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【摘 要】作为高中数学教师,应该对高考压轴题认真分析研究,了解试题背景,摸清命题意图,揭示试题本质,以达到拓宽数学视野的目的。适当的“一题多解”可以促使学生多方面、多层次、多角度地思考问题,从而深化对知识的理解,激活学生的数学思维。
【关键词】高考 压轴题 多解
【中图分类号】G632 【文献标识码】A 【文章编号】1006-9682(2011)10-0160-02
【试题】已知函数f(x)= ,h(x)= 。(I)设函数
F(x)=f(x)-h(x),求F(x)的单调区间与极值;(Ⅱ)设
a∈R,解关于x的方程log4[ f(x-1)- ]=log2h(a-x)-log2h
(4-x);(Ⅲ)试比较f(100)h(100)- (k)与 的大小。
本题以函数为纽带,有机地将函数、方程、数列不等式融为一体,主要考查函数导数的应用、解方程及不等式证明等基础知识,体现了分类与整合、数形结合、函数与方程等数学思想方法,试题采用平行设问方式,各小问之间相互独立,本文就第(Ⅲ)问给出几种解法。
解:(I)、(Ⅱ)略
【解法探究】(Ⅲ)解法一:记
即 ,则 。
=
=
=
故{an}是单调递增数列,故 ,即f(100)h(100)
- (k)> 。
点评:本题将比较函数值大小问题转化为数列问题,即通过探讨数列的单调性达到证明目的。
解法二:先证明:对任何正整数n≥2,有f(n)h(n)- (k)>
,即证对任何正整数n≥2,有
> ,当n=2时,左边 ,结论成立;假设当n=k
(k≥2)时,命题成立,即 ,
当n=k+1时,欲证
> 成立,只须证:(4k+7) -(4k+3) -
(4k+1) >(4k+3)(4k+1)2(k+1)>(4k+3)2k 16k3+24k2+9k+1>16k3+24k2+9k,结论成立。即当n=k+1时,命题也成立,由归纳原理知,对任何n∈N*,结论都
成立。所以,取n=100时,有f(100)h(100)- (k)> 。
点评:凡是与自然数有关的命题,从理论上说都可以用数学归纳法证明。如考生能想到用归纳法证明,则难度并不大,问题
可迎刃而解。
解法三:由已知得 。设数列{an}的前n项和
为Sn,且Sn=f(n)h(n)- (n∈N*),从而有a1=S1=1,当
2≤k≤100时, 。又ak-
=
= 。即对任意的2≤k≤100,有
ak> 。又因为a1=1= ,所以 。故f(100)h
(100)- (k)> 。
点评:虚拟数列{an},将 不能求和的代数式,利用ak>
搭桥,巧妙地链接,通过恰当放缩,完成了对问题的解决,但这种方法对考生的思维能力要求较高(本解法是高考答案提供的解法)。
解法四:由已知得 。设数列{an}的前n项和
为Sn,Sn=f(n)h(n)- ,从而有a1=S1=1,当2≤k≤100
时,ak=Sk-Sk-1= k +- (k-1) -。
又 = (k-
1) =
。即对任意的2≤k≤100,
有ak> ,又因为a1=S1=1,所以 ,故f(100)
h(100)- (k)> 。
点评:思想方法的实质与解法3相同。
解法五:由已知得 。
≤
=
所以 ≤,故f(100)h(100)- (k)
> 。
点评:对于 不能直接求和的式子,通过构造恒等式,
再恰当的放缩求和,但对考生的能力要求较高。
解法六:f(100)h(100)- = 。
=
=
=
。
所以 ,,
…, ,上式叠加得
,化简得
。故f(100)h(100)- (k)> 。
点评:从通项入手,通过一系列放缩转化,利用“拆项相消”的方法达到解题目的。
解法七:f(100)h(100)- = 。在x軸正半轴上依
次取点A1,A2,…,A100,使OA=1,A1A2=1,A2A3=1,…,A99A100=1,过Ai作垂直于x轴的直线交函数h(x)的图象于Pi(1<i<100)。因为函数h(x)= 是上凸函数,所以线段PiPi+1在函数的图象下方,因此梯形AiAi+1 Pi+1Pi的面积小于函数h(x)= 上弧PiPi+1与AiPi、Ai+1Pi+1、AiAi+1所围成的图形的面积。
即: (1≤i≤99)。
所以: 。
。
。
故:f(100)h(100)- (k)> 。
点评:利用高等数学定积分知识和数形结合思想,可以容易获得探索与证明的思路。若是使用“新课标”的考生,则本题是一道较好的中档训练题。
本题较好地体现了现代社会对数学教育的要求,情境朴实,形态简洁明了;采用“以能力立意”的命题思路,注重新旧知识的交汇,着力考查知识和技能的应用能力和迁移潜质,使新课程所倡导的“多样性、交叉性、纵向不深、模向拓宽”的命题要求得以充分地体现;同时突出了高考的选拔功能,具有较高的准确度和区分度。
【启示】高考压轴题往往都有一定的创新,但并非无源之水,而是推陈出新,有根可导,本题就是在高等数学的背景下设置的一道压轴题。作为高中数学教师,应该对高考试题特别是压轴题认真地分析研究,了解试题背景,摸清命题意图,揭示试题本质、以达到拓宽数学视野、居高临下,对高考试题触类旁通、举一反三、创新解题思路的目的,这也是高三数学中把握复习方向的重要基础。
“一题多解”教学,对于拓展学生思维,培养学生分析问题、解决问题能力具有十分重要的意义,适当的“一题多解”可以促使学生多方面、多层次、多角度地去思考问题,从而深化对知识的理解,激活学生的数学思维。
【关键词】高考 压轴题 多解
【中图分类号】G632 【文献标识码】A 【文章编号】1006-9682(2011)10-0160-02
【试题】已知函数f(x)= ,h(x)= 。(I)设函数
F(x)=f(x)-h(x),求F(x)的单调区间与极值;(Ⅱ)设
a∈R,解关于x的方程log4[ f(x-1)- ]=log2h(a-x)-log2h
(4-x);(Ⅲ)试比较f(100)h(100)- (k)与 的大小。
本题以函数为纽带,有机地将函数、方程、数列不等式融为一体,主要考查函数导数的应用、解方程及不等式证明等基础知识,体现了分类与整合、数形结合、函数与方程等数学思想方法,试题采用平行设问方式,各小问之间相互独立,本文就第(Ⅲ)问给出几种解法。
解:(I)、(Ⅱ)略
【解法探究】(Ⅲ)解法一:记
即 ,则 。
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- (k)> 。
点评:本题将比较函数值大小问题转化为数列问题,即通过探讨数列的单调性达到证明目的。
解法二:先证明:对任何正整数n≥2,有f(n)h(n)- (k)>
,即证对任何正整数n≥2,有
> ,当n=2时,左边 ,结论成立;假设当n=k
(k≥2)时,命题成立,即 ,
当n=k+1时,欲证
> 成立,只须证:(4k+7) -(4k+3) -
(4k+1) >(4k+3)(4k+1)2(k+1)>(4k+3)2k 16k3+24k2+9k+1>16k3+24k2+9k,结论成立。即当n=k+1时,命题也成立,由归纳原理知,对任何n∈N*,结论都
成立。所以,取n=100时,有f(100)h(100)- (k)> 。
点评:凡是与自然数有关的命题,从理论上说都可以用数学归纳法证明。如考生能想到用归纳法证明,则难度并不大,问题
可迎刃而解。
解法三:由已知得 。设数列{an}的前n项和
为Sn,且Sn=f(n)h(n)- (n∈N*),从而有a1=S1=1,当
2≤k≤100时, 。又ak-
=
= 。即对任意的2≤k≤100,有
ak> 。又因为a1=1= ,所以 。故f(100)h
(100)- (k)> 。
点评:虚拟数列{an},将 不能求和的代数式,利用ak>
搭桥,巧妙地链接,通过恰当放缩,完成了对问题的解决,但这种方法对考生的思维能力要求较高(本解法是高考答案提供的解法)。
解法四:由已知得 。设数列{an}的前n项和
为Sn,Sn=f(n)h(n)- ,从而有a1=S1=1,当2≤k≤100
时,ak=Sk-Sk-1= k +- (k-1) -。
又 = (k-
1) =
。即对任意的2≤k≤100,
有ak> ,又因为a1=S1=1,所以 ,故f(100)
h(100)- (k)> 。
点评:思想方法的实质与解法3相同。
解法五:由已知得 。
≤
=
所以 ≤,故f(100)h(100)- (k)
> 。
点评:对于 不能直接求和的式子,通过构造恒等式,
再恰当的放缩求和,但对考生的能力要求较高。
解法六:f(100)h(100)- = 。
=
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=
。
所以 ,,
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,化简得
。故f(100)h(100)- (k)> 。
点评:从通项入手,通过一系列放缩转化,利用“拆项相消”的方法达到解题目的。
解法七:f(100)h(100)- = 。在x軸正半轴上依
次取点A1,A2,…,A100,使OA=1,A1A2=1,A2A3=1,…,A99A100=1,过Ai作垂直于x轴的直线交函数h(x)的图象于Pi(1<i<100)。因为函数h(x)= 是上凸函数,所以线段PiPi+1在函数的图象下方,因此梯形AiAi+1 Pi+1Pi的面积小于函数h(x)= 上弧PiPi+1与AiPi、Ai+1Pi+1、AiAi+1所围成的图形的面积。
即: (1≤i≤99)。
所以: 。
。
。
故:f(100)h(100)- (k)> 。
点评:利用高等数学定积分知识和数形结合思想,可以容易获得探索与证明的思路。若是使用“新课标”的考生,则本题是一道较好的中档训练题。
本题较好地体现了现代社会对数学教育的要求,情境朴实,形态简洁明了;采用“以能力立意”的命题思路,注重新旧知识的交汇,着力考查知识和技能的应用能力和迁移潜质,使新课程所倡导的“多样性、交叉性、纵向不深、模向拓宽”的命题要求得以充分地体现;同时突出了高考的选拔功能,具有较高的准确度和区分度。
【启示】高考压轴题往往都有一定的创新,但并非无源之水,而是推陈出新,有根可导,本题就是在高等数学的背景下设置的一道压轴题。作为高中数学教师,应该对高考试题特别是压轴题认真地分析研究,了解试题背景,摸清命题意图,揭示试题本质、以达到拓宽数学视野、居高临下,对高考试题触类旁通、举一反三、创新解题思路的目的,这也是高三数学中把握复习方向的重要基础。
“一题多解”教学,对于拓展学生思维,培养学生分析问题、解决问题能力具有十分重要的意义,适当的“一题多解”可以促使学生多方面、多层次、多角度地去思考问题,从而深化对知识的理解,激活学生的数学思维。