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摘 要：紧密联系生活实际，让学生通过观察、想象、比较、综合、抽象分析，帮助学生积累空间经验，感悟“数形结合”的思想方法，培养学生的空间观念和几何直观，提升学生的核心素养。
关键词：长方体；正方体；数形结合；错例
一、呈现错例，确定问题
在人教版五年级下册数学教材“正方体与长方体”单元的习题中，一道填空题错误率极高。统计的班级错误率达到41%。题目如下：“一个长6分米，宽4分米，高5分米的长方体纸盒，最多能放（）个棱长为2分米的正方体木块。”59%的学生填了15个，而正确答案是12个。这是“一个长方体最多能切割成多少个小正方体”的问题。学生对此类问题解答存在偏差，需要进行分析归因，从而改进教师的教学实践。
二、分立角度，剖析错因
（一）学生的角度
本题有两种方法解决：方法一，大体积÷小体积；方法二，用长、宽、高分别除以棱长，再把得数相乘。但只要有一个量不是棱长的整数倍，只能使用方法二，同时用到去尾法。本题中，“高5dm”不是“棱长2dm”的整数倍，所以只能用方法二来解答。但本次作业中有大部分学生给出如下答案：（6×4×5）÷（2×2×2）=15（个），而正确的应该是6÷2=3（个），4÷2=2（个），5÷2≈2（个），3×2×2=12（个）。
此类错误的产生，在于学生做题时，忽略了小正方体放入长方体中时，是否完整地放入。因此，不仅需要计算，更要画图观察，帮助思考。例如本题，用长方体的长、宽、高分别去除以正方体棱长。就会发现高除以棱长等于2.5，只能完整地放入两个高度的正方体。所以正确答案应该是3×2×2=12（个）。此类题型在本单元中并不是第一次出现，但两种方法对于学生来说，更易接受的是大体积÷小体积。而对于方法二较为抽象，不易理解。
（二）教师的角度
不管是三年级出现的“长方形里可以摆几个小正方形”，还是五年级的“一个大长方体中可以放几个小正方体”。习题基本都给学生凑好了数据，即倍数关系。所以教师更多强调的是方法一（大体积/大面积÷小体积/小面积），学生最常见的也是方法一。从而造成了学生思维定势影响下去做题，导致错误。
（三）教材的角度
在三年级《长方形和正方形面积》这一块内容中，教材这样呈现：地砖的边长3dm，客厅长6m，宽3m，一共要用多少地砖？铺地砖的情景最终转化为“一个长方形内可以放几个正方形”此类题目。也需要用到这两种方法，并且要结合实际，合理选择方法才能解决问题。像课本这一题可以“先算出客厅地面的面积，再除以每块地砖的面积”，也可以“先分别算出客厅的长和宽可以铺多少地砖，然后用乘法计算出相应块数”。这一题数据刚刚凑好，即倍数关系，所以两种方法均可。
此外，五年级下册学完《长方体和正方体的体积》后，出现了这样一道练习：一个长方体包装盒，从里面量长28cm、宽20cm，体积为11.76dm3。爸爸想用它包装长25cm、宽16cm、高18cm的玻璃器皿，是否可以装得下？
就方法一而言：25×16×18=7200cm3=7.2dm3<11.76dm3，可以装下玻璃器皿。但采用方法一去解决这道题目，非常容易出错。极有可能玻璃器皿的体积是小于长方体包装盒的，但玻璃器皿的长宽高其中一项大于长方体包装盒的对应数据，那么就放不下了。所以，方法二更具有普遍性和实用性。
教材本单元中另一题：茶厂工人要将长、宽各为20cm、高为10cm的长方体茶盒放入棱长为30cm的正方体纸盒，最多能装几盒？这一题不仅需要用方法计算，更要结合实际画图观察，帮助思考。在放完3个以后，在宽和长上还剩下10cm的空间，在高上还剩下30cm的空间。正好可以插空再放两个茶盒进去，所以3+2=5（个）。提醒我们在做此类题时，要结合实际情况来看看能不能继续放，从而解决问题。
统观一至五年级的数学教材，整个环节跳跃性过大。三年级对于除法意义的安排都相当细致，去尾法也有一定的篇幅，有利于学生夯实基础。而疑惑的是三年级长方形和正方形的面积章节中，更多地引导学生运用方法一（大面积除以小面积）进行解决问题。然后直接进入五年级“正方体和长方体”中三维的情况。
三、策略实践，促进教学
“一個长方体最多能切割成多少个小正方体”问题不仅需要计算，更要数形结合思考，并选择合理的方法。在教学中，我们可以做以下改进：
（一）强化体积推导
在教学长方体体积时，有些学生只记忆了体积公式，却不了解公式的推导过程，这也成为了本文错例产生的原因之一。所以，让学生理解长方体体积公式的推导过程尤为重要。教师可以在教学中强调体积单位的摆放，感知长方体中沿着长、宽、高只摆一行小正方体。这样一来，学生更深一层地理解了为什么要用方法二来解决此类问题更妥当。
（二）增加练习机会
学生能灵活解决以下两类：
1.一个长方体空盒，长8cm，宽6cm，高12 cm，最多可以放（）个棱长4 cm的小正方体。
2.用两种方法解决：一块橡皮长4cm，宽3cm，厚1cm，现有一个盒子，从里面量长16cm，宽9cm，高5cm。这个盒子最多能放多少块橡皮？
整个过程把大长方体分割成小正方体的问题由三维倒推至二维、一维，逐个击破，打好基础，循序渐进的教学练习，螺旋上升。教师搜集整理此类题，给学生进行集中专项训练，从而巩固相应的解法。
（三）展示PPT、实物
空间能力的培养、几何直观的感悟是渗透在每一道题中的。教师可以借助自制教具、实物、多媒体课件的形式，给学生展示这一类的问题。让学生在直观的几何图形展示中，抽象出自己做题需要的图形和量。从而合理地选择方法，结合实际加以解答。形象直观地观察把大长方体分割成小正方体的问题由三维倒推至二维、一维的过程，做到真正地理解。
关键词：长方体；正方体；数形结合；错例
一、呈现错例，确定问题
在人教版五年级下册数学教材“正方体与长方体”单元的习题中，一道填空题错误率极高。统计的班级错误率达到41%。题目如下：“一个长6分米，宽4分米，高5分米的长方体纸盒，最多能放（）个棱长为2分米的正方体木块。”59%的学生填了15个，而正确答案是12个。这是“一个长方体最多能切割成多少个小正方体”的问题。学生对此类问题解答存在偏差，需要进行分析归因，从而改进教师的教学实践。
二、分立角度，剖析错因
（一）学生的角度
本题有两种方法解决：方法一，大体积÷小体积；方法二，用长、宽、高分别除以棱长，再把得数相乘。但只要有一个量不是棱长的整数倍，只能使用方法二，同时用到去尾法。本题中，“高5dm”不是“棱长2dm”的整数倍，所以只能用方法二来解答。但本次作业中有大部分学生给出如下答案：（6×4×5）÷（2×2×2）=15（个），而正确的应该是6÷2=3（个），4÷2=2（个），5÷2≈2（个），3×2×2=12（个）。
此类错误的产生，在于学生做题时，忽略了小正方体放入长方体中时，是否完整地放入。因此，不仅需要计算，更要画图观察，帮助思考。例如本题，用长方体的长、宽、高分别去除以正方体棱长。就会发现高除以棱长等于2.5，只能完整地放入两个高度的正方体。所以正确答案应该是3×2×2=12（个）。此类题型在本单元中并不是第一次出现，但两种方法对于学生来说，更易接受的是大体积÷小体积。而对于方法二较为抽象，不易理解。
（二）教师的角度
不管是三年级出现的“长方形里可以摆几个小正方形”，还是五年级的“一个大长方体中可以放几个小正方体”。习题基本都给学生凑好了数据，即倍数关系。所以教师更多强调的是方法一（大体积/大面积÷小体积/小面积），学生最常见的也是方法一。从而造成了学生思维定势影响下去做题，导致错误。
（三）教材的角度
在三年级《长方形和正方形面积》这一块内容中，教材这样呈现：地砖的边长3dm，客厅长6m，宽3m，一共要用多少地砖？铺地砖的情景最终转化为“一个长方形内可以放几个正方形”此类题目。也需要用到这两种方法，并且要结合实际，合理选择方法才能解决问题。像课本这一题可以“先算出客厅地面的面积，再除以每块地砖的面积”，也可以“先分别算出客厅的长和宽可以铺多少地砖，然后用乘法计算出相应块数”。这一题数据刚刚凑好，即倍数关系，所以两种方法均可。
此外，五年级下册学完《长方体和正方体的体积》后，出现了这样一道练习：一个长方体包装盒，从里面量长28cm、宽20cm，体积为11.76dm3。爸爸想用它包装长25cm、宽16cm、高18cm的玻璃器皿，是否可以装得下？
就方法一而言：25×16×18=7200cm3=7.2dm3<11.76dm3，可以装下玻璃器皿。但采用方法一去解决这道题目，非常容易出错。极有可能玻璃器皿的体积是小于长方体包装盒的，但玻璃器皿的长宽高其中一项大于长方体包装盒的对应数据，那么就放不下了。所以，方法二更具有普遍性和实用性。
教材本单元中另一题：茶厂工人要将长、宽各为20cm、高为10cm的长方体茶盒放入棱长为30cm的正方体纸盒，最多能装几盒？这一题不仅需要用方法计算，更要结合实际画图观察，帮助思考。在放完3个以后，在宽和长上还剩下10cm的空间，在高上还剩下30cm的空间。正好可以插空再放两个茶盒进去，所以3+2=5（个）。提醒我们在做此类题时，要结合实际情况来看看能不能继续放，从而解决问题。
统观一至五年级的数学教材，整个环节跳跃性过大。三年级对于除法意义的安排都相当细致，去尾法也有一定的篇幅，有利于学生夯实基础。而疑惑的是三年级长方形和正方形的面积章节中，更多地引导学生运用方法一（大面积除以小面积）进行解决问题。然后直接进入五年级“正方体和长方体”中三维的情况。
三、策略实践，促进教学
“一個长方体最多能切割成多少个小正方体”问题不仅需要计算，更要数形结合思考，并选择合理的方法。在教学中，我们可以做以下改进：
（一）强化体积推导
在教学长方体体积时，有些学生只记忆了体积公式，却不了解公式的推导过程，这也成为了本文错例产生的原因之一。所以，让学生理解长方体体积公式的推导过程尤为重要。教师可以在教学中强调体积单位的摆放，感知长方体中沿着长、宽、高只摆一行小正方体。这样一来，学生更深一层地理解了为什么要用方法二来解决此类问题更妥当。
（二）增加练习机会
学生能灵活解决以下两类：
1.一个长方体空盒，长8cm，宽6cm，高12 cm，最多可以放（）个棱长4 cm的小正方体。
2.用两种方法解决：一块橡皮长4cm，宽3cm，厚1cm，现有一个盒子，从里面量长16cm，宽9cm，高5cm。这个盒子最多能放多少块橡皮？
整个过程把大长方体分割成小正方体的问题由三维倒推至二维、一维，逐个击破，打好基础，循序渐进的教学练习，螺旋上升。教师搜集整理此类题，给学生进行集中专项训练，从而巩固相应的解法。
（三）展示PPT、实物
空间能力的培养、几何直观的感悟是渗透在每一道题中的。教师可以借助自制教具、实物、多媒体课件的形式，给学生展示这一类的问题。让学生在直观的几何图形展示中，抽象出自己做题需要的图形和量。从而合理地选择方法，结合实际加以解答。形象直观地观察把大长方体分割成小正方体的问题由三维倒推至二维、一维的过程，做到真正地理解。