论文部分内容阅读
【摘要】猜想验证是一种重要的数学思想方法，正如荷兰数学教育家弗赖登塔尔所说：“真正的数学家常常凭借数学的直觉思维做出各种猜想，然后加以证实。”因此，数学教学中，教师要重视猜想验证思想方法的渗透，以增强学生主动探索和获取数学知识的能力。
【关键词】小学数学教学；猜想验证；数学思想方法；数学知识；主动探索
Conjecture validation of mathematical methods in elementary teaching Exploration and Utilization
Liu Jian
【Abstract】Conjecture verification is an important mathematical way of thinking， as the Dutch mathematics educators Freudenthal said： "The real mathematicians often made ？？with a variety of mathematical intuition conjecture， and then to be confirmed." Therefore， mathematics teaching ， teachers should pay attention to the penetration of conjecture verify thinking to enhance the students' initiative to explore and acquire mathematical knowledge.
【Key words】Primary Mathematics Teaching； Conjecture verification； Mathematical thinking； Mathematical knowledge； Initiative to explore
猜想验证是一种重要的数学思想方法，数学猜想实际上是一种数学想象，是人的思维在探索数学规律、本质时的一种策略。它是建立在已有的事实和经验上，运用非逻辑手段而得到的一种假定，是一种合理推理。数学方法理论的创导者波利亚曾说，在数学领域中，猜想是合理的、值得尊重的，是负责任的态度。在有些情况下，教猜想比教证明更重要。因此，在小学数学教学中，我们应当重视“猜想—验证”这一重要思想方法的渗透与培养。数学猜想并不是胡思乱想，基本思维模式是：问题— 反复思考—联想—顿悟 — 提出猜想—验证结论。正如荷兰数学教育家弗赖登塔尔所说“真正的数学家——常常凭借数学的直觉思维做出各种猜想，然后加以证实。”因此，小学数学教学中教师要重视猜想验证思想方法的渗透，以增强学生主动探索、获取数学知识的能力，促进学生创新能力的发展。那么，教学中如何渗透猜想验证的思想方法呢？
一、猜想是儿童认识的开始，没有正确的感知就不可能认识事物的本质和规律。心理学研究表明：学生感知越丰富，建立的表象越清晰，就越能发现事物的规律，获得知识。因此，教学中要给学生提供充足的能揭示规律的感性材料，引导学生动手做、动脑想、动口说、动眼看，使学生在做一做、算一算、想一想、说一说、看一看中获得丰富的感性认识，建立清晰的表象，搭建起知识结构物化与内化的桥梁，促使学生形成初步的猜想。例如我在教学分数的基
本性质的时候，我是这样设计教学的：
用故事情景引入，用猜测的方式，激发学生的学习兴趣，增强解决问题的现实性。采用学生自己亲自观察、操作，再分析怎样做的方式，把学生推上学习的主体地位，放手让学生自己去解决问题。我采用动画形式，出示一个老和尚做了三张同样大的大饼要分给三个小和尚，老和尚先把一张大饼平均分成四份，分给胖和尚一份，然后把第二张饼平均分成八份，分给瘦和尚二分，把第三张饼平均分成十六份，分给小和尚四份，当时我形象的给出了三个小和尚的表情，胖和尚满脸的不乐意，觉得老和尚偏心，给了自已一块，瘦和尚面无表情，认为自已二块，比胖和尚多，比小和尚少，很公平，而小和尚呢，则乐的笑哈哈，认为自已分的最多。这时我就时适的引出问题，让学生们猜想，到底老和尚分的公平不公平呢？小和尚们为什么会有这些表情呢？这样做，学生一边听故事，一边会动脑思考，注意力很集中。这两个开放式的问题，为学生拓展了更大的思维空间，摆脱了以往的 “他们分得的饼一样多吗？”的单一思维方式的问题，使学生在阐述不同想法的过程中，激起层层涟漪，产生出急切的想获知结果的欲望。牛顿曾说：“没有大胆的猜想，就做不出伟大的发现。”因此，课堂上我们要鼓励学生进行大胆猜想，从而发展学生的数学思维。学生有猜想公平的，还说不公平的，也有说不知道的……我给予学生猜想成功的愉悦体验：
1、给予学生鼓励性的评价。学生提出猜想很重要，虽然他们的猜想可能是经过反复思考、符合逻辑的，也可能是稚嫩无据的“异想天开”，或者是错误的、不完善的。作为教师，对待学生的任何猜想始终要保持一条原则，即进行鼓励性评价，保护学生猜想的积极性。教学中，允许学生提出多种“异议”，启发学生进行多向猜测、多向思考。
2、引导学生享受猜想的成功体验。在课堂教学中我们经常引导学生经历“猜想——验证”的过程，从鼓励学生联系已有知识和经验进行形象的分解、选择、加工和改造，大胆的猜想结论，再想办法来验证猜想。经历“猜想、假定、确定”的过程，体验到“发现、创造”的喜悦。
二、我马上转入下一个环节，提出：猜测是不一定正确的，需要通过验证才能知道猜测是不是有道理，规律是否存在。我们需要对以上的猜测进行验证。你们准备如何进行验证？让学生在操作和观察中验证，在独立思考和小组合作的过程中得出结论，体现了新课改理念倡导的数学学习方式的培养目标，给学生提供了展示自我才华的机会，激发了学生的探索欲望和学习兴趣。小学数学一般不要求作严格论证。因此，对于学生的假设是否具有普遍性，可以从学生以有的生活经验和思维水平入手，提供足够的探索时空，让学生进行独立的、小组合作式的探索活动，亲身经历尝试、探索、验证过程，获得验证所学知识的能力。我会鼓励学生用不同的方法去验证。组1：我们组把16根小棒看作单位“1”，平均分成4份，其中的一份有4根，就是14 。平均分成8份，其中的二份有4根，就是28 。平均分成16份，其中的4份也有4根，就是416 。所以14 =28 =416 。 组2：我们组把16个小立方体看作单位“1”，平均分成4份，其中的一份有4个，就是14 。平均分成8份，其中的二份有4个，就是28 。平均分成16份，其中的4份也有4个，就是416 。所以14 =28 =416 。
组3：我们把一个圆平均分成4份，取其中的一份是14 ，我们把同样大小的圆平均分成8份，取其中的两份是28 ，我们再把同样大小的圆平均分成16份，其中的4份用416 表示，我们再把圆片的14 、28 、416 叠起来是一样大的，所以14 =28 =416 。
组4：我们组是这样验证的。我们把同样大小的长方形纸平均分成4份，其中的一份是14 ，取另外一张再平均分成8份，其中的两份是28 ，接着取另外一张继续平均分成16份，其中的4份是416 ，然后也叠在一起，大小一样，所以我组也认为14 =28 =416 。
组5：我组与他们的验证方法都不一样，我们是计算的：14 =1÷4=0.25；28 =2÷8=0.25；416 =4÷16=0.25。三个分数都等于0.25，所以14 =28 =416 。组6：用正方形纸折……顾汝佐先生曾说过这样一段耐人寻味的话：“学生学习数学是掌握前人创造的经验，而这种经验需要教师设计出一定的客观形式，通过相应的信号、信息载体，让学生自己去观察、操作、发现、检验、实施，在头脑中构建经验结构。”这实际上就是要求数学教学应根据需要为学生模拟探究情境和过程，让学生自己去发现、建构新知，提升数学素养。此时的验证猜测活动应具有如下特点：
1、学生在验证猜测活动中，学生的思维和探索活动方向是明确的，保证探索活动有一定的效率。
2、学生在验证猜测活动中，不断地调整活动的途径和方案，朝着有利于自身需要的方向发展。
3、学生在验证猜测活动中，积累广泛的数学活动经验，从而为下一次实践活动提供强有力的支撑。
三、数学猜测是一种有根有据的合情推测。小学生的猜测由于受生活经验和知识水平的限制，随意性较大，需要教师的细心培养。然而，在平常的课堂教学中，不少教师往往在抛出一个问题后，就不加引导地让学生无根据地“瞎猜”或信口开河地“乱猜”。虽然学生们猜测的结论五花八门，但是离正确的答案相去甚远。在实践教学中，我感到要引导学生猜测，教师须注意以下几点：
1、学生的猜测是要以一定的认知基础为前提的，不然就起不了作用。教师在引导学生猜测前要作好相应的知识复习和情境创设，这是学生猜测成败的关键。
2、学生进入状态后，教师就要给足时间，让学生猜透，让学生将所猜的都说出来，这有益于每个学生的发展。教师要以自由、宽容的思想去对待和处理学生猜出的各种答案。因为，有时学生的回答会不得要领，有时甚至是完全相反的答案。因此，教师可根据学生的猜测结果去引导启发，但不能包办代替，在学生猜透的基础上，还应该组织学生讨论，对各种回答进行对比分析，让他们的思想在相互的碰撞下产生新的火花，产生新的灵感。这样才能让学生大胆猜测，积极参与，才能真正培养学生积极思维的良好习惯。学生猜想出现错误时，教师不要立即给予否定或提醒，而应适时引导学生举例验证，必要时教师可举出反例，让学生在验证中发现猜想错误，调整思考方向，重新提出假设。
3、验证之后，教师要不失时机地引导学生说一说、议一议，相互交流，达成共识。在此基础上，让学生理一理，准确地归纳概括出知识结论。归纳时要引导学生深刻立理解结论的普遍性和结论中的每一句话。这样，不但加深了学生对知识的理解，进一步巩固和掌握知识，而且培养了学生解决实际问题的能力。实践证明，在教学中重视猜想验证思想方法的渗透，有利于学生迅速发现事物的规律，获得探索知识的线索和方法，无疑会让学生在心理上产生一种极大的满足和喜悦，增强了学生学好数学的信心，激发了学生学习的主动性和参与性，从而更好地发展学生的创造性思维，提高学生自主学习能力和分析解决问题的能力。
“猜测—验证”，已经成为当今学生学习数学的一种重要方式，猜测作为一种手段，目的是为了验证猜测是否正确，从而使学生积极参与学习的过程，使学生主动地获取知识，同时也培养了学生的创造性思维。
【关键词】小学数学教学；猜想验证；数学思想方法；数学知识；主动探索
Conjecture validation of mathematical methods in elementary teaching Exploration and Utilization
Liu Jian
【Abstract】Conjecture verification is an important mathematical way of thinking， as the Dutch mathematics educators Freudenthal said： "The real mathematicians often made ？？with a variety of mathematical intuition conjecture， and then to be confirmed." Therefore， mathematics teaching ， teachers should pay attention to the penetration of conjecture verify thinking to enhance the students' initiative to explore and acquire mathematical knowledge.
【Key words】Primary Mathematics Teaching； Conjecture verification； Mathematical thinking； Mathematical knowledge； Initiative to explore
猜想验证是一种重要的数学思想方法，数学猜想实际上是一种数学想象，是人的思维在探索数学规律、本质时的一种策略。它是建立在已有的事实和经验上，运用非逻辑手段而得到的一种假定，是一种合理推理。数学方法理论的创导者波利亚曾说，在数学领域中，猜想是合理的、值得尊重的，是负责任的态度。在有些情况下，教猜想比教证明更重要。因此，在小学数学教学中，我们应当重视“猜想—验证”这一重要思想方法的渗透与培养。数学猜想并不是胡思乱想，基本思维模式是：问题— 反复思考—联想—顿悟 — 提出猜想—验证结论。正如荷兰数学教育家弗赖登塔尔所说“真正的数学家——常常凭借数学的直觉思维做出各种猜想，然后加以证实。”因此，小学数学教学中教师要重视猜想验证思想方法的渗透，以增强学生主动探索、获取数学知识的能力，促进学生创新能力的发展。那么，教学中如何渗透猜想验证的思想方法呢？
一、猜想是儿童认识的开始，没有正确的感知就不可能认识事物的本质和规律。心理学研究表明：学生感知越丰富，建立的表象越清晰，就越能发现事物的规律，获得知识。因此，教学中要给学生提供充足的能揭示规律的感性材料，引导学生动手做、动脑想、动口说、动眼看，使学生在做一做、算一算、想一想、说一说、看一看中获得丰富的感性认识，建立清晰的表象，搭建起知识结构物化与内化的桥梁，促使学生形成初步的猜想。例如我在教学分数的基
本性质的时候，我是这样设计教学的：
用故事情景引入，用猜测的方式，激发学生的学习兴趣，增强解决问题的现实性。采用学生自己亲自观察、操作，再分析怎样做的方式，把学生推上学习的主体地位，放手让学生自己去解决问题。我采用动画形式，出示一个老和尚做了三张同样大的大饼要分给三个小和尚，老和尚先把一张大饼平均分成四份，分给胖和尚一份，然后把第二张饼平均分成八份，分给瘦和尚二分，把第三张饼平均分成十六份，分给小和尚四份，当时我形象的给出了三个小和尚的表情，胖和尚满脸的不乐意，觉得老和尚偏心，给了自已一块，瘦和尚面无表情，认为自已二块，比胖和尚多，比小和尚少，很公平，而小和尚呢，则乐的笑哈哈，认为自已分的最多。这时我就时适的引出问题，让学生们猜想，到底老和尚分的公平不公平呢？小和尚们为什么会有这些表情呢？这样做，学生一边听故事，一边会动脑思考，注意力很集中。这两个开放式的问题，为学生拓展了更大的思维空间，摆脱了以往的 “他们分得的饼一样多吗？”的单一思维方式的问题，使学生在阐述不同想法的过程中，激起层层涟漪，产生出急切的想获知结果的欲望。牛顿曾说：“没有大胆的猜想，就做不出伟大的发现。”因此，课堂上我们要鼓励学生进行大胆猜想，从而发展学生的数学思维。学生有猜想公平的，还说不公平的，也有说不知道的……我给予学生猜想成功的愉悦体验：
1、给予学生鼓励性的评价。学生提出猜想很重要，虽然他们的猜想可能是经过反复思考、符合逻辑的，也可能是稚嫩无据的“异想天开”，或者是错误的、不完善的。作为教师，对待学生的任何猜想始终要保持一条原则，即进行鼓励性评价，保护学生猜想的积极性。教学中，允许学生提出多种“异议”，启发学生进行多向猜测、多向思考。
2、引导学生享受猜想的成功体验。在课堂教学中我们经常引导学生经历“猜想——验证”的过程，从鼓励学生联系已有知识和经验进行形象的分解、选择、加工和改造，大胆的猜想结论，再想办法来验证猜想。经历“猜想、假定、确定”的过程，体验到“发现、创造”的喜悦。
二、我马上转入下一个环节，提出：猜测是不一定正确的，需要通过验证才能知道猜测是不是有道理，规律是否存在。我们需要对以上的猜测进行验证。你们准备如何进行验证？让学生在操作和观察中验证，在独立思考和小组合作的过程中得出结论，体现了新课改理念倡导的数学学习方式的培养目标，给学生提供了展示自我才华的机会，激发了学生的探索欲望和学习兴趣。小学数学一般不要求作严格论证。因此，对于学生的假设是否具有普遍性，可以从学生以有的生活经验和思维水平入手，提供足够的探索时空，让学生进行独立的、小组合作式的探索活动，亲身经历尝试、探索、验证过程，获得验证所学知识的能力。我会鼓励学生用不同的方法去验证。组1：我们组把16根小棒看作单位“1”，平均分成4份，其中的一份有4根，就是14 。平均分成8份，其中的二份有4根，就是28 。平均分成16份，其中的4份也有4根，就是416 。所以14 =28 =416 。 组2：我们组把16个小立方体看作单位“1”，平均分成4份，其中的一份有4个，就是14 。平均分成8份，其中的二份有4个，就是28 。平均分成16份，其中的4份也有4个，就是416 。所以14 =28 =416 。
组3：我们把一个圆平均分成4份，取其中的一份是14 ，我们把同样大小的圆平均分成8份，取其中的两份是28 ，我们再把同样大小的圆平均分成16份，其中的4份用416 表示，我们再把圆片的14 、28 、416 叠起来是一样大的，所以14 =28 =416 。
组4：我们组是这样验证的。我们把同样大小的长方形纸平均分成4份，其中的一份是14 ，取另外一张再平均分成8份，其中的两份是28 ，接着取另外一张继续平均分成16份，其中的4份是416 ，然后也叠在一起，大小一样，所以我组也认为14 =28 =416 。
组5：我组与他们的验证方法都不一样，我们是计算的：14 =1÷4=0.25；28 =2÷8=0.25；416 =4÷16=0.25。三个分数都等于0.25，所以14 =28 =416 。组6：用正方形纸折……顾汝佐先生曾说过这样一段耐人寻味的话：“学生学习数学是掌握前人创造的经验，而这种经验需要教师设计出一定的客观形式，通过相应的信号、信息载体，让学生自己去观察、操作、发现、检验、实施，在头脑中构建经验结构。”这实际上就是要求数学教学应根据需要为学生模拟探究情境和过程，让学生自己去发现、建构新知，提升数学素养。此时的验证猜测活动应具有如下特点：
1、学生在验证猜测活动中，学生的思维和探索活动方向是明确的，保证探索活动有一定的效率。
2、学生在验证猜测活动中，不断地调整活动的途径和方案，朝着有利于自身需要的方向发展。
3、学生在验证猜测活动中，积累广泛的数学活动经验，从而为下一次实践活动提供强有力的支撑。
三、数学猜测是一种有根有据的合情推测。小学生的猜测由于受生活经验和知识水平的限制，随意性较大，需要教师的细心培养。然而，在平常的课堂教学中，不少教师往往在抛出一个问题后，就不加引导地让学生无根据地“瞎猜”或信口开河地“乱猜”。虽然学生们猜测的结论五花八门，但是离正确的答案相去甚远。在实践教学中，我感到要引导学生猜测，教师须注意以下几点：
1、学生的猜测是要以一定的认知基础为前提的，不然就起不了作用。教师在引导学生猜测前要作好相应的知识复习和情境创设，这是学生猜测成败的关键。
2、学生进入状态后，教师就要给足时间，让学生猜透，让学生将所猜的都说出来，这有益于每个学生的发展。教师要以自由、宽容的思想去对待和处理学生猜出的各种答案。因为，有时学生的回答会不得要领，有时甚至是完全相反的答案。因此，教师可根据学生的猜测结果去引导启发，但不能包办代替，在学生猜透的基础上，还应该组织学生讨论，对各种回答进行对比分析，让他们的思想在相互的碰撞下产生新的火花，产生新的灵感。这样才能让学生大胆猜测，积极参与，才能真正培养学生积极思维的良好习惯。学生猜想出现错误时，教师不要立即给予否定或提醒，而应适时引导学生举例验证，必要时教师可举出反例，让学生在验证中发现猜想错误，调整思考方向，重新提出假设。
3、验证之后，教师要不失时机地引导学生说一说、议一议，相互交流，达成共识。在此基础上，让学生理一理，准确地归纳概括出知识结论。归纳时要引导学生深刻立理解结论的普遍性和结论中的每一句话。这样，不但加深了学生对知识的理解，进一步巩固和掌握知识，而且培养了学生解决实际问题的能力。实践证明，在教学中重视猜想验证思想方法的渗透，有利于学生迅速发现事物的规律，获得探索知识的线索和方法，无疑会让学生在心理上产生一种极大的满足和喜悦，增强了学生学好数学的信心，激发了学生学习的主动性和参与性，从而更好地发展学生的创造性思维，提高学生自主学习能力和分析解决问题的能力。
“猜测—验证”，已经成为当今学生学习数学的一种重要方式，猜测作为一种手段，目的是为了验证猜测是否正确，从而使学生积极参与学习的过程，使学生主动地获取知识，同时也培养了学生的创造性思维。