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摘要 分析时域信号有三种不同的方法，短时傅立叶变换，小波变换和Wigner—ville分布进行调频信号分析。小波变换在时域信号的分析领域具有典型的特点。本文通过理论比较了前两种不同的方法和仿真了两种变换的中心频率参数与时、频的关系。因此，通过改变小波中心频率参数，我们能更加方便的改变其时频域分辨率以适应不同的具体情况。
关键词 跳频 仿真 频率估计 短时傅立叶变换 小波分析
由于具有变化频率，速度快、精度高、灵活、易于扩充等优点，跳频信号具有广泛的应用性，尤其是在现代军事通信中，电子对抗，跳频通信具有较强的抗检测、抗干扰能力，是非常重要的，因此分析跳频信号时域信号分析的难点，而时频分析是处理非平稳信号的一种有效的方法，近些年来在理论上取得重大的进展，时频分析方法又可以分为线形和非线形时频两类 ，其中小波变换和短时傅立叶变换属于线形；Wigner—Ville分布属于非线形时频 [12]。
这些方法中，有的需要知道跳频参数，有的适用范围受限，因此需要针对具体情况选用合适的检测方法。传统的快速傅立叶变换是频谱分析中最常见的方法，它通过将信号变换到频域来分析频率分量。短时傅立叶的缺点是只要信号的采样率确定，窗函数选定，频谱的分辨率就固定了，而且如果有多个频谱分量，则不能在时域上加以分别，所以它不是一种动态的方法。而小波变换作为一种新兴的数学工具，在时频域具有灵活的处理能力[10—11]，很好的解决了上述问题，所以在跳频信号的频率参数估计方面得到了越来越多的关注。本文重点就短时傅立叶变换原理和小波变换用于跳频频点的估计原理做了简要介绍，并对两种分析方法进行了仿真比较。
1 短时傅立叶变换原理（STFT）
1.1 傅立叶变换（FT）
1.2 短时傅立叶变换（STFT）
为了克服傅立叶变换（FT）的缺陷，短时傅立叶变换（STFT）是研究非平稳信号最广泛使用的方法。假定我们听一段持续1小时的音乐，在开始时有小提琴，而在结束时有鼓。如果用傅立叶变换分析这个1小时的音乐，能量频谱将表明对应于小提琴和鼓的频率的峰值。能量频谱会告诉我们有小提琴和鼓，但不会给我们小提琴和鼓什么时候演奏的任何提示。最简单的做法是把这1小时划分成每5分钟一个间隔，并用傅立叶变换分析每一个间隔。在分析每一个间隔时，就会看到，小提琴和鼓出现在哪个5分钟间隔。这就是短时傅立叶变换（STFT）的基本思想：把信号划分成许多小的时间间隔，再用傅立叶变换分析每一个时间间隔，以便确定在那个时间间隔存在的频率。这些频谱的总体就表示了频谱在时间上是怎样变化的。
因此，通过一个窗口来观察信号，就引出了STFT。给定一个时间宽度很短的窗函数r（t），令窗滑动，则信号x（t'）的STFT定义为：
（3）
就是说信号x（t'）在时间t的STFT就是信号x（t'）乘上一个以t为中心的“分析窗”r*（t'—t）所做的傅立叶变换，等价于取出信号在t'=t附近的一个切片，故是x（t'）在分析时间t附近的局部频谱。
1.3 STFT窗函数窗口宽度的选择
要想获得高的时间分辨率，则选短窗r*（t）；要想获得高的频率分辨率，则选长窗r*（t）若以Δt表示时间分辨率，Δf表示频率分辨率，则两者乘积满足Heisenberg不等式：
这意味着既有任意小的时间间隔又有任意小的带宽的窗函数不存在。幸运的是高斯窗函数为Heisenberg不等式取等号意义下的最优窗函数：
总之，取窗函数的大体原则：窗的宽度应该与信号的局部平稳长度相适应。
1.4 基于STFT的信号重构和STFT的缺陷
亦即：
这一关系指明了如何从其STFT恢复或综合信号x（t'）。因STFT的时—频窗口大小固定不变，是一个放大倍数固定的显微镜，只适合分析所有特征尺度大致相同的各种各种过程，窗口没有自适应性，不适合分析多尺度信号过程和突变过程。下面我们需要分析另一种方法，小波分析。
2 小波分析估计跳频频率原理
2.1 小波变换定义
2.2 Morlet小波变换
对信号进行小波变换就相当于信号通过了多个中心频率，带宽不同的带通滤波器[9]，因此，信号与不同小波函数进行变换的效果是不同的。本文采用Morlet小波来作为信号分析的母小波。它的时域与频率形式如表1：
由表1可知，Morlet母小波的时间窗口中心为ω=ω0=2πf0，频率窗口中心为，其对应的小波函数为： （14）
因此，用Morlet小波对跳频信号进行小波变换的表达式是：
（15）
2.3 信号频率与小波时频域有效宽度的关系
设Morlet母小波ψ（t）的时间有效宽度为Dt（常数），频率有效宽度为Dω（常数），则其对应的小波函数ψa，b（t）的中心为b+at0，有效宽度为Dst=aDt，a，b（ω）的中心为ωc=，有效宽度为Dsf=。 根据小波函数的恒Q性[10]，可定义常数c和d：
我们知道，小波函数的时间有效宽度Dst决定着不同频率信号进行小波变换后在时域上的扩展，Dst越小，小波变换结果的时间分辨率越高；同理，小波函数的频率有效宽度Dsf决定着不同频率信号进行小波变换后在频域上的扩展，Dsf越小，小波变换结果的频率分辨率越高。但是Dst和Dsf是相互矛盾的，所以必须根据具体信号来选择合适的时间或频率有效宽度。
不同的小波中心频率ω0对Dst和Dsf有直接作用。设信号的角频率为：
由于Dω，Dt是常数，所以对于同一个频率的信号，Morlet小波的中心频率与小波的频率有效宽度成反比，与时域有效宽度成正比。因此，通过改变小波的中心频率，可以更加方便的调整小波变换的时频域分辨率。 3 两个模型的仿真比较
跳频信号特征参数信息分布于时频域，要估计跳频信号的特征参数就必须对其时频域特征进行准确分析，S变换提供了时间和频率的联合时间频率函数，其多分辨特性能够准确地反映信号的能量密度在时频域的分布.设跳频信号s（t）为：
其中f1=100Hz，f2=400Hz，f3=200Hz，fs=2000Hz跳频信号如图1所示。
利用（4）式对图1所示信号进行变换，取其模值做出ST变换的时—频三维图，从三维图可同时反映出时域和频域的变化情况，其时频三维图如图2（a）所示。为了更清楚地反映时间和频率的变化关系，从其时—频三维图可以得到其俯视图，如图2（b）所示。
图3和图4所示结果分别为跳频信号的STFT和小波变换的结果。
从图2、图3和图4的变换结果看，对于同样的跳频信号，S变换在频率和时间的参数特征明显，频率分别为100Hz、400Hz和200Hz，时间间断点分别为：500点和1000点（对应时间：0.25s和0.5s）.STFT变换和小波变换在频域分辨率很高，但在时间点却存在模糊，无法辨别具体的时间特征点力[1]。
而采用文献[11]使用的跳频信号仿真模型，其信号形式和参数设置如下：
（23）
f1=4.210MHz， f2=4.215MHz， f3=4.220MHz， f4= 4.225MHz，θ1=θ2=θ3=θ4=0；采样频率fs=80kHz。Morlet小波尺度因子a的取值按照（9）式在频率范围[4.205，4.230]MHz作50等间隔的量化。图1的a、b、c三幅图分别仿真了小波中心频率f0=800Hz，3000Hz，5000Hz时对跳频信号s（n）小波变换的结果。
由图5中a、b、c三幅图的对比可知，随着小波中心频率的增加，时域有效宽度增大，即时域分辨率减小，信号小波变换的结果在时域上的扩展较大；同时，频率有效宽度减小，即频域分辨率增大，信号小波变换的结果在频率上的扩展较小。
4 结论总结
短时傅立叶变换和小波分析作为两种数学工具，短时傅立叶变换基本思想是将信号加滑动时间窗，并对窗内信号做傅立叶变换，得到信号的时变频谱。因而它的时间分辨率和频率分辨率受Heisenberg测不准原理约束，一旦窗函数选定，时频分辨率便确定下来。这就使它对突变信号和非平稳信号的分析存在局限性，因而不是一种动态的分析方法， 不能敏感地反映信号的突变，只适用于对缓变信号的分析。小波变换通过伸缩和平移运算对信号进行多尺度分解，能够有效地从信号中获取各种时频信息，它在时域和频域同时具有良好的局部化性质，具有多分辨率分析特性。而本文中对小波的仿真同时考虑了信号在时域和频域的特性，具有传统FFT变换没有的优点。特别是它根据不同的需求能够灵活的改变其时频域的分辨率，所以在跳频信号的测频方面显示出了越来越强的作用。小波在时频域的分辨率是相互矛盾的，调整时频域分辨率的传统方法主要是改变尺度因子a，这对于高速跳频信号的实时处理性提出了较高要求。从小波的基本理论出发，我们证明了小波中心频率与其时频域分辨率的关系，最后通过仿真验证了我们的结论。因此，对于相同的信号，改变小波中心频率可以直接改变小波的分辨率，大大方便了对跳频信号的频率估计。
但小波分解的结果依赖小波基函数，而各小波基函数的适用范围很不一致，这就造成了小波基选择问题，如果母小波选择不当，则应用效果会大受影响；小波分析不具有自适应性，一旦选择了小波基和分解尺度，则用它来分析具多频率成分的数据时，所得结果只能反映某一固定频带内的信号，所以要选择不同的小波基，图中两种仿真结果也说明了这一问题。
参 考 文 献
[1] 钱怡，武传华. 基于S变换的无线电引信信号分析. 西安工业大学学报，2011（2）：14—18
[2] 姚勇，韩建国. 小波变换用于快速跳频信号的测频. 测控技术，2003，33（12）：24—26
[3] Monique P F，Howard F O. Wavelet—based detection of frequency hopping signals. Signals， Systems & Computers，1997. Conference Record of theThirty—First Asilomar Conference on， Volume：I， 1997： 515—518
[4] 王忠，周立. MATLAB环境下的跳频信号分析与仿真. 计算机仿真，2003，20（11）：131—134
[5] Simon M K，Omura J K，Scholtz R A. Spread Spectrum Communication Handbook[M]. BeiJing：POSTS & TELECOMMUNICATIONS PRESS，2002：412—422.
[6] Shie qian，Dapang Chen.Decomposition of the Wigner—Ville Distribution and Time—frequency Distribution Series[c].IEEE Transaction On Signal Processing. 1994，42.
[7] Barbarossa S.Parameter estimation of spread spectrum frequency hopping signals using time—frequency distributions[A].First IEEE Signal Processing Workshop on Signal Processing Advances in Wireless Communications[C].1997，213—216.
[8] 胡昌华，张军波，夏军，等. 基于MATLAB的系统分析与设计——小波分析. 西安：西安电子科技大学出版社，1999.13—16
[9] 刘健涛. 跳频信号参数盲估计算法研究及实现. 硕士论文，西安：西安电子科技大学，2007，5.
[10] 戴精科. 基于小波变换的跳频信号频率估计. 硕士论文，2006，5
[11] 金报春，干学仁，万国金.基于小波变换的跳频信号分析仿真. 南昌大学学报（工科版），2001，23（1）：52—56
[12] 马潇，许荣庆. 基于时频分布的跳频信号分析研究. 传感技术学报，2007，20（3）：636—639
关键词 跳频 仿真 频率估计 短时傅立叶变换 小波分析
由于具有变化频率，速度快、精度高、灵活、易于扩充等优点，跳频信号具有广泛的应用性，尤其是在现代军事通信中，电子对抗，跳频通信具有较强的抗检测、抗干扰能力，是非常重要的，因此分析跳频信号时域信号分析的难点，而时频分析是处理非平稳信号的一种有效的方法，近些年来在理论上取得重大的进展，时频分析方法又可以分为线形和非线形时频两类 ，其中小波变换和短时傅立叶变换属于线形；Wigner—Ville分布属于非线形时频 [12]。
这些方法中，有的需要知道跳频参数，有的适用范围受限，因此需要针对具体情况选用合适的检测方法。传统的快速傅立叶变换是频谱分析中最常见的方法，它通过将信号变换到频域来分析频率分量。短时傅立叶的缺点是只要信号的采样率确定，窗函数选定，频谱的分辨率就固定了，而且如果有多个频谱分量，则不能在时域上加以分别，所以它不是一种动态的方法。而小波变换作为一种新兴的数学工具，在时频域具有灵活的处理能力[10—11]，很好的解决了上述问题，所以在跳频信号的频率参数估计方面得到了越来越多的关注。本文重点就短时傅立叶变换原理和小波变换用于跳频频点的估计原理做了简要介绍，并对两种分析方法进行了仿真比较。
1 短时傅立叶变换原理（STFT）
1.1 傅立叶变换（FT）
1.2 短时傅立叶变换（STFT）
为了克服傅立叶变换（FT）的缺陷，短时傅立叶变换（STFT）是研究非平稳信号最广泛使用的方法。假定我们听一段持续1小时的音乐，在开始时有小提琴，而在结束时有鼓。如果用傅立叶变换分析这个1小时的音乐，能量频谱将表明对应于小提琴和鼓的频率的峰值。能量频谱会告诉我们有小提琴和鼓，但不会给我们小提琴和鼓什么时候演奏的任何提示。最简单的做法是把这1小时划分成每5分钟一个间隔，并用傅立叶变换分析每一个间隔。在分析每一个间隔时，就会看到，小提琴和鼓出现在哪个5分钟间隔。这就是短时傅立叶变换（STFT）的基本思想：把信号划分成许多小的时间间隔，再用傅立叶变换分析每一个时间间隔，以便确定在那个时间间隔存在的频率。这些频谱的总体就表示了频谱在时间上是怎样变化的。
因此，通过一个窗口来观察信号，就引出了STFT。给定一个时间宽度很短的窗函数r（t），令窗滑动，则信号x（t'）的STFT定义为：
就是说信号x（t'）在时间t的STFT就是信号x（t'）乘上一个以t为中心的“分析窗”r*（t'—t）所做的傅立叶变换，等价于取出信号在t'=t附近的一个切片，故是x（t'）在分析时间t附近的局部频谱。
1.3 STFT窗函数窗口宽度的选择
要想获得高的时间分辨率，则选短窗r*（t）；要想获得高的频率分辨率，则选长窗r*（t）若以Δt表示时间分辨率，Δf表示频率分辨率，则两者乘积满足Heisenberg不等式：
这意味着既有任意小的时间间隔又有任意小的带宽的窗函数不存在。幸运的是高斯窗函数为Heisenberg不等式取等号意义下的最优窗函数：
总之，取窗函数的大体原则：窗的宽度应该与信号的局部平稳长度相适应。
1.4 基于STFT的信号重构和STFT的缺陷
亦即：
这一关系指明了如何从其STFT恢复或综合信号x（t'）。因STFT的时—频窗口大小固定不变，是一个放大倍数固定的显微镜，只适合分析所有特征尺度大致相同的各种各种过程，窗口没有自适应性，不适合分析多尺度信号过程和突变过程。下面我们需要分析另一种方法，小波分析。
2 小波分析估计跳频频率原理
2.1 小波变换定义
2.2 Morlet小波变换
对信号进行小波变换就相当于信号通过了多个中心频率，带宽不同的带通滤波器[9]，因此，信号与不同小波函数进行变换的效果是不同的。本文采用Morlet小波来作为信号分析的母小波。它的时域与频率形式如表1：
由表1可知，Morlet母小波的时间窗口中心为ω=ω0=2πf0，频率窗口中心为，其对应的小波函数为：
因此，用Morlet小波对跳频信号进行小波变换的表达式是：
（15）
2.3 信号频率与小波时频域有效宽度的关系
设Morlet母小波ψ（t）的时间有效宽度为Dt（常数），频率有效宽度为Dω（常数），则其对应的小波函数ψa，b（t）的中心为b+at0，有效宽度为Dst=aDt，a，b（ω）的中心为ωc=，有效宽度为Dsf=。 根据小波函数的恒Q性[10]，可定义常数c和d：
我们知道，小波函数的时间有效宽度Dst决定着不同频率信号进行小波变换后在时域上的扩展，Dst越小，小波变换结果的时间分辨率越高；同理，小波函数的频率有效宽度Dsf决定着不同频率信号进行小波变换后在频域上的扩展，Dsf越小，小波变换结果的频率分辨率越高。但是Dst和Dsf是相互矛盾的，所以必须根据具体信号来选择合适的时间或频率有效宽度。
不同的小波中心频率ω0对Dst和Dsf有直接作用。设信号的角频率为：
由于Dω，Dt是常数，所以对于同一个频率的信号，Morlet小波的中心频率与小波的频率有效宽度成反比，与时域有效宽度成正比。因此，通过改变小波的中心频率，可以更加方便的调整小波变换的时频域分辨率。 3 两个模型的仿真比较
跳频信号特征参数信息分布于时频域，要估计跳频信号的特征参数就必须对其时频域特征进行准确分析，S变换提供了时间和频率的联合时间频率函数，其多分辨特性能够准确地反映信号的能量密度在时频域的分布.设跳频信号s（t）为：
其中f1=100Hz，f2=400Hz，f3=200Hz，fs=2000Hz跳频信号如图1所示。
利用（4）式对图1所示信号进行变换，取其模值做出ST变换的时—频三维图，从三维图可同时反映出时域和频域的变化情况，其时频三维图如图2（a）所示。为了更清楚地反映时间和频率的变化关系，从其时—频三维图可以得到其俯视图，如图2（b）所示。
图3和图4所示结果分别为跳频信号的STFT和小波变换的结果。
从图2、图3和图4的变换结果看，对于同样的跳频信号，S变换在频率和时间的参数特征明显，频率分别为100Hz、400Hz和200Hz，时间间断点分别为：500点和1000点（对应时间：0.25s和0.5s）.STFT变换和小波变换在频域分辨率很高，但在时间点却存在模糊，无法辨别具体的时间特征点力[1]。
而采用文献[11]使用的跳频信号仿真模型，其信号形式和参数设置如下：
f1=4.210MHz， f2=4.215MHz， f3=4.220MHz， f4= 4.225MHz，θ1=θ2=θ3=θ4=0；采样频率fs=80kHz。Morlet小波尺度因子a的取值按照（9）式在频率范围[4.205，4.230]MHz作50等间隔的量化。图1的a、b、c三幅图分别仿真了小波中心频率f0=800Hz，3000Hz，5000Hz时对跳频信号s（n）小波变换的结果。
由图5中a、b、c三幅图的对比可知，随着小波中心频率的增加，时域有效宽度增大，即时域分辨率减小，信号小波变换的结果在时域上的扩展较大；同时，频率有效宽度减小，即频域分辨率增大，信号小波变换的结果在频率上的扩展较小。
4 结论总结
短时傅立叶变换和小波分析作为两种数学工具，短时傅立叶变换基本思想是将信号加滑动时间窗，并对窗内信号做傅立叶变换，得到信号的时变频谱。因而它的时间分辨率和频率分辨率受Heisenberg测不准原理约束，一旦窗函数选定，时频分辨率便确定下来。这就使它对突变信号和非平稳信号的分析存在局限性，因而不是一种动态的分析方法， 不能敏感地反映信号的突变，只适用于对缓变信号的分析。小波变换通过伸缩和平移运算对信号进行多尺度分解，能够有效地从信号中获取各种时频信息，它在时域和频域同时具有良好的局部化性质，具有多分辨率分析特性。而本文中对小波的仿真同时考虑了信号在时域和频域的特性，具有传统FFT变换没有的优点。特别是它根据不同的需求能够灵活的改变其时频域的分辨率，所以在跳频信号的测频方面显示出了越来越强的作用。小波在时频域的分辨率是相互矛盾的，调整时频域分辨率的传统方法主要是改变尺度因子a，这对于高速跳频信号的实时处理性提出了较高要求。从小波的基本理论出发，我们证明了小波中心频率与其时频域分辨率的关系，最后通过仿真验证了我们的结论。因此，对于相同的信号，改变小波中心频率可以直接改变小波的分辨率，大大方便了对跳频信号的频率估计。
但小波分解的结果依赖小波基函数，而各小波基函数的适用范围很不一致，这就造成了小波基选择问题，如果母小波选择不当，则应用效果会大受影响；小波分析不具有自适应性，一旦选择了小波基和分解尺度，则用它来分析具多频率成分的数据时，所得结果只能反映某一固定频带内的信号，所以要选择不同的小波基，图中两种仿真结果也说明了这一问题。
参 考 文 献
[1] 钱怡，武传华. 基于S变换的无线电引信信号分析. 西安工业大学学报，2011（2）：14—18
[2] 姚勇，韩建国. 小波变换用于快速跳频信号的测频. 测控技术，2003，33（12）：24—26
[3] Monique P F，Howard F O. Wavelet—based detection of frequency hopping signals. Signals， Systems & Computers，1997. Conference Record of theThirty—First Asilomar Conference on， Volume：I， 1997： 515—518
[4] 王忠，周立. MATLAB环境下的跳频信号分析与仿真. 计算机仿真，2003，20（11）：131—134
[5] Simon M K，Omura J K，Scholtz R A. Spread Spectrum Communication Handbook[M]. BeiJing：POSTS & TELECOMMUNICATIONS PRESS，2002：412—422.
[6] Shie qian，Dapang Chen.Decomposition of the Wigner—Ville Distribution and Time—frequency Distribution Series[c].IEEE Transaction On Signal Processing. 1994，42.
[7] Barbarossa S.Parameter estimation of spread spectrum frequency hopping signals using time—frequency distributions[A].First IEEE Signal Processing Workshop on Signal Processing Advances in Wireless Communications[C].1997，213—216.
[8] 胡昌华，张军波，夏军，等. 基于MATLAB的系统分析与设计——小波分析. 西安：西安电子科技大学出版社，1999.13—16
[9] 刘健涛. 跳频信号参数盲估计算法研究及实现. 硕士论文，西安：西安电子科技大学，2007，5.
[10] 戴精科. 基于小波变换的跳频信号频率估计. 硕士论文，2006，5
[11] 金报春，干学仁，万国金.基于小波变换的跳频信号分析仿真. 南昌大学学报（工科版），2001，23（1）：52—56
[12] 马潇，许荣庆. 基于时频分布的跳频信号分析研究. 传感技术学报，2007，20（3）：636—639