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[摘要]数学学习心理研究是数学教育理论研究的基点。由于数学本身的抽象性、严谨性和广泛应用性，数学学习心理的研究不能简单地移植一般学习心理学的研究结论，而应更多地从数学学科的特征出发。对已有研究的概括和分析，有助于辩证地看待数学学习心理研究的成果，自觉把握数学学习心理研究的发展趋势，推动数学学习心理研究的繁荣和深化。
[关键词]数学学习；学习心理；认知学习
1 概况
数学学习既有一般学习的特征，又有其自身的特殊规律。将数学学习心理学作为专门研究课题始于20世纪70年代。1976年在德国卡尔斯鲁厄召开的第三届国际数学教育大会上。成立了国际数学教育心理学组织(IGPME)，菲施拜因当选为第一任主席。1977年在荷兰乌德列支召开的第一届国际数学教育心理学年会，标志着对数学教育心理的系统研究全面展开。前ICMI秘书长M.Niss在第九届国际数学教育大会(东京，2000)上所作的报告中指出：“数学学习研究已成为当前数学教育研究中最重要的研究对象”。
将数学教育理论的三大支柱之一的数学学习理论作为一个专门领域开展研究具有重要实践意义。其一，从逻辑关系上，数学学习论是数学教学论与数学课程论研究的依据与出发点，一切教师的教都是为了学生更好的学，一切教材的编写都必须符合学生的心理认知规律；其二，从数学学科角度上，数学学习有其自身的特殊规律。这种特殊规律的显著特征之一体现在数学实践活动与数学抽象认识的辩证统一，对实践活动与抽象认识的相互作用的内在机制的考察显然离不开作为中介的数学学习心理过程；其三，从一般学习心理研究的发展趋势看。当今心理学家们更加关注教育实际、更加注重教育情境中的实际应用研究。国际数学教育心理学组织IGPMI曾明确指出“我们不应从普遍的、中性的学习理论出发提出数学学习理论，而应集中注意特定内容的学习过程”。
数学学习研究在我国起步较晚，与其它数学教育研究分支相比，是一个较薄弱的环节，研究水平远落后于国际水平。然而，近年来，数学学习研究有许多进展。尤其是，2001年“数学教育高级研讨班”的主题是“数学学习研究”。会议回顾总结我国的数学学习研究，对研究现状和水平作了分析；通过辨析西方数学教育心理学或学习理论若干流派、观点，对数学学习研究今后的研究取向、研究方法、研究选题提出了富有建设性的观点与建议。
从20世纪80年代后期以来，自扬州大学的毛鸿翔、季素月撰写第一本数学教育心理学专著《数学教学与学习心理学》至今，许多数学教育研究工作者及一线教师潜心钻研，撰写了大量数学学习心理学论文，已出版数学教育心理学著作十几本，主要著作有：《认知科学建构主义与数学教育》(郑毓信，粱贯成，1998)；《数学教育心理学》(曹才翰，章建跃，1999)；《PME：数学教育心理》(李士锜，2001)；《数学教育心理学》(喻平，2004)等等，限于篇幅，这里不再一一列举。这些研究为国内数学学习心理研究的理论构建奠定了坚实的基础，为数学学习心理研究提供了方法论的指导。
2 近年来研究的主要内容
根据对已发表的论文和出版的专著进行整理归纳，尽管国内对数学学习心理研究的时间不算长，但是研究主题涉及面较广，内容也颇为丰富，主要研究包括以下几个方面：
①理论基础方面：建构主义的基本观点、特征、实质；不同学派建构主义的辨析；由行为主义向认知主义转向的认识；数学学习的元认知。这方面的工作为数学学习研究奠定了牢靠的理论基础，提供了深入研究数学学习认知规律的有效平台，促进实践中数学学习指导的观念转变。
②心理过程方面：概念形成过程与热能生巧；数学学习过程的心理规律，心理变化过程的模型；数学学习的心理障碍及对策；数学记忆的规律、方法；解题迁移的机制的实验研究；认知加工水平对解平面几何问题迁移的影响；类比迁移中的作用，样例表面内容对数学问题解决类比迁移的影响；程序性知识的学习迁移；样例和练习在促进解题迁移能力中的作用。
③认知结构方面：数学学习心理的CPFS结构理论；认知结构对数学学习影响；数学证明的认知结构；数学概念学习的认知分析；数和数学中部分和整体关系；小学生应用题认知发展的研究，应用题的结构成分特征分析；不同民族数学能力和认知结构发展研究。这方面的工作在一般心理理论与数学学科特点结合方面的研究提供了非常好的范例，对数学知识形成过程的不同侧面及影响因素进行了深入分析，澄清并升华了关于数学学习的认识。
④数学能力方面：数学能力结构的构成、分类；小学生推理能力结构分析；超常儿童的数学能力分析；自我监控能力在数学能力结构中的重要性。
⑤非智力因素方面：情感和意志对数学学习的影响；学习动机、学习习惯、学习方式对数学学习的影响；幼儿数学学习自信心培养；小学生数学自我效能、自我概念与数学成绩的关系，数学成绩优秀学生与数学成绩不良学生数学自我效能和自我概念的差异；数学焦虑的相关研究。
⑥其它方面：解题研究与问题解决；数学学习后进生的研究；数学思维及对数学学习的影响；数学思维策略训练的研究；数学理解的内部机制及过程；性别与数学学习；少数民族学生数学学习心理研究。
3 部分研究存在的一些不足
3.1研究问题的深度不够。一些研究工作仅限于“一般心理学理论加数学例子”的低层次研究模式。对实际的数学学习情境及实际发生的数学学习活动关注不够，没有突出数学学习的规律。另一方面，对一般心理学理论的应用存在生搬硬套的现象，批判性地应用较少，不能很好地结合数学学科的特点。
3.2研究问题的层面较低。研究者较多关心的是小学和初中阶段的数学学习，因此主要探讨初等的常量数学问题，而对变量数学问题缺乏研究；集中研究初级数学思维，而对高级数学思维、高级数学思维和初级数学思维之间联系缺乏研究。
研究材料的局限性。
3.3研究选题面较窄。比如，代数问题的研究焦点主要是封闭型的应用问题；几何问题限于平面几何，研究者很少涉足更能体现空间能力的立体几何；在迁移、元认知的研究中，研究材料也是一些简单的数学问题。
3.4研究内容的局限性。有些主题的数学学习研究国内较少开展：感知觉、记忆、注意、表象、思维和言语等心理过程在数学认知过程的具体化。比如，数学学习中的语言问题。学生要学会用数学语言表达数学思想，不少学生的数学学习困难就是产生于对数学语言的使用和理解方面，而很现实的问题是数学语言教学较薄弱。从而使有些学生在数学语言方面是积重难返。
4 关于今后研究的思考
数学学习心理迄今尚无系统和完整的理论体系。许多问题需要深入探究；研究领域需要进一步开拓研究；方法需要规范与创新。设想今后研究应注意以下几点。
①研究内容：以往主要针对在传统数学教材及其教与学，现 在似应为新课程的实施提供理论指导与实践支持，如新课程标准为了体现对情感、态度、价值观的重视，采用了过程性评价目标“体验、感受、经历、探索”，这几个目标如何科学地测量?如何编排数学知识体系?如何展示知识顺序，使之与学生的数学认知规律相统一?研究不同年龄阶段的学生能够而且适合学习那些必需学习的数学知识，怎样使学生在规定的学业时间内尽可能地多学些数学知识?
②研究维度：对数学学习心理应展开多学科、多方位的探讨，从数学哲学、数学教育哲学、数学方法、数学思维、社会学、文化学、信息学与人工智能、神经科学等角度来深入探讨数学学习。如对数学学习心理的研究，必然涉及到“数学的本质”、“数学学习活动的本质”、“数学学习活动的认识规律与思维方法”等问题，这正是数学哲学及数学教育哲学需要回答的问题；关于“问题解决”的思维活动和“高层次数学思维”的现代研究就为数学学习心理研究开拓了新的空间；看重通过人工智能去研究数学学习心理的原因还在于，无论是数学学习的对象，还是计算机系统的核心都是同一的，即数学的“符号处理”，这种同一性使得运用人工智能理论去更准确描述数学学习心理机制具有独特的优势。
③研究定位：数学学习心理是一个交叉性较为突出的研究方向，因而在具体问题的研究上应采取审慎的态度，注意几个基本关系：借鉴一般学习心理学理论与突出数学学习心理学特色，对各心理学理论派别对数学学习影响的考证、分析，进而进行有选择的、有批判性的应用；数学学习理论的哲学性解释、心理性解释及生理性解释并重；研究方法上思辨与实证的平衡，定性与定量的统一。
④研究途径：以往或由教育心理学家从一般教育心理学理论出发，对数学学习的具体问题(很少涉及复杂数学问题)作解释与分析；或由数学教育研究者从数学学习具体过程出发，研究学生学习的真实心理活动，分析其认知过程、机制及心智变化(有些心理学研究方法欠规范)。在坚持上述两条途径的基础上，应提倡数学教育研究者与心理学家携手进行数学学习研究。
⑤研究选题：就个体研究而言。选题应该宜小不宜大，关键在于做实、做细、做深；另一方面，以往的数学学习心理研究恰恰缺少大型实验，由于它受到外在条件约束难于开展，那么能否有效组织学术团队(院校合作、大中小学合作)对较大、较核心领域的课题进行集体攻关，以求在数学学习心理研究上有更大的突破。
⑥立足本土、借鉴国际、推向国际：国内心理学界正在倡导心理学研究本土化，那么在借鉴心理学研究成果的取向上，是取自国内或是国外，这涉及到文化背景、语言习惯、情感态度等因素。在充分考虑数学学科特点的基础上，应实事求是地给予鉴别分析。同时，借鉴国际上数学学习心理学的研究成果与方法，依照国际规范开展研究，以利于进行有效的国际交流，将更多更好的数学学习心理学研究成果推向国际。
⑦研究成果的哲学分析与概括：传统的科学哲学主要从认识论的角度来研究科学，从科学是一种社会建制角度提出科学社会学为科学哲学的研究开辟了广阔前景，特别是科学知识社会学的兴起，把知识作为专门的研究对象，承认科学是最重要的特殊的知识类型。为此，在数学学习心理理论的构建上，尽量从较高的理论高度来概括是非常必要的，这有助于提高认识的自觉性与深刻性。
[关键词]数学学习；学习心理；认知学习
1 概况
数学学习既有一般学习的特征，又有其自身的特殊规律。将数学学习心理学作为专门研究课题始于20世纪70年代。1976年在德国卡尔斯鲁厄召开的第三届国际数学教育大会上。成立了国际数学教育心理学组织(IGPME)，菲施拜因当选为第一任主席。1977年在荷兰乌德列支召开的第一届国际数学教育心理学年会，标志着对数学教育心理的系统研究全面展开。前ICMI秘书长M.Niss在第九届国际数学教育大会(东京，2000)上所作的报告中指出：“数学学习研究已成为当前数学教育研究中最重要的研究对象”。
将数学教育理论的三大支柱之一的数学学习理论作为一个专门领域开展研究具有重要实践意义。其一，从逻辑关系上，数学学习论是数学教学论与数学课程论研究的依据与出发点，一切教师的教都是为了学生更好的学，一切教材的编写都必须符合学生的心理认知规律；其二，从数学学科角度上，数学学习有其自身的特殊规律。这种特殊规律的显著特征之一体现在数学实践活动与数学抽象认识的辩证统一，对实践活动与抽象认识的相互作用的内在机制的考察显然离不开作为中介的数学学习心理过程；其三，从一般学习心理研究的发展趋势看。当今心理学家们更加关注教育实际、更加注重教育情境中的实际应用研究。国际数学教育心理学组织IGPMI曾明确指出“我们不应从普遍的、中性的学习理论出发提出数学学习理论，而应集中注意特定内容的学习过程”。
数学学习研究在我国起步较晚，与其它数学教育研究分支相比，是一个较薄弱的环节，研究水平远落后于国际水平。然而，近年来，数学学习研究有许多进展。尤其是，2001年“数学教育高级研讨班”的主题是“数学学习研究”。会议回顾总结我国的数学学习研究，对研究现状和水平作了分析；通过辨析西方数学教育心理学或学习理论若干流派、观点，对数学学习研究今后的研究取向、研究方法、研究选题提出了富有建设性的观点与建议。
从20世纪80年代后期以来，自扬州大学的毛鸿翔、季素月撰写第一本数学教育心理学专著《数学教学与学习心理学》至今，许多数学教育研究工作者及一线教师潜心钻研，撰写了大量数学学习心理学论文，已出版数学教育心理学著作十几本，主要著作有：《认知科学建构主义与数学教育》(郑毓信，粱贯成，1998)；《数学教育心理学》(曹才翰，章建跃，1999)；《PME：数学教育心理》(李士锜，2001)；《数学教育心理学》(喻平，2004)等等，限于篇幅，这里不再一一列举。这些研究为国内数学学习心理研究的理论构建奠定了坚实的基础，为数学学习心理研究提供了方法论的指导。
2 近年来研究的主要内容
根据对已发表的论文和出版的专著进行整理归纳，尽管国内对数学学习心理研究的时间不算长，但是研究主题涉及面较广，内容也颇为丰富，主要研究包括以下几个方面：
①理论基础方面：建构主义的基本观点、特征、实质；不同学派建构主义的辨析；由行为主义向认知主义转向的认识；数学学习的元认知。这方面的工作为数学学习研究奠定了牢靠的理论基础，提供了深入研究数学学习认知规律的有效平台，促进实践中数学学习指导的观念转变。
②心理过程方面：概念形成过程与热能生巧；数学学习过程的心理规律，心理变化过程的模型；数学学习的心理障碍及对策；数学记忆的规律、方法；解题迁移的机制的实验研究；认知加工水平对解平面几何问题迁移的影响；类比迁移中的作用，样例表面内容对数学问题解决类比迁移的影响；程序性知识的学习迁移；样例和练习在促进解题迁移能力中的作用。
③认知结构方面：数学学习心理的CPFS结构理论；认知结构对数学学习影响；数学证明的认知结构；数学概念学习的认知分析；数和数学中部分和整体关系；小学生应用题认知发展的研究，应用题的结构成分特征分析；不同民族数学能力和认知结构发展研究。这方面的工作在一般心理理论与数学学科特点结合方面的研究提供了非常好的范例，对数学知识形成过程的不同侧面及影响因素进行了深入分析，澄清并升华了关于数学学习的认识。
④数学能力方面：数学能力结构的构成、分类；小学生推理能力结构分析；超常儿童的数学能力分析；自我监控能力在数学能力结构中的重要性。
⑤非智力因素方面：情感和意志对数学学习的影响；学习动机、学习习惯、学习方式对数学学习的影响；幼儿数学学习自信心培养；小学生数学自我效能、自我概念与数学成绩的关系，数学成绩优秀学生与数学成绩不良学生数学自我效能和自我概念的差异；数学焦虑的相关研究。
⑥其它方面：解题研究与问题解决；数学学习后进生的研究；数学思维及对数学学习的影响；数学思维策略训练的研究；数学理解的内部机制及过程；性别与数学学习；少数民族学生数学学习心理研究。
3 部分研究存在的一些不足
3.1研究问题的深度不够。一些研究工作仅限于“一般心理学理论加数学例子”的低层次研究模式。对实际的数学学习情境及实际发生的数学学习活动关注不够，没有突出数学学习的规律。另一方面，对一般心理学理论的应用存在生搬硬套的现象，批判性地应用较少，不能很好地结合数学学科的特点。
3.2研究问题的层面较低。研究者较多关心的是小学和初中阶段的数学学习，因此主要探讨初等的常量数学问题，而对变量数学问题缺乏研究；集中研究初级数学思维，而对高级数学思维、高级数学思维和初级数学思维之间联系缺乏研究。
研究材料的局限性。
3.3研究选题面较窄。比如，代数问题的研究焦点主要是封闭型的应用问题；几何问题限于平面几何，研究者很少涉足更能体现空间能力的立体几何；在迁移、元认知的研究中，研究材料也是一些简单的数学问题。
3.4研究内容的局限性。有些主题的数学学习研究国内较少开展：感知觉、记忆、注意、表象、思维和言语等心理过程在数学认知过程的具体化。比如，数学学习中的语言问题。学生要学会用数学语言表达数学思想，不少学生的数学学习困难就是产生于对数学语言的使用和理解方面，而很现实的问题是数学语言教学较薄弱。从而使有些学生在数学语言方面是积重难返。
4 关于今后研究的思考
数学学习心理迄今尚无系统和完整的理论体系。许多问题需要深入探究；研究领域需要进一步开拓研究；方法需要规范与创新。设想今后研究应注意以下几点。
①研究内容：以往主要针对在传统数学教材及其教与学，现 在似应为新课程的实施提供理论指导与实践支持，如新课程标准为了体现对情感、态度、价值观的重视，采用了过程性评价目标“体验、感受、经历、探索”，这几个目标如何科学地测量?如何编排数学知识体系?如何展示知识顺序，使之与学生的数学认知规律相统一?研究不同年龄阶段的学生能够而且适合学习那些必需学习的数学知识，怎样使学生在规定的学业时间内尽可能地多学些数学知识?
②研究维度：对数学学习心理应展开多学科、多方位的探讨，从数学哲学、数学教育哲学、数学方法、数学思维、社会学、文化学、信息学与人工智能、神经科学等角度来深入探讨数学学习。如对数学学习心理的研究，必然涉及到“数学的本质”、“数学学习活动的本质”、“数学学习活动的认识规律与思维方法”等问题，这正是数学哲学及数学教育哲学需要回答的问题；关于“问题解决”的思维活动和“高层次数学思维”的现代研究就为数学学习心理研究开拓了新的空间；看重通过人工智能去研究数学学习心理的原因还在于，无论是数学学习的对象，还是计算机系统的核心都是同一的，即数学的“符号处理”，这种同一性使得运用人工智能理论去更准确描述数学学习心理机制具有独特的优势。
③研究定位：数学学习心理是一个交叉性较为突出的研究方向，因而在具体问题的研究上应采取审慎的态度，注意几个基本关系：借鉴一般学习心理学理论与突出数学学习心理学特色，对各心理学理论派别对数学学习影响的考证、分析，进而进行有选择的、有批判性的应用；数学学习理论的哲学性解释、心理性解释及生理性解释并重；研究方法上思辨与实证的平衡，定性与定量的统一。
④研究途径：以往或由教育心理学家从一般教育心理学理论出发，对数学学习的具体问题(很少涉及复杂数学问题)作解释与分析；或由数学教育研究者从数学学习具体过程出发，研究学生学习的真实心理活动，分析其认知过程、机制及心智变化(有些心理学研究方法欠规范)。在坚持上述两条途径的基础上，应提倡数学教育研究者与心理学家携手进行数学学习研究。
⑤研究选题：就个体研究而言。选题应该宜小不宜大，关键在于做实、做细、做深；另一方面，以往的数学学习心理研究恰恰缺少大型实验，由于它受到外在条件约束难于开展，那么能否有效组织学术团队(院校合作、大中小学合作)对较大、较核心领域的课题进行集体攻关，以求在数学学习心理研究上有更大的突破。
⑥立足本土、借鉴国际、推向国际：国内心理学界正在倡导心理学研究本土化，那么在借鉴心理学研究成果的取向上，是取自国内或是国外，这涉及到文化背景、语言习惯、情感态度等因素。在充分考虑数学学科特点的基础上，应实事求是地给予鉴别分析。同时，借鉴国际上数学学习心理学的研究成果与方法，依照国际规范开展研究，以利于进行有效的国际交流，将更多更好的数学学习心理学研究成果推向国际。
⑦研究成果的哲学分析与概括：传统的科学哲学主要从认识论的角度来研究科学，从科学是一种社会建制角度提出科学社会学为科学哲学的研究开辟了广阔前景，特别是科学知识社会学的兴起，把知识作为专门的研究对象，承认科学是最重要的特殊的知识类型。为此，在数学学习心理理论的构建上，尽量从较高的理论高度来概括是非常必要的，这有助于提高认识的自觉性与深刻性。