【摘要】本文利用不定方程x2 xy y2=z2与3x2 y2=z2即命题1与命题2给出的求整数解公式来解决两例数学问题.
　　【关键词】不定方程求解关系式;费马小定理;费马大定理
　　1.命题证明
　　《数论揭谜》一书第4页介绍一种数学方法叫不定方程求解关系式，当中有一命题：设x1，x2，…，xn（n≥2）均是整数，则存在适当的有理数a，b1，b2，…，bn-1使得xj=a bj（j=1，2，…，n-1），xn=∑n-1j=1bj.下面，将利用该数学方法来解决摘要内容.
　　命题1 不定方程x2 xy y2=z2
　　的一切非零整数组解，可表为x=2ab b2，y=a2-b2，z=a2 ab b2（这里a，b均为整数，a≠b）.
　　证明 原式给出 （2x y）2 3y2=4z2.（1）
　　不难验证，上式有整数组解x=3，y=-8，z=7.为此，利用不定方程求解关系式，可令
　　2x y=a b，y=a c，2z=b c.（2）
　　这里x，y，z均为非零整数，且由a=x y-z推得a，b，c均为适当整数.
　　将（2）代入（1）并展开整理，逐步得出
　　（a c）2 3（a b）2=（b c）2.（3）
　　展开上式得c（b-a）=2a2 3ab b2.
　　现证a≠b.事实上，若a=b，则将（2）后两式相互代入得y=2z，但此代入（1）引有（2x y）2 8z2=0的矛盾. 因此，将上式给出c=2a2 3ab b2（b-a）代回（3）然后两边同乘以（b-a）2并稍加整理得
　　（a2 4ab b2）2 3（a2-b2）2=4（a2 ab b2）2.
　　将（1）与上式相互比较，并设a≠b，可令2x y=a2 4ab b2，y=a2-b2，z=a2 ab b2，且前两式相互代入得出x=2ab b2. 至此，命题1得证.
　　命题2 不定方程3x2 y2=z2关于（x，y）=（z，2）=1的一切整数组解，可表为
　　x=2-1（u2-v2），y=2-1（u2 4uv v2），z=u2 uv v2.
　　这里u，v∈Z，（u，v）=1.
　　证明 先设有不定方程3A2 B2=C2.（1）
　　不难验证，上式有整数解A=4，B=11，C=13.为此，利用不定方程求解关系式，可令
　　A=t u，B=t v，C=u v.（2）
　　这里A，B，C均为非零整数，（A，B）=（C，2）=1，且由t=2-1（A B-C）∈Z推得t，u，v均为适当整数.
　　将（2）三式一起代入（1）得
　　3（t u）2 （t v）2=（u v）2.（3）
　　上式给出 4t2 6ut 2vt 2u2=2uvv（u-t）=2t2 3ut u2.
　　继而，将（2）各式遍乘以u-t，然后将上式代入得
　　X=u2-t2，Y=t（u-t） 2t2 3ut u2=t2 4ut u2，
　　Z=u（u-t） 2t2 3ut u2=2（t2 ut u2），
　　式中X=（u-t）A，Y=（u-t）B，Z=（u-t）C.
　　将（3）各项遍乘以u-t，然后将上面相关式代入得
　　3X2 Y2=Z2.（4）
　　设（X，Y）=d，上式各式遍除以d，并令x=d-1X，y=d-1Y，z=d-1Z，得出
　　3x2 y2=z2.（5）
　　x=d-1（u2-t2），y=d-1（t2 4ut u2），z=2d-1（t2 ut u2）（6）
　　其中（x，y）=（z，2）=1.
　　上面三式给出（u2-t2，t2 4ut u2，2t2 2ut 2u2）=d.
　　由于（t，u）=（z，2）=1给出（t2 4ut u2，4）=2而推得d=2，故将此代入（6）即有命题2所证.
　　2.应用举例
　　往下，将利用命题1和命题2来给证两例.
　　例1 不定方程x4 x2y2 y4=z4无非零整数解.
　　证明 假设例1不正确，则利用命题1，可令
　　x2=2ab b2，y2=a2-b2，z2=a2 ab b2.（1）
　　其中x，y，a，b∈Z，（x，y）=（x，z）=1，a2