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试题特征分析
此类问题通常是以几何图形题的方式呈现，结合了图形的变换、全等与相似等初中数学的重要知识点，需要仔细阅读题目中提供的信息以便作出合理的推断.（1） 需要进行画图或实验操作，了解问题的大致范围或内容.（2） 目标常常是有指向性的，但结论需要经过探索确定.（3） 整题的解答常常表现出不同层次的结果.
各地中考中常将此类题目作为压轴题呈现.题目大多是在课本原题的基础上进行动态性的变化拓展，或从某些结论是否保持不变的角度进行研究.
解题方法指导
（1） 充满信心又耐心细致：此类问题的题量大，初看时难免有点畏惧，但只要你结合已有的经验方法，根据题目呈现的顺序和要求进行操作尝试，解答时就一定会有所收获.
（2） 注意思维的迁移特点：证明特殊情况下的结论时所采用的方法往往可以给一般情况下的证明提供有益的启示.
（3） 操作中敢于大胆猜想：严密细致的推理是必要的，但由于此类问题的结论在“暗”处，有时需要经历一定的尝试性探索，如画出不同情况下的图形进行度量观察发现目标的结论.
热点问题解析
一、 图形割补问题
例1 （2011·常州）已知：如图1，图形① 满足AD=AB，MD=MB，∠A=72°，∠M=144°.图形②与图形①恰好拼成一个菱形（如图2）.记AB的长度为a，BM的长度为b.
（1） 图形①中∠B=_______°，图形②中∠E=_______°；
（2） 小明有两种纸片各若干张，其中一种纸片的形状及大小与图形①相同，这种纸片称为“风筝一号”；另一种纸片的形状及大小与图形②相同，这种纸片称为“飞镖一号”.
① 小明仅用“风筝一号”纸片拼成一个边长为b的正十边形，需要这种纸片_______张；
② 小明若用若干张“风筝一号”纸片和“飞镖一号”纸片拼成一个“大风筝”（如图3），其中∠P=72°，∠Q=144°，且PI=PJ=a+b，IQ=JQ.请你在图3中画出拼接线并保留画图痕迹.（本题中均为无重叠、无缝隙拼接）
【分析】可用剪纸进行尝试，注意题中的线段、角度关系以及无重叠、无缝隙所表示的数学意义.
【解析】（1） 连接AM，易得△ADM≌△ABM，利用三角形内角和可得∠B=72°，同理可得∠E=36°；
（2） ① 分析可知，拼接点只能是点A，利用360°除以72°即可得到需要“风筝一号”纸片5张；
② 如图4，以P为圆心，以a长为半径画弧，与PI和PJ分别交于两点，然后以两交点为圆心，以b长为半径在∠IPJ的内部画弧，两弧交于一点，连接这点与点Q，画出满足题意的拼接线.
【点评】此题以“风筝”、“飞镖”为背景，以图形的剪和拼为形式，考查掌握菱形的性质、正多边形、圆、密铺等重要知识，需要同学们灵活运用两三角形的全等得到对应的角相等，掌握密铺的规律.
变式问题
如图5是一块四边形的薄钢板，∠A=60°，∠C=120°，AB=AD.
（1） 能否先沿一条对角线将钢板切割成两块，再焊接成一块与原钢板面积相同的三角形钢板？若能，请说明切割、焊接的方法，用虚线画出示意图，并说明焊接的钢板是什么三角形；若不能，请说明理由.
（2） 若BC=1 m，CD=3 m，求这块钢板的面积.
二、 相似应用问题
例2 （2011·江苏盐城）情境观察：将矩形ABCD纸片沿对角线AC剪开，得到△ABC和△A′C′D，如图6所示.将△A′C′D的顶点A′与点A重合，并绕点A按逆时针方向旋转，使点D、A（A′）、B在同一条直线上，如图7所示.
观察图7可知：与BC相等的线段是 _______，∠CAC′=_______°.
问题探究：如图8，△ABC中，AG⊥BC于点G，以A为直角顶点，分别以AB、AC为直角边，向△ABC外作等腰Rt△ABE和等腰Rt△ACF，过点E、F作射线GA的垂线，垂足分别为P、Q. 试探究EP与FQ之间的数量关系，并证明你的结论.
拓展延伸：如图9，△ABC中，AG⊥BC于点G，分别以AB、AC为一边向△ABC外作矩形ABME和矩形ACNF，射线GA交EF于点H. 若AB= kAE，AC= kAF，试探究HE与HF之间的数量关系，并说明理由.
【分析】可通过度量的方法发现二线段间的关系，从“问题探究”中的相等关系到“拓展延伸”中的不等关系（可尝试将k的值设置成2、3），联想到证明线段相等（倍数）关系的常用手段是三角形的全等（相似）.
【解析】（1） 根据全等三角形对应边相等可得：BC=AD.∵△AC′D≌△CAB，∴∠AC′D=∠CAB.∵∠AC′D+∠C′AD=90°，∴∠CAB+∠C′AD=90°.即可得∠CAC′=90°.
（2） 证明Rt△ABG≌Rt△EAP，得AG=EP，同理AG=FQ， ∴EP=FQ.
【点评】本题以几何中最常见的旋转变换形式呈现，考查了初中几何学习中最重要的全等三角形和相似三角形的判定.
变式问题
在图10至图12中，直线MN与线段AB相交于点O，∠1=∠2=45°.
（1） 如图10，若AO=OB，请写出AO与BD的数量关系和位置关系；
（2） 将图10中的MN绕点O顺时针旋转得到图11，其中AO=OB. 求证：AC=BD，AC⊥BD；
【参考答案】（1） AO=BD，AO⊥BD；（2） 过点B作BP∥AC交MN于点P，由全等可得；（3） 过点B作BP∥AC交MN于点P，由相似可得.
此类问题通常是以几何图形题的方式呈现，结合了图形的变换、全等与相似等初中数学的重要知识点，需要仔细阅读题目中提供的信息以便作出合理的推断.（1） 需要进行画图或实验操作，了解问题的大致范围或内容.（2） 目标常常是有指向性的，但结论需要经过探索确定.（3） 整题的解答常常表现出不同层次的结果.
各地中考中常将此类题目作为压轴题呈现.题目大多是在课本原题的基础上进行动态性的变化拓展，或从某些结论是否保持不变的角度进行研究.
解题方法指导
（1） 充满信心又耐心细致：此类问题的题量大，初看时难免有点畏惧，但只要你结合已有的经验方法，根据题目呈现的顺序和要求进行操作尝试，解答时就一定会有所收获.
（2） 注意思维的迁移特点：证明特殊情况下的结论时所采用的方法往往可以给一般情况下的证明提供有益的启示.
（3） 操作中敢于大胆猜想：严密细致的推理是必要的，但由于此类问题的结论在“暗”处，有时需要经历一定的尝试性探索，如画出不同情况下的图形进行度量观察发现目标的结论.
热点问题解析
一、 图形割补问题
例1 （2011·常州）已知：如图1，图形① 满足AD=AB，MD=MB，∠A=72°，∠M=144°.图形②与图形①恰好拼成一个菱形（如图2）.记AB的长度为a，BM的长度为b.
（1） 图形①中∠B=_______°，图形②中∠E=_______°；
（2） 小明有两种纸片各若干张，其中一种纸片的形状及大小与图形①相同，这种纸片称为“风筝一号”；另一种纸片的形状及大小与图形②相同，这种纸片称为“飞镖一号”.
① 小明仅用“风筝一号”纸片拼成一个边长为b的正十边形，需要这种纸片_______张；
② 小明若用若干张“风筝一号”纸片和“飞镖一号”纸片拼成一个“大风筝”（如图3），其中∠P=72°，∠Q=144°，且PI=PJ=a+b，IQ=JQ.请你在图3中画出拼接线并保留画图痕迹.（本题中均为无重叠、无缝隙拼接）
【分析】可用剪纸进行尝试，注意题中的线段、角度关系以及无重叠、无缝隙所表示的数学意义.
【解析】（1） 连接AM，易得△ADM≌△ABM，利用三角形内角和可得∠B=72°，同理可得∠E=36°；
（2） ① 分析可知，拼接点只能是点A，利用360°除以72°即可得到需要“风筝一号”纸片5张；
② 如图4，以P为圆心，以a长为半径画弧，与PI和PJ分别交于两点，然后以两交点为圆心，以b长为半径在∠IPJ的内部画弧，两弧交于一点，连接这点与点Q，画出满足题意的拼接线.
【点评】此题以“风筝”、“飞镖”为背景，以图形的剪和拼为形式，考查掌握菱形的性质、正多边形、圆、密铺等重要知识，需要同学们灵活运用两三角形的全等得到对应的角相等，掌握密铺的规律.
变式问题
如图5是一块四边形的薄钢板，∠A=60°，∠C=120°，AB=AD.
（1） 能否先沿一条对角线将钢板切割成两块，再焊接成一块与原钢板面积相同的三角形钢板？若能，请说明切割、焊接的方法，用虚线画出示意图，并说明焊接的钢板是什么三角形；若不能，请说明理由.
（2） 若BC=1 m，CD=3 m，求这块钢板的面积.
二、 相似应用问题
例2 （2011·江苏盐城）情境观察：将矩形ABCD纸片沿对角线AC剪开，得到△ABC和△A′C′D，如图6所示.将△A′C′D的顶点A′与点A重合，并绕点A按逆时针方向旋转，使点D、A（A′）、B在同一条直线上，如图7所示.
观察图7可知：与BC相等的线段是 _______，∠CAC′=_______°.
问题探究：如图8，△ABC中，AG⊥BC于点G，以A为直角顶点，分别以AB、AC为直角边，向△ABC外作等腰Rt△ABE和等腰Rt△ACF，过点E、F作射线GA的垂线，垂足分别为P、Q. 试探究EP与FQ之间的数量关系，并证明你的结论.
拓展延伸：如图9，△ABC中，AG⊥BC于点G，分别以AB、AC为一边向△ABC外作矩形ABME和矩形ACNF，射线GA交EF于点H. 若AB= kAE，AC= kAF，试探究HE与HF之间的数量关系，并说明理由.
【分析】可通过度量的方法发现二线段间的关系，从“问题探究”中的相等关系到“拓展延伸”中的不等关系（可尝试将k的值设置成2、3），联想到证明线段相等（倍数）关系的常用手段是三角形的全等（相似）.
【解析】（1） 根据全等三角形对应边相等可得：BC=AD.∵△AC′D≌△CAB，∴∠AC′D=∠CAB.∵∠AC′D+∠C′AD=90°，∴∠CAB+∠C′AD=90°.即可得∠CAC′=90°.
（2） 证明Rt△ABG≌Rt△EAP，得AG=EP，同理AG=FQ， ∴EP=FQ.
【点评】本题以几何中最常见的旋转变换形式呈现，考查了初中几何学习中最重要的全等三角形和相似三角形的判定.
变式问题
在图10至图12中，直线MN与线段AB相交于点O，∠1=∠2=45°.
（1） 如图10，若AO=OB，请写出AO与BD的数量关系和位置关系；
（2） 将图10中的MN绕点O顺时针旋转得到图11，其中AO=OB. 求证：AC=BD，AC⊥BD；
【参考答案】（1） AO=BD，AO⊥BD；（2） 过点B作BP∥AC交MN于点P，由全等可得；（3） 过点B作BP∥AC交MN于点P，由相似可得.