B、256（1-x）2=289
C、289（1-2x）=256 D、256（1-2x）=289
解析：设根据关键语句“连续两次降价后为256元”设平均每次降价的百分率为x，则第一次降价售价为289（1-x），则第二次降价为289（1-x）2，由题意得289（1-x）2=256，此题主要考查求平均变化率的方法，若设变化前的量为a，变化后的量为b，平均变化率为x，经过两次变化后的数量关系为a（1±x）2=b。
3、构造分式方程，解应用题
例3（2013年，云南）建设商店经销某品牌计算器，4月份销售额为2000元，为扩大销售量，5月份该商店对这种计算器打九折销售，结果销售量增加20台，营业额增加700元，求5月份的销售单价。
解：设四月份的销售单价为x元/台，则5月份的销售单价为0.9x元/台，根据题意得27000.9x-2000x=20
解得x=50
经检验为x=50是原分式方程的解
所以0.9x=0.9×50=45（元/台）
故：5月份的销售单价为45元/台
解决本题的关键在于能用分式表示4、5月份的销售量，利用两月的销售量的差得到分式方程从而得解。
二、构造不等式组，解决实际问题
例4（2013年，云南样卷）某公司经营甲、乙两种商品，每件甲种商品进价12万元，售价14.5万元；每件乙种商品进价8万元，售价10万元，且它们的进价和售价始终不变。现准备购进甲、乙两种商品共20件，所用资金不低于190万元，不高于200万元，问该公司有哪几种进货方案？
解：设该公司购进甲种商品x件，则购进乙种商品（20-x）件，由题意得：
190≤12x+8（20-x）≤200
解得：7.5≤x≤10
因为x只取整数，所以x=8，9，10
故该公司有三种进货方案
方案一：购进甲种商品8件，乙种商品12件。
方案二：购进甲种商品9件，乙种商品11件。
方案三：购进甲种商品10件，乙种商品10件。
三、构造函數关系，解决实际问题
1、根据实际问题，列出相应的一次函数解析式，再根据一次函数的性质对实际问题中的方案进行比较，从而解决问题，比如在例4中，问：该公司采用哪种进货方案可获得最大利润？最大利润是多少？
解：设该公司应进甲商品x件，可获利润为y万元，由题意得：
y=2.5x+2（20-x）
整理得y=0.5x+40
可见y是x的一次函数，且y随x的增大而增大
所以，当x=10时，y最大=0.5×10+40=45（万元）
因此，该公司应采用方案三进货，可获利最大利润45万元。
2、例5某租凭公司有同一型号的设备40套，经过一段时间的经营发现；当年套设备的月租金为270元时，设备恰好全部租出，在此基础上，当年套设备的月租金每提高10元时，这种设备就少租出一套，且未租出的每一套设备每月需要支出费用（维护费，管理费）20元，设每套设备的月租金为x（元），租凭公司出租该型号设备的月收益为y（元），（注收益=租金收入-支出费用）。
（1）求y与x之间的函数关系；
（2）当x为何值时，租凭公司出租该型号设备的月收益最大？最大月份收益是多少？
解：（1）略y= - 110x2+6.5x+540；
（2）y= - 110x2+6.5x+540=- 110（x-325）2+11102.5
当x=325时，y有最大值11102.5，但是，当每套设备的月租金为325地时，租出设备的套数为40 - 325-27010 =34.5套，而345不是整数，故租出的设备就是34套或35套。
当租出的设备为34套时，由40 - x-27010 =34，得x=330；
当租出的设备为35套时，由40 - x-27010 =35，得x=320；
因此，当每套设备的月租金为330元或320元时，租凭公司的月收益最大，最大月收益为11100元。
由此可见，构造二次函数模型可解决求最大（小）值问题。
四、构造直角三角形，解决实际问题
例6（2013年，云南样卷）已知小岛C在A地的北偏东600方向，从A地向正东方向走了100米到达B地，此时，小岛C在B地的北偏东300方向，请你利用测得的相关数据，求小岛C距A地的距离。
分析：此题只要构造出适当的直角三角形，利用解直角三角形的方法，即可求解。
解法1：如图①，过点B作BD⊥AB，垂点为B，交AC于点D，则得Rt△ABD解直角三角形ABD，而得到答案。
解法2：如图②，过点C作CE⊥AB交AB的延长线于点E，则得到Rt△ACE和Rt△BCE，解Rt△ACE与Rt△BCE，而得到答案。
解法3：过点B作BF⊥AC，垂点为F，得到Rt△AFB，解Rt△ABF而得到答案。
如在图②中，由题意知∠BAC=30o，∠ABC=120o，由三角形到内角和可求得∠ACB=30o，AB=BC=100（米），在Rt△BCE中，∠CBE=60o，
CE=BCsin∠CBE=100sin60o=503 （米），在Rt△ACE中，∠CAE=30o，故AC=2CE=1003 （米），因为小岛C距A地的距离为1003 米。
综上所述，把实际问题抽象成数学问题，建立合适的数学模型。其实质过程是：通过化归思想，把不熟悉的问题化为熟悉的问题，把复杂的问题化为简单的问题，把难解决的问题，化为容易解决的问题，从而促进问题的解决。
参考文献：
云南2013中考《面对面》第9年第9版