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[摘 要：导数是微积分学的入门基础，是联系高等数学与初等数学的纽带。本文对导数在中学数学解题中的应用进行例析，以期拓展学生的解题思路，提高学生分析问题和解决问题的能力。
关键词：导数；解题；应用]
导数在现行的高中数学教材中处于一种特殊的地位，是高中数学知识的一个重要交汇点。近些年来，导数内容越来越受到广大教育工作者的广泛关注，并成为新高考试题的热点和命题新的增长点，尤其是导数广泛的应用性，它为解决切线、函数单调性、极值、不等式、数列等问题带来了新思路、新方法，成为分析问题和解决问题的重要工具。将导数与传统内容结合，不仅能加强能力的考查力度，而且也使试题具有更广泛的实践意义，下面举例探讨导数在高中数学解题中的应用。
一、利用导数解决切线问题
我们知道，求某曲线的切线方程，首先要判断已知点是否在曲线上，若不在曲线上，求出切点的具体坐标，解题时要注意体会如何求切点和利用点斜式写出切线方程的方法，更重要的是，要体会如何利用导数的几何意义来解决这一类问题。
例1.已知曲线y=lnx的切线过原点，则此切线的方程为 。
解：y=lnx的定义域为（0， ∞），且[y’]=[1x]，设切点为（x0，lnx0），则曲线在x=x0处的切线斜率k=[1x0]，切线方程为y-lnx0=[1x0（]x-x0），因为切线过点（0，0），所以-lnx0=-1，解得x0=e，故此切线的斜率为[1e]，故该切线方程为：y-0=[1ex-0即]y=[1e]x。
[思维点拨]：未知切点的曲线切线问题，一定要先设切点，利用导数的几何意义表示切线的斜率建立方程。
二、利用导数解决函数单调性问题
在高中数学函数单调性判断过程中，依据函数单调性判定定理，假设函数y=f（x）在区间a到b中保持连续，并在（a，b）上可导，则通常会出现以下两种情况：①如果在（a，b）上导数关系式大于零，则说明该函数在a到b的范围内单调递增；②如果在（a，b）上导数关系式小于零，则说明该函数在a到b范围内单调递减。
例2.已知函数f（x）=[12]x2 （1-[a）]x-[a]lnx，討论f（x）的单调性。
解：f（x）的定义域为（0， ∞），由已知，得[f’（]x）=x 1-[a]-[ax]=[x2 1-ax-ax]=[（x 1）（x-a）x]。若a≤0，则[f’（]x）>0，此时f（x）在（0， ∞）上单调递增。若a>0，则由[f’（]x）=0，得x=a.当0a时，[f’（]x）>0。此时f（x）在（0，a）上单调递减，在[（a]， ∞）上单调递增。
[思维点拨]：导数法判断或证明单调性的三步骤：一求，求[f’（]x）；二定，确定[f’（]x）在（a，b）内的符号；三结论，[f’（]x）>0时增函数，反之减函数。
三、利用导数解决极值问题
函数的极值是高考的必考内容，题型既有选择题、填空题、也有解答题，难度适中，为中高档题。常见的命题角度有：已知图形判断函数极值；已知函数求极值；已知函数极值情况求参数值（范围）。
例3.已知x=3是函数f（x）=aln（1 x） x2-10x的一个极值点，求a的值。
解：∵f（x）=aln（1 x） x2-10x，∴[f’x=a1 x 2x-10，]又∵x=3是函数f（x）=aln（1 x） x2-10x的一个极值点，∴[f’3=a4 6-10=0]，∴a=16。
[思维点拨]：已知函数极值情况求参数值（范围）的步骤：一求函数的定义域和函数导数[f’（]x）；二用极值判断方程[f’（]x）=0的根的情况；三根据方程[f’（]x）=0的根的情况得到关于参数的方程（不等式）。
四、利用导数解决不等式问题
利用导数证明不等式，就是利用不等式与函数之间的联系，直接或间接等价变形后，结合不等式的结构特征，构造相应的函数，通过导数运算判断出函数的单调性，将不等式的证明转化为函数问题。
例4.若函数y=f（x）在R上可导且满足不等式x[f’（]x）>-f（x）恒成立，且常数a，b满足a>b，求证：a[f（a）]>b[f（b）]。
解：由已知x[f’（]x） f（x）>0∴构造函数F（x）=xf（x），则[F’（]x）=x[f’（]x） f（x）>0，从而F（x）在R上为增函数。∵[a>b]∴[Fa>F（a）]即a[f（a）]>b[f（b）]。
[思维点拨]：由条件移项后x[f’（]x） f（x），容易想到是一个积的导数，从而可以构造函数F（x）=xf（x），求导即可完成证明。若题目中的条件改为x[f’（]x[）>]f（x），则移项后x[f’（]x）-f（x），要想到是一个商的导数的分子，平时解题多注意总结。
五、利用导数解决数列问题
数列是高中数学中的一个重要部分，而数列求和是中学阶段数列部分的重要内容之一。利用导数求数列的和，关键在于抓住和式的结构特征，联想求导公式构造相关的函数式，通过对函数式不同表达形式的求导，来达到问题的解决，体现出用导数法解决有关初等数学的优越性。
例5.求数列[C1n 2C2n 3C3n …… nCnn]的和。
解：观察式中各项的组合数排序类似于二项式中各项中的组合数排列，故[（1 x）n=C0n C1nx C2nx2 …… Cnnxn]，等式两边同时求导，得[n（1 x）n-1=C1n 2C2nx …… nCnnxn-1，]令x=1，得[C1n 2C2n 3C3n …… nCnn=n2n-1]。
[思维点拨]：转换思维角度，由求导公式[（xn）’=nxn-1]，可联想到它们是另外一个和式的导数，利用导数运算可使问题的解决更加简捷。
六、结束语
高中阶段开设导数及其应用具有深刻的意义。作为分析问题和解决问题的重要工具，导数近年已逐渐成为高中考查的热点，它不仅促进学生全面认识了数学的价值，也大大发展了学生的思维能力和辩证分析问题的能力。
作者简介
凌卉（1999—），女，福建宁德人，中央民族大学2017级信息与计算科学系1班学生，研究方向：计算数学。
关键词：导数；解题；应用]
导数在现行的高中数学教材中处于一种特殊的地位，是高中数学知识的一个重要交汇点。近些年来，导数内容越来越受到广大教育工作者的广泛关注，并成为新高考试题的热点和命题新的增长点，尤其是导数广泛的应用性，它为解决切线、函数单调性、极值、不等式、数列等问题带来了新思路、新方法，成为分析问题和解决问题的重要工具。将导数与传统内容结合，不仅能加强能力的考查力度，而且也使试题具有更广泛的实践意义，下面举例探讨导数在高中数学解题中的应用。
一、利用导数解决切线问题
我们知道，求某曲线的切线方程，首先要判断已知点是否在曲线上，若不在曲线上，求出切点的具体坐标，解题时要注意体会如何求切点和利用点斜式写出切线方程的方法，更重要的是，要体会如何利用导数的几何意义来解决这一类问题。
例1.已知曲线y=lnx的切线过原点，则此切线的方程为 。
解：y=lnx的定义域为（0， ∞），且[y’]=[1x]，设切点为（x0，lnx0），则曲线在x=x0处的切线斜率k=[1x0]，切线方程为y-lnx0=[1x0（]x-x0），因为切线过点（0，0），所以-lnx0=-1，解得x0=e，故此切线的斜率为[1e]，故该切线方程为：y-0=[1ex-0即]y=[1e]x。
[思维点拨]：未知切点的曲线切线问题，一定要先设切点，利用导数的几何意义表示切线的斜率建立方程。
二、利用导数解决函数单调性问题
在高中数学函数单调性判断过程中，依据函数单调性判定定理，假设函数y=f（x）在区间a到b中保持连续，并在（a，b）上可导，则通常会出现以下两种情况：①如果在（a，b）上导数关系式大于零，则说明该函数在a到b的范围内单调递增；②如果在（a，b）上导数关系式小于零，则说明该函数在a到b范围内单调递减。
例2.已知函数f（x）=[12]x2 （1-[a）]x-[a]lnx，討论f（x）的单调性。
解：f（x）的定义域为（0， ∞），由已知，得[f’（]x）=x 1-[a]-[ax]=[x2 1-ax-ax]=[（x 1）（x-a）x]。若a≤0，则[f’（]x）>0，此时f（x）在（0， ∞）上单调递增。若a>0，则由[f’（]x）=0，得x=a.当0
[思维点拨]：导数法判断或证明单调性的三步骤：一求，求[f’（]x）；二定，确定[f’（]x）在（a，b）内的符号；三结论，[f’（]x）>0时增函数，反之减函数。
三、利用导数解决极值问题
函数的极值是高考的必考内容，题型既有选择题、填空题、也有解答题，难度适中，为中高档题。常见的命题角度有：已知图形判断函数极值；已知函数求极值；已知函数极值情况求参数值（范围）。
例3.已知x=3是函数f（x）=aln（1 x） x2-10x的一个极值点，求a的值。
解：∵f（x）=aln（1 x） x2-10x，∴[f’x=a1 x 2x-10，]又∵x=3是函数f（x）=aln（1 x） x2-10x的一个极值点，∴[f’3=a4 6-10=0]，∴a=16。
[思维点拨]：已知函数极值情况求参数值（范围）的步骤：一求函数的定义域和函数导数[f’（]x）；二用极值判断方程[f’（]x）=0的根的情况；三根据方程[f’（]x）=0的根的情况得到关于参数的方程（不等式）。
四、利用导数解决不等式问题
利用导数证明不等式，就是利用不等式与函数之间的联系，直接或间接等价变形后，结合不等式的结构特征，构造相应的函数，通过导数运算判断出函数的单调性，将不等式的证明转化为函数问题。
例4.若函数y=f（x）在R上可导且满足不等式x[f’（]x）>-f（x）恒成立，且常数a，b满足a>b，求证：a[f（a）]>b[f（b）]。
解：由已知x[f’（]x） f（x）>0∴构造函数F（x）=xf（x），则[F’（]x）=x[f’（]x） f（x）>0，从而F（x）在R上为增函数。∵[a>b]∴[Fa>F（a）]即a[f（a）]>b[f（b）]。
[思维点拨]：由条件移项后x[f’（]x） f（x），容易想到是一个积的导数，从而可以构造函数F（x）=xf（x），求导即可完成证明。若题目中的条件改为x[f’（]x[）>]f（x），则移项后x[f’（]x）-f（x），要想到是一个商的导数的分子，平时解题多注意总结。
五、利用导数解决数列问题
数列是高中数学中的一个重要部分，而数列求和是中学阶段数列部分的重要内容之一。利用导数求数列的和，关键在于抓住和式的结构特征，联想求导公式构造相关的函数式，通过对函数式不同表达形式的求导，来达到问题的解决，体现出用导数法解决有关初等数学的优越性。
例5.求数列[C1n 2C2n 3C3n …… nCnn]的和。
解：观察式中各项的组合数排序类似于二项式中各项中的组合数排列，故[（1 x）n=C0n C1nx C2nx2 …… Cnnxn]，等式两边同时求导，得[n（1 x）n-1=C1n 2C2nx …… nCnnxn-1，]令x=1，得[C1n 2C2n 3C3n …… nCnn=n2n-1]。
[思维点拨]：转换思维角度，由求导公式[（xn）’=nxn-1]，可联想到它们是另外一个和式的导数，利用导数运算可使问题的解决更加简捷。
六、结束语
高中阶段开设导数及其应用具有深刻的意义。作为分析问题和解决问题的重要工具，导数近年已逐渐成为高中考查的热点，它不仅促进学生全面认识了数学的价值，也大大发展了学生的思维能力和辩证分析问题的能力。
作者简介
凌卉（1999—），女，福建宁德人，中央民族大学2017级信息与计算科学系1班学生，研究方向：计算数学。