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【摘 要】 体验学习是一种强调学生主动参与学习体验的学习方式，是践行学为中心教学理念的重要方式.基于体验学习方式，在“最简二次根式”的教学中，引导学生经历“体验感悟、观察反思、抽象归纳、实践应用”等数学活动，使学生主动参与体验学习，在体验、抽象和反思中厘清算理、积累经验、发展能力.
【关键词】 体验学习;数学运算;教学思考
在现实的计算教学中，往往由教师完全主导课堂，表现为注重间接经验的传授（学术学习），突显计算教学的“短、平、快”，却不注重概念、法则的生成教学，忽视直接经验的获得过程（体验学习），常常出现概念模糊不清，法则机械记忆，导致运算困惑或失误.体验学习作为一种重要的学习方式，适切于初中数学运算教学，对提高学生数学运算能力有重要作用.当前，初中数学教师对体验学习方式的研究较少，未引起足够重视.在中国知网以体验学习为主题，检索到837篇文献，其中涉及小学数学教学的30篇，初中数学教学的4篇，而涉及体验学习运用于运算教学的文献为0篇.近期，在苏科版八年级下册第十二章“二次根式化简”的教学中，采用体验学习方式，收到良好的教学效果，现整理成文，以期与各位同仁研讨交流，共同探索体验学习在数学运算教学中的应用策略.
1 体验学习的内涵
体验学习是指学习者亲身经历实际问题的操作、抽象、解释与应用的学习过程，主动建构知识，获得学习方法，发展能力的一种突出“学为中心”的学习方式.这种学习方式的开展需要执教者引导学生将实践与反思相结合，才能获得期望的基础知识和基本技能.它强调学生亲历活动，伴有情绪反应，并对原有经验产生影响[1].学习是一个顿悟的过程，体验学习作为一种学习方式更注重学生的主动探索，借助真实的问题情境直接参与知识、情感的形成过程，它强调在体验中学、思、悟，基于学生的个人理解，学生经历逻辑推理过程，生成学习成果.
在体验学习中，学生自主参与学习任务，获得直接经验，并经由反思和理论抽象丰富直接经验，强化对知识本质的理解.它是一种高度适切于实用技能的学习方式，比如运算教学中法则的生成与运算技能的习得.而与体验学习相对的学术学习，是指不经过任何直接经验而通过学科学习获得信息的过程，比如直接讲授运算法则，通过反复训练而习得运算技能.显然，体验学习更符合学生的心理特点和认知规律，有利于促进学生真学习、发展真能力.
2 体验学习的意义和价值
体验是人类认识世界、获得信息的最重要、最可靠的一种方式[2].美国学者埃德加·戴尔（Edgar Dale）研究发现，在不同的学习方式中，学习效果比较好的学习方式表现出的特征为团队学习、主动学习和参与式学习，学生经历操作、实践等亲身体验，并立即应用的学习方式效果最佳，这就是“学习金字塔”理论，它倡导的是主动学习、亲历体验的教学理念.大卫·库伯（David Kolb）在教育家杜威的“做中学”理念以及其他多位学者的相关研究的基础上，提出了“体验学习”的理论.库伯提出体验学习的四阶段：体验感悟—观察反思—抽象归纳—实践应用.数学运算能力主要表现为：理解对象—掌握法则—探究思路—求得结果，这与体验学习的四阶段是基本一致的，因此，在数学运算教学中，实施体验学习，能切实把学生的主体地位落到实处，使学生真正成为课堂学习的主角，借助问题情境，让学生产生一种学习的激情，践行“学为中心”的教学理念，在体验中获得显性知识和领悟默会知识，发展学生的数学运算素养.
3 教学案例
3.1 教材简析
本课之前分别学习了二次根式的乘法、除法、化简等内容.本课内容为最简二次根式，教学重点是将被开方数中含分母或分母中含根号的二次根式化简为最简二次根式，教学难点是ab或ab中的b中含有能开得尽方的因数或因式的二次根式化简.
3.2 教学过程
（1）体验感悟
问题1 在进行二次根式的乘除运算时，经常出现如下运算结果：12、29、35等，如何处理这些运算结果呢？
生1：12可以进一步化简，12=4×3=4·3=23.
师：化简的依据是什么？
生1：依据是二次根式乘法运算法则a·b=ab（a≥0，b≥0）的逆用.
师：那29与35有什么共同的特征，如何处理？
生2：29=29=23，依据是二次根式除法运算法则ab=ab（a≥0，b>0）的逆用.
生3：35=35，然后…
师：然后呢？
生4：分子、分母都乘5.
教学说明 从数学运算结果如何进一步处理的实际问题引入新课，唤醒学生记忆，主动回顾旧知，运用二次根式的乘除法则顺利解决化简，体验成功的喜悦.当把问题指向35时，学生运用原有知识与技能无法达成进一步计算的目的，引发认知冲突，激发学生进一步学习的热情，在课堂起始阶段明晰要学什么、为什么学等学习的基本问题.
（2）观察反思
问题2 35的被开方数中含有分母，怎样进一步处理呢？
生5：被开方数的分子、分母同时乘5.
师：为什么同时乘5呢？
生5：乘5的目的是使分母能写成平方的形式，这样就能使根号内的分母“移”到根号外.
师：说的非常好，请你试一试把ab（a≥0，b>0）进一步处理.
生6：ab=a×bb×b=a×bb×b=abb（a≥0，b>0）.
师：非常好，想一想，这类二次根式有什么特征，我們是如何处理的，并尝试完成下列化简.
（1）23;（2）213;（3）2y3x（x>0，y≥0）.
教学说明 引导学生观察形如35的特征，明确研究对象，经历由具体到一般的探索过程，符合学生的认知规律，紧贴学生的最近发展区，学生在类比、化归等数学思维活动中，感悟数式相通的本质.在具体的化简体验中，适时引导学生思考乘“b”的目的、“b”如何确定等问题，以问题引领学生从浅层学习走向深度学习. 问题3 35的分母中含有根号，如何将它化简？
生7：将分母上的根号去掉，分子、分母同时乘5.
师：那ab（a≥0，b>0）怎样化简？
生8：ab=a×bb×b=abb（a≥0，b>0）.
师：非常好，请同学们观察此类二次根式的特征，想一想我们是如何化简的，问题3与问题2有什么关系？（生答省略）
教学说明 以35为例，引导学生探索化简的方法，在探索去根号方法的过程中感悟“无理分母”向“有理分母”的转化，理解化简的依据.问题的设计由易到难、由浅入深，由特殊到一般，使学生在学习数学知识的同时学会思考.
（3）抽象归纳
问题4 如何化简540，请你试一试.
生9：540=5×4040×40=5×4040=10240=24.
生10：540=540=18=1×88×8=88=228=24.
生11：我们的方法和生14类似，其中18我们是这样化简的，18=1×28×2=216=24.
生12：540=55×8=18=1×88×8=88=228=24.
生13：我们认为这样化简比较好，540=5×1040×10=50400=5220=24.
师：化简的目的是去掉分母中含有的根号，生13选择乘40，你们选择乘10，你们是怎样想到乘10的？
生14：分子、分母同时乘40故然可以，但40本身不是最简二次根式，相乘后会给分子、分母带来“麻烦”（还需化简），而分子、分母若同时乘10，减少分子、分母的“负担”，更有利于计算.要去掉分母中的根号，需把被开方数变形为“平方数”的形式，通过比较发现乘10更为合理.
师：非常棒.通过比较我们发现，化简分母中含有根号的二次根式，分子、分母同时乘b，当b为最简二次根式时更有利于进一步的计算.我们来比较一下35与540的化简，你有什么发现？
生15：前者分母为最简二次根式，比较容易化简;后者分母不是最简二次根式，化简有一定难度.
生16：老师，我又想到一种新的化简方法，540=5210=5×10210×10=5220=24.
师：很棒，先将分母化简，有利于快速准确地找到“b”，使计算更简捷.根据计算的需要，遵循符号最简化原则，我们规定化简后的二次根式必须满足：被开方数中不含能开得尽方的因数或因式;被开方数中不含分母;分母中不含有根号.我们把满足以上条件的二次根式称为最简二次根式.
教学说明 学生先独立思考540的化简，亲身参与探索化简的方法，最后分别展示，集思广益，得到不同的运算途径及化简方法，有效训练学生思维的灵活性，在体验中比较、优化化简方法，形成化简策略，学习效果显著提升.数学课程标准对二次根式计算的要求中明确指出“根号下仅限于数”的相关运算，把探究的重点放在540的化简上，体现了数学课程标准的具体要求.
（4）实践应用
问题5 下列二次根式中，哪些是最简二次根式？哪些不是最简二次根式？若不是，请将其化简为最简二次根式.
2，8，23，32，38，512，3b5a，5x12y3.
生17：2、32是最简二次根式，符合最简二次根式的概念;其它的都不是最简二次根式.
完成化简（过程省略）.
教学说明 在实践应用环节，从形式上将最简二次根式的辨析与化简融合在一起，在具体的问题情境中促进新概念的掌握;从内容上由数到式设计非最简二次根式，促使学生运用习得的运算法则主动化简，在实际运算中验证新形成的概念和法则.
4 教学思考
4.1 在体验中明晰任务，厘清算理
在二次根式化简的学习中，应让学生明确学习的对象与目标，有针对性的设置问题情境，引导学生感受二次根式化简的必要性，这是关于为何学、学什么的问题.准确把握二次根式化简的难点，就抓住了本课教学的关键，也就抓住本课最重要的怎么学的问题.创设学习情境的根本目的是给学生下达学习任务，驱动学生主动体验、积极探究，明晰要解决的数学问题，探寻解决问题的方法，最终提炼出解决一类共同特征问题的通法.教学中，紧贴最近发展区，从低起点的二次根式化简引入，学生在化简体验中明确本节课化简的主要任务，即化简根号下含分母和分母中含根号两种类型的二次根式，经过类比、试误、实践等计算体验，初步理解化简的目的及依据，掌握较为简单的二次根式的化简方法，厘清算理，为后续探索较为复杂的二次根式化简提供依据.
4.2 在体验中思考优化，积累经验
数学活动经验的积累是提高学生数学能力的重要标志.数学活动经验是教师没有办法“教”给学生的，必须由学生通过经历大量的数学活动逐步获得，在“做”中获得[3].体验学习注重学生学习经历、感受和体会的过程，执教者应关注学生经历了什么？感受了什么？体会了什么？也就是体验的目的是什么，将学生经验的积累贯穿于数学运算与数学思维的整个活动过程中.比如在540的化简环节，鼓励学生独立思考、亲身体验、合作交流，学生展示不同的化简方案，可谓百花齐放，精彩纷呈.在化简方法呈现多样性结果时，应引导学生理性反思，哪种方案是最好的？为什么好？引导学生在体验的基础上，从不同角度观察、比较、优化、反思化简过程，帮助学生明白怎样化简，为什么这样化简，最终厘清算理，形成相对优越的化简通法，积累至关重要的直接性数学活动经验.
4.3 在体验中培养思维，发展能力
学生数学能力涉及多个方面，比如发现和提出问题、分析和解决问题的能力，再如数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算、数据分析等核心素养，其表现为相应具体的数学能力.不同的数学能力是相互交融的，在具体的教学中，应突出数学能力的某个方面，引导学生在数学体验中发展相应的数学能力.显然，二次根式化简的教学应聚焦于数学运算能力的培养.运算能力的形成需要经历从知识、技能到能力的转化，是一个由简单到综合的过程[4].本课教学大部分活动聚焦在简单的“数字型”二次根式化简，这样做是符合课程标准的总体要求的.但是我们应清楚认识到，这种思维训练侧重于算术思维训练，而代数思维、抽象概括能力的培养依赖于由数到式的升华过程，即引导学生经历个别到一般、具体到抽象的思维过程，通过观察与思考，抽象归纳出合乎逻辑的概念和算理，这样的经验积累才是完整的、优质的.整个运算教学中，始终关注学生的运算体验，关注学生的思维过程，引导学生经历反思、提炼、概括等高阶思维活动，经历化简方法的再创造过程，最终形成化简的通解通法，发展学生的数学运算能力.
參考文献
[1]潘洪建.有效学习与教学——9种学习方式的变革[M].北京：北京师范大学出版社，2013：51.
[2]林松.具身认知视角下初中数学教学初探[J].中学数学杂志，2019（2）：1-4.
[3]教育部基础教育课程教材专家工作委员会.义务教育数学课程标准解读：2011年版[M].北京：北京师范大学出版社，2012：271.
[4]曹一鸣等.基于学生核心素养的数学学科能力研究[M].北京：北京师范大学出版社，2017：195.
【关键词】 体验学习;数学运算;教学思考
在现实的计算教学中，往往由教师完全主导课堂，表现为注重间接经验的传授（学术学习），突显计算教学的“短、平、快”，却不注重概念、法则的生成教学，忽视直接经验的获得过程（体验学习），常常出现概念模糊不清，法则机械记忆，导致运算困惑或失误.体验学习作为一种重要的学习方式，适切于初中数学运算教学，对提高学生数学运算能力有重要作用.当前，初中数学教师对体验学习方式的研究较少，未引起足够重视.在中国知网以体验学习为主题，检索到837篇文献，其中涉及小学数学教学的30篇，初中数学教学的4篇，而涉及体验学习运用于运算教学的文献为0篇.近期，在苏科版八年级下册第十二章“二次根式化简”的教学中，采用体验学习方式，收到良好的教学效果，现整理成文，以期与各位同仁研讨交流，共同探索体验学习在数学运算教学中的应用策略.
1 体验学习的内涵
体验学习是指学习者亲身经历实际问题的操作、抽象、解释与应用的学习过程，主动建构知识，获得学习方法，发展能力的一种突出“学为中心”的学习方式.这种学习方式的开展需要执教者引导学生将实践与反思相结合，才能获得期望的基础知识和基本技能.它强调学生亲历活动，伴有情绪反应，并对原有经验产生影响[1].学习是一个顿悟的过程，体验学习作为一种学习方式更注重学生的主动探索，借助真实的问题情境直接参与知识、情感的形成过程，它强调在体验中学、思、悟，基于学生的个人理解，学生经历逻辑推理过程，生成学习成果.
在体验学习中，学生自主参与学习任务，获得直接经验，并经由反思和理论抽象丰富直接经验，强化对知识本质的理解.它是一种高度适切于实用技能的学习方式，比如运算教学中法则的生成与运算技能的习得.而与体验学习相对的学术学习，是指不经过任何直接经验而通过学科学习获得信息的过程，比如直接讲授运算法则，通过反复训练而习得运算技能.显然，体验学习更符合学生的心理特点和认知规律，有利于促进学生真学习、发展真能力.
2 体验学习的意义和价值
体验是人类认识世界、获得信息的最重要、最可靠的一种方式[2].美国学者埃德加·戴尔（Edgar Dale）研究发现，在不同的学习方式中，学习效果比较好的学习方式表现出的特征为团队学习、主动学习和参与式学习，学生经历操作、实践等亲身体验，并立即应用的学习方式效果最佳，这就是“学习金字塔”理论，它倡导的是主动学习、亲历体验的教学理念.大卫·库伯（David Kolb）在教育家杜威的“做中学”理念以及其他多位学者的相关研究的基础上，提出了“体验学习”的理论.库伯提出体验学习的四阶段：体验感悟—观察反思—抽象归纳—实践应用.数学运算能力主要表现为：理解对象—掌握法则—探究思路—求得结果，这与体验学习的四阶段是基本一致的，因此，在数学运算教学中，实施体验学习，能切实把学生的主体地位落到实处，使学生真正成为课堂学习的主角，借助问题情境，让学生产生一种学习的激情，践行“学为中心”的教学理念，在体验中获得显性知识和领悟默会知识，发展学生的数学运算素养.
3 教学案例
3.1 教材简析
本课之前分别学习了二次根式的乘法、除法、化简等内容.本课内容为最简二次根式，教学重点是将被开方数中含分母或分母中含根号的二次根式化简为最简二次根式，教学难点是ab或ab中的b中含有能开得尽方的因数或因式的二次根式化简.
3.2 教学过程
（1）体验感悟
问题1 在进行二次根式的乘除运算时，经常出现如下运算结果：12、29、35等，如何处理这些运算结果呢？
生1：12可以进一步化简，12=4×3=4·3=23.
师：化简的依据是什么？
生1：依据是二次根式乘法运算法则a·b=ab（a≥0，b≥0）的逆用.
师：那29与35有什么共同的特征，如何处理？
生2：29=29=23，依据是二次根式除法运算法则ab=ab（a≥0，b>0）的逆用.
生3：35=35，然后…
师：然后呢？
生4：分子、分母都乘5.
教学说明 从数学运算结果如何进一步处理的实际问题引入新课，唤醒学生记忆，主动回顾旧知，运用二次根式的乘除法则顺利解决化简，体验成功的喜悦.当把问题指向35时，学生运用原有知识与技能无法达成进一步计算的目的，引发认知冲突，激发学生进一步学习的热情，在课堂起始阶段明晰要学什么、为什么学等学习的基本问题.
（2）观察反思
问题2 35的被开方数中含有分母，怎样进一步处理呢？
生5：被开方数的分子、分母同时乘5.
师：为什么同时乘5呢？
生5：乘5的目的是使分母能写成平方的形式，这样就能使根号内的分母“移”到根号外.
师：说的非常好，请你试一试把ab（a≥0，b>0）进一步处理.
生6：ab=a×bb×b=a×bb×b=abb（a≥0，b>0）.
师：非常好，想一想，这类二次根式有什么特征，我們是如何处理的，并尝试完成下列化简.
（1）23;（2）213;（3）2y3x（x>0，y≥0）.
教学说明 引导学生观察形如35的特征，明确研究对象，经历由具体到一般的探索过程，符合学生的认知规律，紧贴学生的最近发展区，学生在类比、化归等数学思维活动中，感悟数式相通的本质.在具体的化简体验中，适时引导学生思考乘“b”的目的、“b”如何确定等问题，以问题引领学生从浅层学习走向深度学习. 问题3 35的分母中含有根号，如何将它化简？
生7：将分母上的根号去掉，分子、分母同时乘5.
师：那ab（a≥0，b>0）怎样化简？
生8：ab=a×bb×b=abb（a≥0，b>0）.
师：非常好，请同学们观察此类二次根式的特征，想一想我们是如何化简的，问题3与问题2有什么关系？（生答省略）
教学说明 以35为例，引导学生探索化简的方法，在探索去根号方法的过程中感悟“无理分母”向“有理分母”的转化，理解化简的依据.问题的设计由易到难、由浅入深，由特殊到一般，使学生在学习数学知识的同时学会思考.
（3）抽象归纳
问题4 如何化简540，请你试一试.
生9：540=5×4040×40=5×4040=10240=24.
生10：540=540=18=1×88×8=88=228=24.
生11：我们的方法和生14类似，其中18我们是这样化简的，18=1×28×2=216=24.
生12：540=55×8=18=1×88×8=88=228=24.
生13：我们认为这样化简比较好，540=5×1040×10=50400=5220=24.
师：化简的目的是去掉分母中含有的根号，生13选择乘40，你们选择乘10，你们是怎样想到乘10的？
生14：分子、分母同时乘40故然可以，但40本身不是最简二次根式，相乘后会给分子、分母带来“麻烦”（还需化简），而分子、分母若同时乘10，减少分子、分母的“负担”，更有利于计算.要去掉分母中的根号，需把被开方数变形为“平方数”的形式，通过比较发现乘10更为合理.
师：非常棒.通过比较我们发现，化简分母中含有根号的二次根式，分子、分母同时乘b，当b为最简二次根式时更有利于进一步的计算.我们来比较一下35与540的化简，你有什么发现？
生15：前者分母为最简二次根式，比较容易化简;后者分母不是最简二次根式，化简有一定难度.
生16：老师，我又想到一种新的化简方法，540=5210=5×10210×10=5220=24.
师：很棒，先将分母化简，有利于快速准确地找到“b”，使计算更简捷.根据计算的需要，遵循符号最简化原则，我们规定化简后的二次根式必须满足：被开方数中不含能开得尽方的因数或因式;被开方数中不含分母;分母中不含有根号.我们把满足以上条件的二次根式称为最简二次根式.
教学说明 学生先独立思考540的化简，亲身参与探索化简的方法，最后分别展示，集思广益，得到不同的运算途径及化简方法，有效训练学生思维的灵活性，在体验中比较、优化化简方法，形成化简策略，学习效果显著提升.数学课程标准对二次根式计算的要求中明确指出“根号下仅限于数”的相关运算，把探究的重点放在540的化简上，体现了数学课程标准的具体要求.
（4）实践应用
问题5 下列二次根式中，哪些是最简二次根式？哪些不是最简二次根式？若不是，请将其化简为最简二次根式.
2，8，23，32，38，512，3b5a，5x12y3.
生17：2、32是最简二次根式，符合最简二次根式的概念;其它的都不是最简二次根式.
完成化简（过程省略）.
教学说明 在实践应用环节，从形式上将最简二次根式的辨析与化简融合在一起，在具体的问题情境中促进新概念的掌握;从内容上由数到式设计非最简二次根式，促使学生运用习得的运算法则主动化简，在实际运算中验证新形成的概念和法则.
4 教学思考
4.1 在体验中明晰任务，厘清算理
在二次根式化简的学习中，应让学生明确学习的对象与目标，有针对性的设置问题情境，引导学生感受二次根式化简的必要性，这是关于为何学、学什么的问题.准确把握二次根式化简的难点，就抓住了本课教学的关键，也就抓住本课最重要的怎么学的问题.创设学习情境的根本目的是给学生下达学习任务，驱动学生主动体验、积极探究，明晰要解决的数学问题，探寻解决问题的方法，最终提炼出解决一类共同特征问题的通法.教学中，紧贴最近发展区，从低起点的二次根式化简引入，学生在化简体验中明确本节课化简的主要任务，即化简根号下含分母和分母中含根号两种类型的二次根式，经过类比、试误、实践等计算体验，初步理解化简的目的及依据，掌握较为简单的二次根式的化简方法，厘清算理，为后续探索较为复杂的二次根式化简提供依据.
4.2 在体验中思考优化，积累经验
数学活动经验的积累是提高学生数学能力的重要标志.数学活动经验是教师没有办法“教”给学生的，必须由学生通过经历大量的数学活动逐步获得，在“做”中获得[3].体验学习注重学生学习经历、感受和体会的过程，执教者应关注学生经历了什么？感受了什么？体会了什么？也就是体验的目的是什么，将学生经验的积累贯穿于数学运算与数学思维的整个活动过程中.比如在540的化简环节，鼓励学生独立思考、亲身体验、合作交流，学生展示不同的化简方案，可谓百花齐放，精彩纷呈.在化简方法呈现多样性结果时，应引导学生理性反思，哪种方案是最好的？为什么好？引导学生在体验的基础上，从不同角度观察、比较、优化、反思化简过程，帮助学生明白怎样化简，为什么这样化简，最终厘清算理，形成相对优越的化简通法，积累至关重要的直接性数学活动经验.
4.3 在体验中培养思维，发展能力
学生数学能力涉及多个方面，比如发现和提出问题、分析和解决问题的能力，再如数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算、数据分析等核心素养，其表现为相应具体的数学能力.不同的数学能力是相互交融的，在具体的教学中，应突出数学能力的某个方面，引导学生在数学体验中发展相应的数学能力.显然，二次根式化简的教学应聚焦于数学运算能力的培养.运算能力的形成需要经历从知识、技能到能力的转化，是一个由简单到综合的过程[4].本课教学大部分活动聚焦在简单的“数字型”二次根式化简，这样做是符合课程标准的总体要求的.但是我们应清楚认识到，这种思维训练侧重于算术思维训练，而代数思维、抽象概括能力的培养依赖于由数到式的升华过程，即引导学生经历个别到一般、具体到抽象的思维过程，通过观察与思考，抽象归纳出合乎逻辑的概念和算理，这样的经验积累才是完整的、优质的.整个运算教学中，始终关注学生的运算体验，关注学生的思维过程，引导学生经历反思、提炼、概括等高阶思维活动，经历化简方法的再创造过程，最终形成化简的通解通法，发展学生的数学运算能力.
參考文献
[1]潘洪建.有效学习与教学——9种学习方式的变革[M].北京：北京师范大学出版社，2013：51.
[2]林松.具身认知视角下初中数学教学初探[J].中学数学杂志，2019（2）：1-4.
[3]教育部基础教育课程教材专家工作委员会.义务教育数学课程标准解读：2011年版[M].北京：北京师范大学出版社，2012：271.
[4]曹一鸣等.基于学生核心素养的数学学科能力研究[M].北京：北京师范大学出版社，2017：195.