“元”是高中数学最基础也是最重要的概念之一，方程中的未知量是“元”，函数中的变量也是“元”.函数从运动与变化的观点出发，基于集合与对应的思想，研究动元y对应于x的动态关系及其特征（函数性质），方程则动中求静探究运动中的等量关系；函数刻画变化的“元”，方程反映稳定的“元”，求零点或解方程的代数过程可简单归结为“消元”；从二元方程的解（x，y）与平面坐标系内的点一一对应考虑，构造相关的函数模型解决复杂的方程或不等式等问题，是函数与方程思想的核心.
　　一、“消元”是函数与方程思想的基础
　　值得注意的是“元”在高中数学中含义的拓展：由单一或多个元组合而成的数学结构（表达式）从本质上都可视为一个新的元，通常所说的“整体换元”正是缘于这一认识.如sin2x 2sinx-3=0中的元更应理解为sinx.深刻理解“元”的内涵是灵活运用函数与方程思想的重要前提.
　　解三角形尽量“全化为边或全化为角的关系”，此外，数列中利用项an与和Sn的相互转化尽量全化为项的关系或全化为和的关系等等，其实质是“减少未知量的种类”；向量用基底表示，归根到底是为了“减少未知量的个数”，这都是“消元”的具体运用.
　　二、数形结合——函数图象是连接方程与不等式的桥梁
　　高中教材以研究基本初等函数的图象性质为载体渗透数形结合的思想，继而将一元方程f（x）=0的解表述为y=f（x）的零点，这为我们理解方程、函数、不等式相互关系提供了感性依据.下列三个小题可作为这类问题的典型代表：①方程x=sinx解的个数；②关于x的方程ax=x（a>0，a≠1）有两个实数解，求实数a的取值范围.③f′（x）>f（x）恒成立，求ef（x）>f（1）ex的解集.①将方程解转换为函数f（x）=x-sinx的“零点”，f（x）为奇函数且单调递增，故有唯一解x=0，②等价变形为lna=lnxx（代数意义“分离参数”），再运用f（x）=lnxx和y=lna的图象（几何叙述为构造定曲线、动直线）；③运用函数f（x）ex的单调性.这类问题集函数性质与图象、方程与不等式等知识于一体，可综合体现函数与方程思想的运用能力.
　　本题可与2014江苏高考第19题对照，知识背景简单，涉及指数和对数函数的图象特征性质（a0=1，lne=1）以及作差比较大小的方法，深层次的知识要求是透彻理解函数单调性的本质即“函数值的大小关系与自变量的大小关系相互转化”；此外，发现方程的解f′（0）=0，g（1）=0，h（e）=e-1等对观察数学式结构的要求较高，由函数性质推测图象，由图象探究函数性质，正是高三学习容易忽视的数学基本能力.
　　三、构造与转换——函数与方程思想的延伸
　　思想不是复杂、深奥的方法，恰恰相反，数学思想总是贯穿在概念的形成、发展、延伸和方法的联系、类比、变化之中，以简约的模式、具体而典型的问题深刻反映数学思维的本质，数学概念不同的语言指向往往从不同的侧面体现数学的思想.结构转换、再构造新的函数或方程以联系相等与不等关系，是运用函数与方程思想的重要技能.
　　例3 已知f（x）=12x2-ax （a-1）lnx（1-1恒成立.
　　分析：以f（m）和f（n）的表达式代入将会陷入繁琐的运算.f（m）-f（n）m-n这个结构在引入导数概念时称为“平均变化率”.f（x）递增ΔyΔx>0f′（x）≥0是对“单调递增”概念及方法体系的完善.f（m）-f（n）m-n>-1即f（m） m-[f（n） n]m-n>0，故即证g（x）=f（x） x（x>0）递增，这是从一个函数向另一个函数性质的转换；由此即证g′（x）=1x[x2 （1-a）x a-1]≥0亦即证t=x2 （1-a）x a-1≥0，这是同一性质不同表述形式之间的转换.∵10恒成立.
　　教材以函数、三角函数、数列、直线与圆为线索不断渗透函数与方程思想，继而以简易逻辑及推理方法引导我们进一步感悟与提升：“等价转化”（充要条件）提供我们分析、简化、逆向思辨问题的能力，归纳与演绎训练猜测、类比、迁移知识的能力，归根到底是为整合数学的思想与方法应用.比例3更高一个层次的问题，如已知a为负实数，f（x）=x-1-alnx，若x1，x2∈（0，1]，|f（x1）-f（x2）|≤4|1x1-1x2|，求a最小值.条件中的不等式也是“自变量大小与函数值大小的关系”，首先要断定从形式上无法变形为与f（x）直接相关的平均变化率，由此只能用导数判断f（x）单调性化简；其次特别注意不等式中的等号反映数学思维的严密性：由f（x）递增，仅当x1=x2原式取等号，故当x1>x2时f（x1） 4x1　　透彻理解数学式或数学结构的含义，特别是数学概念、数学公式中特定数学式的含义，抽象或转化为我们熟悉的基本问题，是代数论证、解几运算的关键，尤其是多元方程或不等式问题，代换消元、整体换元消元、抽象（构造）消元都是高中能力考查的重点.
　　四、回归本质——赋值与待定系数
　　函数基于集合与对应的思想研究运动与变化，寻求对应法则，如求函数表达式、求数列的通项公式、求圆锥曲线的方程等都需“待定系数”，运动中的稳定如何对应，如求函数最（极）值、求数列及二项展开式中的某些项、求曲线的定点定值等问题，简单地说都与“赋值”相关，“待定系数法”与“赋值”是函数与方程思想的基石.
　　例4 曲线C：x23 y2=1下顶点H，直线l斜率k>0且l不过原点，l交C于A，B点且AB中点E，射线OE交曲线C于G且交x=-3于D（-3，m）.
　　（1）能否AH=BH？如能，求l的斜率取值范围，否则说明理由；
　　（2）求m2 k2最小值；
　　（3）OG2=OD·OE，证明l过定点；
　　（4）在（3）条件下，B，G能否对称于x轴？若能，求△ABG外接圆方程.
　　点在直线或曲线上，其实质是给方程“赋值”，求直线或曲线方程，关键是待定系数，无论是求解或减少未知数，其本质都是“消元”，其中点差法可理解为加减消元与整体构造消元的综合.
　　函数与方程思想是高中数学的核心思想，贯穿整个教材的始终.任何代数问题都可归结为方程问题.从整体结构的高度重新认识我们已知的“元”的概念，灵活运用代入消元、加减消元、整体构造消元等方法，简化数学表述或数学结构，故高三学习应“始于识元，成于消元”.
　　（作者：吉冬林，江苏省邗江中学）