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试题特征分析
数学应用型问题是历年中考命题的主要题型之一.这类问题大多是源于自然、社会与科学中的现象，呈现时通常会经过数学的“形式化”处理，文字叙述贴近现实生活，题目较长，数量关系分散隐蔽.面对此类问题，同学们通常会感到茫然，不知从何下手，易产生恐惧、畏惧心理.
解题方法指导
解实际应用型问题的一般程序：
（1） 读：阅读理解文字表达的题意，分清条件和结论，理顺数量关系.应用题文字表达是必不可少的，疏通文字、阅读理解题意是入门的第一关.
（2） 建：解应用题的根本是“建模”，熟悉基本数学模型，正确简便地建立数学模型是关键的一环.即针对题意，完成由实际应用性问题向数学问题的转化，选择好所要用到的数学知识，通过抽象、概括将其转化为一个纯粹的数学问题.
（3） 解：求解数学模型，得到数学结论.即运用我们具备的数学知识和技能，完成对所建数学模型的解答.
（4） 答：将数学方法得到的结论，还原为实际问题的意义.由于数学模型的解答并不一定完全符合问题的实际意义，所以要针对应用问题的实际，对模型解答进行分析、反思，得出实际问题的正确解答.
热点问题解析
一、 方程（组）、不等式（组）型实际应用题
例1 （根据2012贵州铜仁中考题改编）为了抓住梵净山文化艺术节的商机，某商店决定购进A、B两种艺术节纪念品.若购进A种纪念品8件，B种纪念品3件，需要950元；若购进A种纪念品5件，B种纪念品6件，需要800元.
（1） 求购进A、B两种纪念品每件各需多少元？
（2） 若该商店决定购进这两种纪念品共100件，考虑市场需求和资金周转，用于购买这100件纪念品的资金不少于7 500元，但不超过7 650元，那么该商店共有几种进货方案？
【分析】（1） 此问题等量关系式为：8件A纪念品的钱数+3件B纪念品的钱数=950，5件A纪念品的钱数+6件B纪念品的钱数=800；（2） 此问题关系式为：购买100件A和B的资金不少于7 500元，但不超过7 650元.
【解析】（1） 设该商店购进一件A种纪念品需要a元，购进一件B种纪念品需要b元，根据题意得方程组8a+3b=950，5a+6b=800.解之得a=100，b=50.
∴购进一件A种纪念品需要100元，购进一件B种纪念品需要50元.
（2） 设该商店购进A种纪念品x个，则购进B种纪念品有（100-x）个，
根据题意得100x+50（100-x）≥7 500，100x+50（100-x）≤7 650.
解得50≤x≤53.
∵x为正整数，∴共有4种进货方案.
【点评】列方程、不等式解决实际问题的关键是能正确分析出实际问题中的等量关系和不等关系，应注意第二问应求得整数解.一元一次不等式组的应用和二元一次方程组的应用相结合是每年中考的重点，同时也是难点.
变式问题
（2012·福建福州）某次知识竞赛共有20道题，每一题答对得5分，答错或不答都扣3分.
（1） 小明考了68分，那么小明答对了多少道题？
（2） 小亮获得二等奖（70～90分），请你算算小亮答对了几道题？
【参考答案】（1） 小明答对了16道题；（2） 小亮答对了17道题或18道题.
二、 函数型实际应用问题
例2 甲、乙两车同时从A地出发，以各自的速度匀速向B地行驶，甲车先到达B地，停留1小时后按原路以另一速度匀速返回，直到两车相遇，乙车的速度为每小时120千米，下图是两车之间的距离y（千米）与乙车行驶时间x（小时）之间的函数图象.
（1） 请在图中的（ ）内填上正确的值，并直接写出甲车从A到B的行驶速度.
（2） 求从甲车返回到与乙车相遇过程中y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围.
（3） 求出甲车返回时行驶速度及A、B两地的距离.
【分析】（1） 根据图象分析易得结果；（2） 利用待定系数法求解；（3） 略.
【解析】（1） 由图1中可以看出，甲、乙两车在3小时时相距240千米，然后只剩下乙车行走，乙车1小时行走120千米，所以4小时时，两车相距120千米；∵3小时两车相距240千米，∴1小时两车相距80千米.
∵乙车的速度为每小时120千米，∴甲车的速度为200千米/时，故答案为120.
（2） 设y与x之间的函数关系式为y=kx+b，
把坐标（4.4，0）和（4，120）代入可求解，得y=-300x+1 320；
（3） ∵两车用0.4小时共同开了120 km，乙车的速度为120千米/时，∴两车1小时共开了300千米.
∴甲车的速度为180千米/时，甲乙两地的距离为200×3=600千米.
【点评】理解函数图象的横轴和纵轴表示的意义是解决本题的突破点，其中三条线段的端点的实际意义是解决本题的关键点.本题主要考查一次函数的图象和应用，函数型实际应用问题是中考考查的重点，重在考查认识图象、分析图象和利用图象解决问题的能力.
变式问题
（2009·广西河池）为了预防流感，某学校在休息天用药熏消毒法对教室进行消毒.已知药物释放过程中，室内每立方米空气中的含药量y（毫克）与时间x（分钟）成正比例；药物释放完毕后，y与x成反比例，如图所示.根据图2中提供的信息，解答下列问题：
（1） 写出从药物释放开始，y与x之间的两个函数关系式及相应的自变量取值范围；
（2） 据测定，当空气中每立方米的含药量降低到0.45毫克以下时，学生方可进入教室，那么从药物释放开始，至少需要经过多少小时，学生才能进入教室？
拓展问题
有两段长度相等的河渠挖掘任务，分别交给甲、乙两个工程队同时进行挖掘.图3是反映所挖河渠长度y（米）与挖掘时间x（时）之间关系的部分图象.请解答下列问题：
（1） 乙队开挖到30米时，用了______小时，开挖6小时时，甲队比乙队多挖了______米；
（2） 请你求出：
① 甲队在0≤x≤6的时段内，y与x之间的函数关系式；
② 乙队在2≤x≤6的时段内，y与x之间的函数关系式；
③ 开挖几小时后，甲队所挖掘河渠的长度开始超过乙队？
（3） 如果甲队施工速度不变，乙队在开挖6小时后，施工速度增加到12米/时，结果两队同时完成了任务，问甲队从开挖到完工所挖河渠的长度为多少米？
【参考答案】（1） 2；10；（2） ① y=10x；② y=5x+20；③ 4小时后，甲队挖掘河渠的长度开始超过乙队；（3） 甲队从开挖到完工所挖河渠的长度为110米.
数学应用型问题是历年中考命题的主要题型之一.这类问题大多是源于自然、社会与科学中的现象，呈现时通常会经过数学的“形式化”处理，文字叙述贴近现实生活，题目较长，数量关系分散隐蔽.面对此类问题，同学们通常会感到茫然，不知从何下手，易产生恐惧、畏惧心理.
解题方法指导
解实际应用型问题的一般程序：
（1） 读：阅读理解文字表达的题意，分清条件和结论，理顺数量关系.应用题文字表达是必不可少的，疏通文字、阅读理解题意是入门的第一关.
（2） 建：解应用题的根本是“建模”，熟悉基本数学模型，正确简便地建立数学模型是关键的一环.即针对题意，完成由实际应用性问题向数学问题的转化，选择好所要用到的数学知识，通过抽象、概括将其转化为一个纯粹的数学问题.
（3） 解：求解数学模型，得到数学结论.即运用我们具备的数学知识和技能，完成对所建数学模型的解答.
（4） 答：将数学方法得到的结论，还原为实际问题的意义.由于数学模型的解答并不一定完全符合问题的实际意义，所以要针对应用问题的实际，对模型解答进行分析、反思，得出实际问题的正确解答.
热点问题解析
一、 方程（组）、不等式（组）型实际应用题
例1 （根据2012贵州铜仁中考题改编）为了抓住梵净山文化艺术节的商机，某商店决定购进A、B两种艺术节纪念品.若购进A种纪念品8件，B种纪念品3件，需要950元；若购进A种纪念品5件，B种纪念品6件，需要800元.
（1） 求购进A、B两种纪念品每件各需多少元？
（2） 若该商店决定购进这两种纪念品共100件，考虑市场需求和资金周转，用于购买这100件纪念品的资金不少于7 500元，但不超过7 650元，那么该商店共有几种进货方案？
【分析】（1） 此问题等量关系式为：8件A纪念品的钱数+3件B纪念品的钱数=950，5件A纪念品的钱数+6件B纪念品的钱数=800；（2） 此问题关系式为：购买100件A和B的资金不少于7 500元，但不超过7 650元.
【解析】（1） 设该商店购进一件A种纪念品需要a元，购进一件B种纪念品需要b元，根据题意得方程组8a+3b=950，5a+6b=800.解之得a=100，b=50.
∴购进一件A种纪念品需要100元，购进一件B种纪念品需要50元.
（2） 设该商店购进A种纪念品x个，则购进B种纪念品有（100-x）个，
根据题意得100x+50（100-x）≥7 500，100x+50（100-x）≤7 650.
解得50≤x≤53.
∵x为正整数，∴共有4种进货方案.
【点评】列方程、不等式解决实际问题的关键是能正确分析出实际问题中的等量关系和不等关系，应注意第二问应求得整数解.一元一次不等式组的应用和二元一次方程组的应用相结合是每年中考的重点，同时也是难点.
变式问题
（2012·福建福州）某次知识竞赛共有20道题，每一题答对得5分，答错或不答都扣3分.
（1） 小明考了68分，那么小明答对了多少道题？
（2） 小亮获得二等奖（70～90分），请你算算小亮答对了几道题？
【参考答案】（1） 小明答对了16道题；（2） 小亮答对了17道题或18道题.
二、 函数型实际应用问题
例2 甲、乙两车同时从A地出发，以各自的速度匀速向B地行驶，甲车先到达B地，停留1小时后按原路以另一速度匀速返回，直到两车相遇，乙车的速度为每小时120千米，下图是两车之间的距离y（千米）与乙车行驶时间x（小时）之间的函数图象.
（1） 请在图中的（ ）内填上正确的值，并直接写出甲车从A到B的行驶速度.
（2） 求从甲车返回到与乙车相遇过程中y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围.
（3） 求出甲车返回时行驶速度及A、B两地的距离.
【分析】（1） 根据图象分析易得结果；（2） 利用待定系数法求解；（3） 略.
【解析】（1） 由图1中可以看出，甲、乙两车在3小时时相距240千米，然后只剩下乙车行走，乙车1小时行走120千米，所以4小时时，两车相距120千米；∵3小时两车相距240千米，∴1小时两车相距80千米.
∵乙车的速度为每小时120千米，∴甲车的速度为200千米/时，故答案为120.
（2） 设y与x之间的函数关系式为y=kx+b，
把坐标（4.4，0）和（4，120）代入可求解，得y=-300x+1 320；
（3） ∵两车用0.4小时共同开了120 km，乙车的速度为120千米/时，∴两车1小时共开了300千米.
∴甲车的速度为180千米/时，甲乙两地的距离为200×3=600千米.
【点评】理解函数图象的横轴和纵轴表示的意义是解决本题的突破点，其中三条线段的端点的实际意义是解决本题的关键点.本题主要考查一次函数的图象和应用，函数型实际应用问题是中考考查的重点，重在考查认识图象、分析图象和利用图象解决问题的能力.
变式问题
（2009·广西河池）为了预防流感，某学校在休息天用药熏消毒法对教室进行消毒.已知药物释放过程中，室内每立方米空气中的含药量y（毫克）与时间x（分钟）成正比例；药物释放完毕后，y与x成反比例，如图所示.根据图2中提供的信息，解答下列问题：
（1） 写出从药物释放开始，y与x之间的两个函数关系式及相应的自变量取值范围；
（2） 据测定，当空气中每立方米的含药量降低到0.45毫克以下时，学生方可进入教室，那么从药物释放开始，至少需要经过多少小时，学生才能进入教室？
拓展问题
有两段长度相等的河渠挖掘任务，分别交给甲、乙两个工程队同时进行挖掘.图3是反映所挖河渠长度y（米）与挖掘时间x（时）之间关系的部分图象.请解答下列问题：
（1） 乙队开挖到30米时，用了______小时，开挖6小时时，甲队比乙队多挖了______米；
（2） 请你求出：
① 甲队在0≤x≤6的时段内，y与x之间的函数关系式；
② 乙队在2≤x≤6的时段内，y与x之间的函数关系式；
③ 开挖几小时后，甲队所挖掘河渠的长度开始超过乙队？
（3） 如果甲队施工速度不变，乙队在开挖6小时后，施工速度增加到12米/时，结果两队同时完成了任务，问甲队从开挖到完工所挖河渠的长度为多少米？
【参考答案】（1） 2；10；（2） ① y=10x；② y=5x+20；③ 4小时后，甲队挖掘河渠的长度开始超过乙队；（3） 甲队从开挖到完工所挖河渠的长度为110米.