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【摘要】函数在高中的教学中占着核心的作用,是学习高等数学的基础。本文将简单的介绍函数单调性和对称性以及奇偶性。
【关键词】函数 单调性 对称性 奇偶性
【中图分类号】G632 【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089(2016)04-0081-02
一、函数的定义
在一个变化过程中,有两个变量x、y,如果给定一个x值,相应的就确定唯一的一个y,那么就称y是x的函数,其中x是自变量,y是因变量,x的取值范围叫做这个函数的定义域,相应y的取值范围叫做函数的值域。
二、函数的单调性
函数的单调性也可以叫做函数的增减性。当函数 f(x)的自变量在其定义区间内增大(或减小)时,函数值f(x)也随着增大(或减小),则称该函数为在该区间上具有单调性。
1、函数单调性的定义:一般地,设函数 的定义域为D,如果对于属于定义域D内某个区间上的任意两个自变量的值 , ,当 时,则有 ( ),那么 在区间D上是增函数(减函数).
理解函数单调性时,应注意以下问题:
(1)函数的单调区间是定义域的子集,确定函数单调区间时,应首先确定其定义域,定义域中的 相对于单调区间具有任意性,不能用特殊值替代。
(2) 在区间D1 ,D2上是增函数,但 不一定在区间D1∪D2上是增函数;同样 在区间D1 ,D2上是减函数,但 在区间D1∪D2上不一定是减函数.例如: 在区间 上为减函数,在 上也是减函数,但 在 上就不能说成是减函数。
2.1证明单调性的方法
1 用定义法证明函数 单调性的一般步骤是:
(1)取值:对任意 ,且 ;
(2)作差变形: ;
(3)定号得出结论
2用导函数研究函数的单调性:
(1)确定函数的定义域
(2)对函数求导
(3)解出导函数大于0或者小于等于0的x值
(4)当导函数大于等于0增函数,导函数小于等于0减函数
3通过四则运算确定函数的单调性
对于具有单调性的两个子函数而言:他们的定义域没有交集:
(1)两个函数具有相同的单调性,那么两个函数的和组成的新的函数单调性与原来的相同,但是两个函数的减法,乘法,除法与原来的不一定相同。
(2)如果两个函数的点调性相反,则新得到的函数(两个函数相减或者相乘是增函数),但是新得到的函数(两个函数做加法或者除法)是不能确定的
4.图像法
函数的单调性还可以从图像上进行描述,对于给定的区间上的函数f(x),函数图像如果从左向右连续上升,则函数在该区间上单调递增,此时导函数f’(x)<0,;函数图像如果从左向右连续下降,则函数在该区间上单调递减,导函数f’(x)<0.
函数单调性是函数的重要性质之一,函数的单调性在比较大小,证明不等式,解不等式,求最值,求值域以及实际问题中都有广泛的应用。
三、函数的对称性
1.函数的对称性可分为轴对称和中心对称:
①函数轴对称:如果一个函数的图像沿一条直线对折,直线两侧的图像能够完全重合,则称该函数具备对称性中的轴对称,该直线称为该函数的对称轴。
②中心对称:如果一个函数的图像沿一个点旋转180度,所得的图像能与原函数图像完全重合,则称该函数具备对称性中的中心对称,该点称为该函数的对称中心。
2、常见函数的对称性
常数函数 轴对称和中心对称 直线上的所有点均为它的对称中心,与该直线相垂直的直线均为它的对称轴
一次函数 轴对称和中心对称
二次函数 轴对称但不是中心对称 其对称轴方程为x=-b/(2a)
反比例函数 轴对称和中心对称 原点为它的对称中心,y=x与y=-x均为它的对称轴
指数函数 不是轴对称且不是中心对称
对数函数
幂函数 奇函数中心对称,偶函数轴对称,其他幂函数不具备对称性 奇函数中心对称,对称中心是原点;偶函数轴对称,对称轴是y轴
正弦函数 轴对称和中心对称 其中(kπ,0)是它的对称中心,x=kπ+π/2是它的对称轴。
余弦函数 既是轴对称又是中心对称 x=kπ是它的对称轴,
(kπ+π/2,0)是它的对称中心
正切函数 不是轴对称,但是中心对称 其中(kπ/2,0)是它的对称中心
三次函数 三次函数中的奇函数是中心对称,对称中心是原点,而其他的三次函数是否具备对称性得因题而异。 奇函数是中心对称,对称中心是原点,而其他的三次函数是否具备对称性得因题而异。
绝对值函数 y=f(│x│)和y=│f(x)│两类。前者显然是偶函数,它会关于y轴对称;后者是把x轴下方的图像对称到x轴的上方 偶函数,它会关于y轴对称
y=│lnx│就没有对称性,而y=│sinx│却仍然是轴对称。
3.1函数的对称性
1、具体函数特殊的对称性
一个函数一般是不会关于x轴的:因为一个x不会对应两个y的值。若,原曲线上有点(x,y),当点(x,-y)在图像上,那么该曲线关于x轴对称;当点(-x,y)在图像上,那么该曲线关于y轴对称;当点(-x,-y)也在图像上,那么该曲线关于原点对称;当点(y,x)也在图像上,那么该曲线关于y=x对称;当点(-y,-x)也在图像上,那么该曲线关于y=-x轴对称。
2、抽象函数的对称性
性质1 若函数 关于直线 轴对称,则以下三个式子成立且等价:
四、函数的奇偶性
4.1函数的奇偶性定义以及判定
先看定义域是否关于原点对称,如果不是关于原点对称,则函数没有奇偶性。若定义域关于原点对称则 ,f(x)是偶函数, ,f(x)是奇函数。
以上的两幅图分别是函数 和 ,由于偶函数自变量是关于y轴对称的而且,左右两边自变量的函数值是相等的,所以能够轻易辨别,左边的是偶函数,右边不关于y轴对称,所以不是偶函数。下面的图同理可得,左边为奇函数,而右边并非奇函数。
在函数的性质中,对称性与函数的奇偶性乃至周期性三者密切相关,掌握其关联,这对学习函数或者是解决函数问题都有很大的帮助。
参考文献:
[1]黄丽,高中函数单调性的概念教学研究[J],2014
[2]常莪,高中函数教学研究与实践[J],2009
[3]祁红,函数的性质——单调性[J],学科教学,2013.3、
作者简介:
牟锐(1982—)男,湖北利川人,任教于湖北恩施高中。
【关键词】函数 单调性 对称性 奇偶性
【中图分类号】G632 【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089(2016)04-0081-02
一、函数的定义
在一个变化过程中,有两个变量x、y,如果给定一个x值,相应的就确定唯一的一个y,那么就称y是x的函数,其中x是自变量,y是因变量,x的取值范围叫做这个函数的定义域,相应y的取值范围叫做函数的值域。
二、函数的单调性
函数的单调性也可以叫做函数的增减性。当函数 f(x)的自变量在其定义区间内增大(或减小)时,函数值f(x)也随着增大(或减小),则称该函数为在该区间上具有单调性。
1、函数单调性的定义:一般地,设函数 的定义域为D,如果对于属于定义域D内某个区间上的任意两个自变量的值 , ,当 时,则有 ( ),那么 在区间D上是增函数(减函数).
理解函数单调性时,应注意以下问题:
(1)函数的单调区间是定义域的子集,确定函数单调区间时,应首先确定其定义域,定义域中的 相对于单调区间具有任意性,不能用特殊值替代。
(2) 在区间D1 ,D2上是增函数,但 不一定在区间D1∪D2上是增函数;同样 在区间D1 ,D2上是减函数,但 在区间D1∪D2上不一定是减函数.例如: 在区间 上为减函数,在 上也是减函数,但 在 上就不能说成是减函数。
2.1证明单调性的方法
1 用定义法证明函数 单调性的一般步骤是:
(1)取值:对任意 ,且 ;
(2)作差变形: ;
(3)定号得出结论
2用导函数研究函数的单调性:
(1)确定函数的定义域
(2)对函数求导
(3)解出导函数大于0或者小于等于0的x值
(4)当导函数大于等于0增函数,导函数小于等于0减函数
3通过四则运算确定函数的单调性
对于具有单调性的两个子函数而言:他们的定义域没有交集:
(1)两个函数具有相同的单调性,那么两个函数的和组成的新的函数单调性与原来的相同,但是两个函数的减法,乘法,除法与原来的不一定相同。
(2)如果两个函数的点调性相反,则新得到的函数(两个函数相减或者相乘是增函数),但是新得到的函数(两个函数做加法或者除法)是不能确定的
4.图像法
函数的单调性还可以从图像上进行描述,对于给定的区间上的函数f(x),函数图像如果从左向右连续上升,则函数在该区间上单调递增,此时导函数f’(x)<0,;函数图像如果从左向右连续下降,则函数在该区间上单调递减,导函数f’(x)<0.
函数单调性是函数的重要性质之一,函数的单调性在比较大小,证明不等式,解不等式,求最值,求值域以及实际问题中都有广泛的应用。
三、函数的对称性
1.函数的对称性可分为轴对称和中心对称:
①函数轴对称:如果一个函数的图像沿一条直线对折,直线两侧的图像能够完全重合,则称该函数具备对称性中的轴对称,该直线称为该函数的对称轴。
②中心对称:如果一个函数的图像沿一个点旋转180度,所得的图像能与原函数图像完全重合,则称该函数具备对称性中的中心对称,该点称为该函数的对称中心。
2、常见函数的对称性
常数函数 轴对称和中心对称 直线上的所有点均为它的对称中心,与该直线相垂直的直线均为它的对称轴
一次函数 轴对称和中心对称
二次函数 轴对称但不是中心对称 其对称轴方程为x=-b/(2a)
反比例函数 轴对称和中心对称 原点为它的对称中心,y=x与y=-x均为它的对称轴
指数函数 不是轴对称且不是中心对称
对数函数
幂函数 奇函数中心对称,偶函数轴对称,其他幂函数不具备对称性 奇函数中心对称,对称中心是原点;偶函数轴对称,对称轴是y轴
正弦函数 轴对称和中心对称 其中(kπ,0)是它的对称中心,x=kπ+π/2是它的对称轴。
余弦函数 既是轴对称又是中心对称 x=kπ是它的对称轴,
(kπ+π/2,0)是它的对称中心
正切函数 不是轴对称,但是中心对称 其中(kπ/2,0)是它的对称中心
三次函数 三次函数中的奇函数是中心对称,对称中心是原点,而其他的三次函数是否具备对称性得因题而异。 奇函数是中心对称,对称中心是原点,而其他的三次函数是否具备对称性得因题而异。
绝对值函数 y=f(│x│)和y=│f(x)│两类。前者显然是偶函数,它会关于y轴对称;后者是把x轴下方的图像对称到x轴的上方 偶函数,它会关于y轴对称
y=│lnx│就没有对称性,而y=│sinx│却仍然是轴对称。
3.1函数的对称性
1、具体函数特殊的对称性
一个函数一般是不会关于x轴的:因为一个x不会对应两个y的值。若,原曲线上有点(x,y),当点(x,-y)在图像上,那么该曲线关于x轴对称;当点(-x,y)在图像上,那么该曲线关于y轴对称;当点(-x,-y)也在图像上,那么该曲线关于原点对称;当点(y,x)也在图像上,那么该曲线关于y=x对称;当点(-y,-x)也在图像上,那么该曲线关于y=-x轴对称。
2、抽象函数的对称性
性质1 若函数 关于直线 轴对称,则以下三个式子成立且等价:
四、函数的奇偶性
4.1函数的奇偶性定义以及判定
先看定义域是否关于原点对称,如果不是关于原点对称,则函数没有奇偶性。若定义域关于原点对称则 ,f(x)是偶函数, ,f(x)是奇函数。
以上的两幅图分别是函数 和 ,由于偶函数自变量是关于y轴对称的而且,左右两边自变量的函数值是相等的,所以能够轻易辨别,左边的是偶函数,右边不关于y轴对称,所以不是偶函数。下面的图同理可得,左边为奇函数,而右边并非奇函数。
在函数的性质中,对称性与函数的奇偶性乃至周期性三者密切相关,掌握其关联,这对学习函数或者是解决函数问题都有很大的帮助。
参考文献:
[1]黄丽,高中函数单调性的概念教学研究[J],2014
[2]常莪,高中函数教学研究与实践[J],2009
[3]祁红,函数的性质——单调性[J],学科教学,2013.3、
作者简介:
牟锐(1982—)男,湖北利川人,任教于湖北恩施高中。