命题1函数f（x）=ax+b（a≠0）满足：f（x1）f（x2）<0，则x0∈（x1，x2），
　　有f（x0）=0.
　　证明：函数f（x）=ax+b的零点即方程ax+b=0的根，由a≠0知方程ax+b=0有实数根x0=-ba，即f（x0）=0.所以只需证x0=-ba∈（x1，x2），由f（x1）f（x2）<0得（ax1+b）（ax2+b）<0即：
　　ba2-（x1+x2）-ba+x1x2<0，解得x1<-ba<x2，所以
　　x0=-ba∈（x1，x2），使f（x0）=0.
　　命题2函数f（x）=ax2+bx+c（a≠0）满足：f（x1）f（x2）<0，则
　　x0∈（x1，x2），有f（x0）=0.
　　证明：函数f（x）=ax2+bx+c（a≠0）的零点即方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根.
　　由题意知Δ=b2-4ac>0（否则不满足f（x1）f（x2）<0），所以方程
　　ax2+bx+c=0（a≠0）有实数根，即x0使f（x0）=0.下证x0∈（x1，x2）.
　　因为a≠0，不妨假设a>0，由f（x1）f（x2）<0得：
　　f（x1）>0，
　　f（x2）<0，或f（x1）<0，
　　f（x2）>0.
　　①当f（x1）>0，f（x2）<0时，有：
　　ax21+bx1+c>0，ax22+bx2+c<0（a>0），
　　由ax21+bx1+c>0得x1+b2a2>b2-4ac4a2.
　　所以x1>-b+b2-4ac2a或x1<-b-b2-4ac2a，
　　由ax22+bx2+c<0得x2+b2a2<b2-4ac4a2.
　　所以-b-b2-4ac2a<x2<-b+b2-4ac2a.
　　又由f（x0）=0，即ax20+bx0+c=0，
　　解得x0=-b±b2-4ac2a.
　　若x1>-b+b2-4ac2a，
　　-b-b2-4ac2a<x2<-b+b2-4ac2a，
　　则x0=-b+b2-4ac2a∈（x1，x2），满足f（x0）=0.
　　若x1<-b-b2-4ac2a，
　　-b-b2-4ac2a<x2<-b+b2-4ac2a，
　　则x0=-b-b2-4ac2a∈（x1，x2），满足f（x0）=0.
　　②当f（x1）<0，f（x2）>0时，同理可证：x0∈（x1，x2），有f（x0）=0.
　　綜上所述，由①、②知命题成立.
　　作者单位：山东省单县第五中学