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[摘 要]本文给出了处于点或线特定位置的相似三角形第三顶点共线的几种情形。包括平面点、线情形，平面线、线情形，空间线、线情形。并且探讨了其中存在的一些几何特性。这些规律将在证明数点共线或共线测量中得到实用。
[关键词]相似三角形；第三点；点共线
中图分类号：G634.6 文献标识码：A 文章编号：1009-914X（2015）02-0000-01
1 引言
本文记述我在研究中发现的，处于点或线特殊位置的相似三角形第三顶点共线的几种情形。本文所涉及领域应属于几何学。姑且不敢妄称之为定理，暂以规律指代。
2 规律
①平面点线规律：平面上一条直线，与不在直线上的一点。以该点到直线上的任意线段为底，做相似三角形，则所有同向相似三角形第三顶点共线。可将此线称之为脊线。
②平面点线规律推论：直线与脊线角色可相互交换。共可得两条脊线。两条脊线交点处有特殊的相似三角形，两相似三角形全等。
③平面线线规律：平面两直线上两点，若始终沿各自方向连续移动的距离之比不变，则以所有对应两点连线为底，所作同方向相似三角形第三顶点共线。可将此线称之为脊线。
④平面线线规律推论：两条初始直线和脊线角色可相互交换，所有相似三角形中存在一个最小面积的三角形，存在两条脊线。
⑤空间线线规律：空间两直线被一组平行平面所截，在各平面内连接两截点，并以两截点的连线为底做同方向的相似三角形，则所有相似三角形第三顶点共线。可将此线称之为脊线。
3 例举与证明
①例：
图1a中，O点为直线AC外一点，过O点连接直线AC上随机3点A、B、C，并以线段OA、OB、OC为三角形的底边，做同方向的相似三角形。即△OAD∽△OBE∽△OCF。
图中∠AOD=∠BOE=∠COF，并且∠OAD=∠OBE=∠OCF
则，连接D、E、F三点，此三点共线。线DF为一条脊线。
证明：
如上图1b所示，继承图1a中之各点，但假定点E不在线DF上。连接D、E、F三点成三角形。
在△OCF∽△OBE中，OB/OC=OE/OF，
有： OF/OC=OE/OB
又：∠COF=∠BOE，且两角中∠BOF为公共角，
所以有：∠COB=∠FOE
综上可知：△COB∽△FOE
推之：∠OBC=∠OEF
同理可知：△OAB∽△ODE
推之：∠OBA=∠OED
所以有：∠DEF=∠OEF+∠OED=∠OBC+∠OBA=180°
所以：D、E、F三点共线。
由以上结论不难推广至多点情形。并且由规律①不难推导规律②，证明过程皆从略。
②例：
图2中，由图1中所述性质：A、B、C共线且△OAI∽△OBJ∽△OCK，有I、J、K共线。作各三角形的反方向相似三角形，也即上述各相似三角形的“靠背”全等三角形，得△OAE∽△OBF∽△OCG。得到点E、F、G，则线EG为区别于IK的另一条脊线。两脊线相交于L点。连接OL，可找到两个全等三角形△OLD和△OLN，D和N在直线AC上。它们的“靠背”（指两三角形共底边且关于底边呈镜像关系）三角形△ODH和△ONM的第三顶点H和M也都在脊线上。则线OD与线EG垂直于交点P，线ON与线LM垂直于交点Q。
③例：
图3中，AC和DF为任意两条直线。在直线上分别取点A和D，并向同侧顺序截取点B、C和E、F，且令AB/DE=BC/EF。 连接各对应点，得线段AD，BE，CF。以这三条线段为三角形底边作同方向相似三角形，得△ADM∽△BEN∽△CFK。图中各角∠ADM=∠BEN=∠CFK，且∠MAD=∠NBE=∠KCF，得相似三角形第三顶点M，N，K。则此三点共线。线MK可称之为脊线。并且有：AB/MN=BC/NK。
在图4中，AC和DF为任意两条直线。在直线上分别任意取点A和D，并向异侧截取点B、C和E、F，且令AB/DE=BC/EF。连接各对应点，得线段AD，BE，CF。以这三条线段为三角形底边作同方向相似三角形，得△ADM∽△BEN∽△CFK。如图中各三角形内角∠ADM=∠BEN=∠CFK，且∠MAD=∠NBE=∠KCF，得相似三角形第三顶点M，N，K。且此三点共线。线M、K可称之为脊线。并且有：AB/MN=BC/NK。
④例：
以上图5请对比图3，图6请对比图4。图5、图6都是在原图3、图4的基础上求各相似三角形的“靠背”三角形，从而求得另外一条“脊线”。经验证，③例中所有结论在此处依然成立。且圖5和图6中都存在一个面积最小的相似三角形。
⑤例：
如图7所示，空间任意两直线AD和EH被一组平行平面所截。图中面1、面2、面3、面4相互平行，面间距任意。所得直线与平面的交点分别为A、B、C、D和E、F、G、H，连接AE、BF、CG、DH，并以各线段为底边，在各自截面内做三角形，且令各三角形相似。即△AEO∽△BFP∽△CGQ∽△DHR则各相似三角形第三顶点O、P、Q、R共线。或同理，作△AEM∽△BFN∽△CGU∽△DHV则各相似三角形第三顶点M、N、U、V共线。
以上几番规律，不难推之至多边形情形，本文于此不再赘述。
鉴于作者对数学领域实在所学浅显，文章絮絮略陈孤陋，不免令方家贻笑。诸多遗漏或不尽之处，肯望读者匡正，感激不胜！
作者简介
穆树亮，男，1982年出生，毕业于北京科技大学，硕士研究生学历，机械设计工程师。
[关键词]相似三角形；第三点；点共线
中图分类号：G634.6 文献标识码：A 文章编号：1009-914X（2015）02-0000-01
1 引言
本文记述我在研究中发现的，处于点或线特殊位置的相似三角形第三顶点共线的几种情形。本文所涉及领域应属于几何学。姑且不敢妄称之为定理，暂以规律指代。
2 规律
①平面点线规律：平面上一条直线，与不在直线上的一点。以该点到直线上的任意线段为底，做相似三角形，则所有同向相似三角形第三顶点共线。可将此线称之为脊线。
②平面点线规律推论：直线与脊线角色可相互交换。共可得两条脊线。两条脊线交点处有特殊的相似三角形，两相似三角形全等。
③平面线线规律：平面两直线上两点，若始终沿各自方向连续移动的距离之比不变，则以所有对应两点连线为底，所作同方向相似三角形第三顶点共线。可将此线称之为脊线。
④平面线线规律推论：两条初始直线和脊线角色可相互交换，所有相似三角形中存在一个最小面积的三角形，存在两条脊线。
⑤空间线线规律：空间两直线被一组平行平面所截，在各平面内连接两截点，并以两截点的连线为底做同方向的相似三角形，则所有相似三角形第三顶点共线。可将此线称之为脊线。
3 例举与证明
①例：
图1a中，O点为直线AC外一点，过O点连接直线AC上随机3点A、B、C，并以线段OA、OB、OC为三角形的底边，做同方向的相似三角形。即△OAD∽△OBE∽△OCF。
图中∠AOD=∠BOE=∠COF，并且∠OAD=∠OBE=∠OCF
则，连接D、E、F三点，此三点共线。线DF为一条脊线。
证明：
如上图1b所示，继承图1a中之各点，但假定点E不在线DF上。连接D、E、F三点成三角形。
在△OCF∽△OBE中，OB/OC=OE/OF，
有： OF/OC=OE/OB
又：∠COF=∠BOE，且两角中∠BOF为公共角，
所以有：∠COB=∠FOE
综上可知：△COB∽△FOE
推之：∠OBC=∠OEF
同理可知：△OAB∽△ODE
推之：∠OBA=∠OED
所以有：∠DEF=∠OEF+∠OED=∠OBC+∠OBA=180°
所以：D、E、F三点共线。
由以上结论不难推广至多点情形。并且由规律①不难推导规律②，证明过程皆从略。
②例：
图2中，由图1中所述性质：A、B、C共线且△OAI∽△OBJ∽△OCK，有I、J、K共线。作各三角形的反方向相似三角形，也即上述各相似三角形的“靠背”全等三角形，得△OAE∽△OBF∽△OCG。得到点E、F、G，则线EG为区别于IK的另一条脊线。两脊线相交于L点。连接OL，可找到两个全等三角形△OLD和△OLN，D和N在直线AC上。它们的“靠背”（指两三角形共底边且关于底边呈镜像关系）三角形△ODH和△ONM的第三顶点H和M也都在脊线上。则线OD与线EG垂直于交点P，线ON与线LM垂直于交点Q。
③例：
图3中，AC和DF为任意两条直线。在直线上分别取点A和D，并向同侧顺序截取点B、C和E、F，且令AB/DE=BC/EF。 连接各对应点，得线段AD，BE，CF。以这三条线段为三角形底边作同方向相似三角形，得△ADM∽△BEN∽△CFK。图中各角∠ADM=∠BEN=∠CFK，且∠MAD=∠NBE=∠KCF，得相似三角形第三顶点M，N，K。则此三点共线。线MK可称之为脊线。并且有：AB/MN=BC/NK。
在图4中，AC和DF为任意两条直线。在直线上分别任意取点A和D，并向异侧截取点B、C和E、F，且令AB/DE=BC/EF。连接各对应点，得线段AD，BE，CF。以这三条线段为三角形底边作同方向相似三角形，得△ADM∽△BEN∽△CFK。如图中各三角形内角∠ADM=∠BEN=∠CFK，且∠MAD=∠NBE=∠KCF，得相似三角形第三顶点M，N，K。且此三点共线。线M、K可称之为脊线。并且有：AB/MN=BC/NK。
④例：
以上图5请对比图3，图6请对比图4。图5、图6都是在原图3、图4的基础上求各相似三角形的“靠背”三角形，从而求得另外一条“脊线”。经验证，③例中所有结论在此处依然成立。且圖5和图6中都存在一个面积最小的相似三角形。
⑤例：
如图7所示，空间任意两直线AD和EH被一组平行平面所截。图中面1、面2、面3、面4相互平行，面间距任意。所得直线与平面的交点分别为A、B、C、D和E、F、G、H，连接AE、BF、CG、DH，并以各线段为底边，在各自截面内做三角形，且令各三角形相似。即△AEO∽△BFP∽△CGQ∽△DHR则各相似三角形第三顶点O、P、Q、R共线。或同理，作△AEM∽△BFN∽△CGU∽△DHV则各相似三角形第三顶点M、N、U、V共线。
以上几番规律，不难推之至多边形情形，本文于此不再赘述。
鉴于作者对数学领域实在所学浅显，文章絮絮略陈孤陋，不免令方家贻笑。诸多遗漏或不尽之处，肯望读者匡正，感激不胜！
作者简介
穆树亮，男，1982年出生，毕业于北京科技大学，硕士研究生学历，机械设计工程师。