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导数是微积分的核心内容之一，是研究函数性质的一种重要工具，广泛应用于物理、化学、生物、天文、地理、经济等各个领域．导数的概念和计算是运用导数研究相关问题的基础，必须牢固掌握．
一、夯实基础
要学好本部分内容，需要我们建设好四个“一”工程：一个概念——导数的概念；一种意义——导数的几何意义；一组公式——基本初等函数的导数公式；一组法则——导数的运算法则．
1. 导数的定义：函数[y=f(x)]在[x=x0]处的瞬时变化率[limΔx→0ΔyΔx=limΔx→0f(x0+Δx)-f(x0)Δx]，称为函数[y=f(x)]在[x=x0]处的导数，即
[f ′(x0)=limΔx→0ΔyΔx=limΔx→0f(x0+Δx)-f(x0)Δx].
其中[ΔyΔx=f(x2)-f(x1)x2-x1]称为函数[y=f(x)]从[x1]到[x2]的平均变化率．
2. 导数的几何意义：函数[y=f(x)]在[x=x0]处的导数就是函数图象上点[(x0,y0)]处切线的斜率．
3. 基本初等函数的导数公式：
[函数\&导数\&[y=c]\&[y′=0]\&[y=xα]\&[y′=αxα-1(α∈Q)]\&[y=sinx]\&[y′=cosx]\&[y=cosx]\&[y′=-sinx]\&[y=ax]\&[y′=axlna(a>0)]\&[y=ex]\&[y′=ex]\&[y=logax]\&[y′=1xlna(a>0且a≠1)]\&[y=lnx]\&[y′=1x]\&]
4. 导数的运算法则：
（1）[[f(x)±g(x)]′=f ′(x)±g′(x)]
（2）[[cf(x)]′=cf ′(x)]
（3）[[f(x)g(x)]′=f ′(x)g(x)+f(x)g′(x)]
（4）[(f(x)g(x))′=f ′(x)g(x)-f(x)g′(x)g(x)2(g(x)≠0)]
注意：①[[f(x)g(x)]′≠f ′(x)g′(x)]，避免与[[f(x)±g(x)′]=f ′(x)±g′(x)]相混淆. ②法则（4）中的分子是减法，前一部分是分子[f(x)]求导分母[g(x)]不导；后一部分则是分子不导分母导，大家一定要牢记．
二、方法归纳
1. 直接利用导数的定义解题
例1 如果函数[f(x)]是偶函数，且[f ′(0)]存在，求证：[f ′(0)=0]．
分析 由于本题条件给出的函数是抽象函数，无法应用导数公式，因此，我们可以考虑从导数的定义入手．
证明 根据导数定义，我们有
例2 求函数[f(x)=(x-1)+(x-1)2+(x-1)3]在[x=1]处的切线方程．
分析 [x=1]处曲线切线的斜率就是函数在该点处的导数，但如果先求函数的导函数，再求在[x=1]处的导数值的话，运算比较复杂．因此，我们可以考虑用定义来解题．
[解 f ′(1)=limΔx→0f(1+Δx)-f(1)Δx=limΔx→0[(1+Δx)-1]+[(1+Δx)-1]2+[(1+Δx)-1]3Δx]
又[f(1)=0]，由直线方程的点斜式可得切线方程为[x-y-1=0]．
点评 当函数解析式不明确或应用公式计算较复杂时，我们可以考虑回到导数定义上来．回归定义往往是解决疑难问题的一种重要途径，希望引起同学们注意．
2. 正确利用导数的几何意义解题
例3 如果曲线[y=x2+x-3]的某一切线与直线[y=3x+4]平行，求该切线的方程．
分析 由导数的几何意义可知，曲线切线的斜率即为函数在切点处的导数值，于是我们可以先求出切点坐标，再利用直线方程的点斜式求出直线方程．
解 [∵y′=(x2+x-3)′=2x+1]，而直线[y=3x+4]的斜率为3，由导数的几何意义，我们有[2x+1=3⇒x=1]，于是得切点坐标为[(1,-1)]．
∴曲线的切线方程为
[y-(-1)=3(x-1)⇒3x-y-4=0]．
点评 本题与前面两个例子不同，它给出的函数解析式明确且导数易求，因此，我们应该首选导数公式和运算法则来求导数，然后利用导数的几何意义求切线方程．
3. 合理利用导数公式和运算法则解题
例4 求下列函数的导数：
（1）[y=11-x+11+x]；
（2）[y=(1-x)(1+1x)]；
（3）[y=x2+1x]．
分析 例题中的三个函数形式比较复杂，如果不加分析，盲目套用公式，就会给运算带来不便，甚至出错．其实我们可以选取恰当的方法对解析式进行合理变形，转化为较易求导的结构形式，再利用导数公式和运算法则进行求解．
点评 求函数导数，必须熟记基本导数公式，并掌握各种求导法则，学会化繁为简，用简单的方法求出复杂函数的导数．在可能的情况下，求导时应尽量少用甚至不用乘法的求导法则.所以在求导之前，应对函数进行化简，然后再求导，这样可减少运算.
4. 灵活运用导数的实际意义解题
例5 一杯80℃的热红茶置于20℃的房间里，它的温度会逐渐下降，温度[T]（单位：℃）与时间[t]（单位：min）的关系由函数[T=f(t)]表示．则：（1）[f ′(t)]的含义是什么？[f ′(t)]的符号是什么？（2）[f ′(3)=-4]的实际意义是什么？如果[f(3)=60]℃，请画出该函数在[t=3]时的图象的大致形状．
分析 [f ′(t0)]表示瞬时变化率，即“瞬时速度”， [f ′(t0)]的正负反映图象在[t0]附近的变化情况（图象升降）．
解 （1）由导数的物理意义，可知[f ′(t)]表示的含义是温度下降的瞬时速度．
因为热红茶的温度在下降，所以[f ′(t)]的符号是负号，即[f ′(t)<0]．
（2）[f ′(3)=-4]表明[t=3min]时，红茶温度以[4℃/min]的速度下降．
∵[T=f(t)]在点（3，60）处的切线斜率[k=f ′(3)=-4]，
∴[T=f(t)]在点[t=3]时的图象大致形状如图所示.
三、误区警示
1. 混淆自变量和参数导致出错
例6 求函数[y=xcost]（[t]为常数）的导数．
错解 [y′=(xcost)′=x′cost+x(cost)′]
[=cost-xsint.]
错因分析 导数的运算是针对自变量而言的．例题中的[cost]实际上常数，即函数是[cf(x)]型的函数.
正解 [y′=(xcost)′=cost(x)′=cost]．
2. 忽视导数定义中[Δx]与[Δy]的一致性导致出错
例7 已知函数[f(x)]的解析式为[f(x)=ex+1]，则[limΔx→0f(1-2Δx)-f(1)Δx=] ．
错解 ∵[f ′(x)=(ex+1)′=ex]，
∴[limΔx→0f(1-2Δx)-f(1)Δx=f ′(1)=e]．
错因分析 由导数定义，我们有[f ′(x0)=][limΔx→0ΔyΔx=limΔx→0f(x0+Δx)-f(x0)Δx]，其中增量[Δx]的形式可以多种多样，但无论[Δx]选择哪一种形式，[Δy]也必须选择对应的形式，错解显然对导数的概念没有理解透彻，从而忽视了这一点，导致出错．
正解 ∵[f(x)=ex+1]可导，
3. 求[f ′(x0)]的顺序不对导致出错
例8 求函数[f(x)=x2]在[x=2]处的导数．
错解 ∵[f(2)=4]，∴[f ′(2)=0]．
错因分析 错解没有准确区分“函数在某点处的导数”与“导函数”这两个概念. 函数在某点处的导数就是该点处函数的改变量与自变量的改变量的比值的极限，它是一个数值，不是变数；而导函数是指对于区间[(a,b)]内每一个确定的值[x0]，都对应一个导数值[f ′(x0)]，这样就构成一个新的函数[f ′(x)]，同时导函数也简称为导数．函数[y=f(x)]在点[x0]处的导数[f ′(x0)]就是导函数[f ′(x)]在点[x=x0]处的函数值．因此错解中的解题顺序有误，应该先求导函数，再得到导函数值．
正解 ∵[f ′(x)=(x2)′=2x]，∴[f ′(2)=4]．
4. 混淆“过”和“在”导致出错
例9 求曲线[y=3x-x3]的过点[A(2,-2)]的切线方程．
错解 ∵[y ′=(3x-x3)′=-3x2+3]，令[x=2]，得[k=-9]，于是过点[A]的切线方程为
[y+2=-9(x-2)⇒9x+y-16=0]．
错因分析 上面的解答是错误的，把过点[A]的切线理解成在点[A]处的切线．我们一定要深刻理解过某点的切线和在某点的切线的意义. 当点[P]在曲线[y=f(x)]上时，过点[P]的切线有两种可能，一是[P]点就是切点，二是切线以曲线[y=f(x)]上另一点为切点，但该切线经过点[P]．而曲线在点[P]的切线，就只指第一种情形．
正解 设切点为[P(x0,y0)]，则过点[P]的切线方程为[y-y0=(-3x20+3)(x-x0)]. 由点[A]在切线上，有[-2-y0=(-3x20+3)(2-x0)]①且[y0=3x0-x30]②，由①②易得[x0=2]或[x0=-1]. 由直线方程的点斜式可得切线方程为[9x+y-16=0]或[y+2=0]．
一、夯实基础
要学好本部分内容，需要我们建设好四个“一”工程：一个概念——导数的概念；一种意义——导数的几何意义；一组公式——基本初等函数的导数公式；一组法则——导数的运算法则．
1. 导数的定义：函数[y=f(x)]在[x=x0]处的瞬时变化率[limΔx→0ΔyΔx=limΔx→0f(x0+Δx)-f(x0)Δx]，称为函数[y=f(x)]在[x=x0]处的导数，即
[f ′(x0)=limΔx→0ΔyΔx=limΔx→0f(x0+Δx)-f(x0)Δx].
其中[ΔyΔx=f(x2)-f(x1)x2-x1]称为函数[y=f(x)]从[x1]到[x2]的平均变化率．
2. 导数的几何意义：函数[y=f(x)]在[x=x0]处的导数就是函数图象上点[(x0,y0)]处切线的斜率．
3. 基本初等函数的导数公式：
[函数\&导数\&[y=c]\&[y′=0]\&[y=xα]\&[y′=αxα-1(α∈Q)]\&[y=sinx]\&[y′=cosx]\&[y=cosx]\&[y′=-sinx]\&[y=ax]\&[y′=axlna(a>0)]\&[y=ex]\&[y′=ex]\&[y=logax]\&[y′=1xlna(a>0且a≠1)]\&[y=lnx]\&[y′=1x]\&]
4. 导数的运算法则：
（1）[[f(x)±g(x)]′=f ′(x)±g′(x)]
（2）[[cf(x)]′=cf ′(x)]
（3）[[f(x)g(x)]′=f ′(x)g(x)+f(x)g′(x)]
（4）[(f(x)g(x))′=f ′(x)g(x)-f(x)g′(x)g(x)2(g(x)≠0)]
注意：①[[f(x)g(x)]′≠f ′(x)g′(x)]，避免与[[f(x)±g(x)′]=f ′(x)±g′(x)]相混淆. ②法则（4）中的分子是减法，前一部分是分子[f(x)]求导分母[g(x)]不导；后一部分则是分子不导分母导，大家一定要牢记．
二、方法归纳
1. 直接利用导数的定义解题
例1 如果函数[f(x)]是偶函数，且[f ′(0)]存在，求证：[f ′(0)=0]．
分析 由于本题条件给出的函数是抽象函数，无法应用导数公式，因此，我们可以考虑从导数的定义入手．
证明 根据导数定义，我们有
例2 求函数[f(x)=(x-1)+(x-1)2+(x-1)3]在[x=1]处的切线方程．
分析 [x=1]处曲线切线的斜率就是函数在该点处的导数，但如果先求函数的导函数，再求在[x=1]处的导数值的话，运算比较复杂．因此，我们可以考虑用定义来解题．
[解 f ′(1)=limΔx→0f(1+Δx)-f(1)Δx=limΔx→0[(1+Δx)-1]+[(1+Δx)-1]2+[(1+Δx)-1]3Δx]
又[f(1)=0]，由直线方程的点斜式可得切线方程为[x-y-1=0]．
点评 当函数解析式不明确或应用公式计算较复杂时，我们可以考虑回到导数定义上来．回归定义往往是解决疑难问题的一种重要途径，希望引起同学们注意．
2. 正确利用导数的几何意义解题
例3 如果曲线[y=x2+x-3]的某一切线与直线[y=3x+4]平行，求该切线的方程．
分析 由导数的几何意义可知，曲线切线的斜率即为函数在切点处的导数值，于是我们可以先求出切点坐标，再利用直线方程的点斜式求出直线方程．
解 [∵y′=(x2+x-3)′=2x+1]，而直线[y=3x+4]的斜率为3，由导数的几何意义，我们有[2x+1=3⇒x=1]，于是得切点坐标为[(1,-1)]．
∴曲线的切线方程为
[y-(-1)=3(x-1)⇒3x-y-4=0]．
点评 本题与前面两个例子不同，它给出的函数解析式明确且导数易求，因此，我们应该首选导数公式和运算法则来求导数，然后利用导数的几何意义求切线方程．
3. 合理利用导数公式和运算法则解题
例4 求下列函数的导数：
（1）[y=11-x+11+x]；
（2）[y=(1-x)(1+1x)]；
（3）[y=x2+1x]．
分析 例题中的三个函数形式比较复杂，如果不加分析，盲目套用公式，就会给运算带来不便，甚至出错．其实我们可以选取恰当的方法对解析式进行合理变形，转化为较易求导的结构形式，再利用导数公式和运算法则进行求解．
点评 求函数导数，必须熟记基本导数公式，并掌握各种求导法则，学会化繁为简，用简单的方法求出复杂函数的导数．在可能的情况下，求导时应尽量少用甚至不用乘法的求导法则.所以在求导之前，应对函数进行化简，然后再求导，这样可减少运算.
4. 灵活运用导数的实际意义解题
例5 一杯80℃的热红茶置于20℃的房间里，它的温度会逐渐下降，温度[T]（单位：℃）与时间[t]（单位：min）的关系由函数[T=f(t)]表示．则：（1）[f ′(t)]的含义是什么？[f ′(t)]的符号是什么？（2）[f ′(3)=-4]的实际意义是什么？如果[f(3)=60]℃，请画出该函数在[t=3]时的图象的大致形状．
分析 [f ′(t0)]表示瞬时变化率，即“瞬时速度”， [f ′(t0)]的正负反映图象在[t0]附近的变化情况（图象升降）．
解 （1）由导数的物理意义，可知[f ′(t)]表示的含义是温度下降的瞬时速度．
因为热红茶的温度在下降，所以[f ′(t)]的符号是负号，即[f ′(t)<0]．
（2）[f ′(3)=-4]表明[t=3min]时，红茶温度以[4℃/min]的速度下降．
∵[T=f(t)]在点（3，60）处的切线斜率[k=f ′(3)=-4]，
∴[T=f(t)]在点[t=3]时的图象大致形状如图所示.
三、误区警示
1. 混淆自变量和参数导致出错
例6 求函数[y=xcost]（[t]为常数）的导数．
错解 [y′=(xcost)′=x′cost+x(cost)′]
[=cost-xsint.]
错因分析 导数的运算是针对自变量而言的．例题中的[cost]实际上常数，即函数是[cf(x)]型的函数.
正解 [y′=(xcost)′=cost(x)′=cost]．
2. 忽视导数定义中[Δx]与[Δy]的一致性导致出错
例7 已知函数[f(x)]的解析式为[f(x)=ex+1]，则[limΔx→0f(1-2Δx)-f(1)Δx=] ．
错解 ∵[f ′(x)=(ex+1)′=ex]，
∴[limΔx→0f(1-2Δx)-f(1)Δx=f ′(1)=e]．
错因分析 由导数定义，我们有[f ′(x0)=][limΔx→0ΔyΔx=limΔx→0f(x0+Δx)-f(x0)Δx]，其中增量[Δx]的形式可以多种多样，但无论[Δx]选择哪一种形式，[Δy]也必须选择对应的形式，错解显然对导数的概念没有理解透彻，从而忽视了这一点，导致出错．
正解 ∵[f(x)=ex+1]可导，
3. 求[f ′(x0)]的顺序不对导致出错
例8 求函数[f(x)=x2]在[x=2]处的导数．
错解 ∵[f(2)=4]，∴[f ′(2)=0]．
错因分析 错解没有准确区分“函数在某点处的导数”与“导函数”这两个概念. 函数在某点处的导数就是该点处函数的改变量与自变量的改变量的比值的极限，它是一个数值，不是变数；而导函数是指对于区间[(a,b)]内每一个确定的值[x0]，都对应一个导数值[f ′(x0)]，这样就构成一个新的函数[f ′(x)]，同时导函数也简称为导数．函数[y=f(x)]在点[x0]处的导数[f ′(x0)]就是导函数[f ′(x)]在点[x=x0]处的函数值．因此错解中的解题顺序有误，应该先求导函数，再得到导函数值．
正解 ∵[f ′(x)=(x2)′=2x]，∴[f ′(2)=4]．
4. 混淆“过”和“在”导致出错
例9 求曲线[y=3x-x3]的过点[A(2,-2)]的切线方程．
错解 ∵[y ′=(3x-x3)′=-3x2+3]，令[x=2]，得[k=-9]，于是过点[A]的切线方程为
[y+2=-9(x-2)⇒9x+y-16=0]．
错因分析 上面的解答是错误的，把过点[A]的切线理解成在点[A]处的切线．我们一定要深刻理解过某点的切线和在某点的切线的意义. 当点[P]在曲线[y=f(x)]上时，过点[P]的切线有两种可能，一是[P]点就是切点，二是切线以曲线[y=f(x)]上另一点为切点，但该切线经过点[P]．而曲线在点[P]的切线，就只指第一种情形．
正解 设切点为[P(x0,y0)]，则过点[P]的切线方程为[y-y0=(-3x20+3)(x-x0)]. 由点[A]在切线上，有[-2-y0=(-3x20+3)(2-x0)]①且[y0=3x0-x30]②，由①②易得[x0=2]或[x0=-1]. 由直线方程的点斜式可得切线方程为[9x+y-16=0]或[y+2=0]．