摘 要：合作学习是一种新型的学习方式，不仅体现在生生之间，也存在于师生之间，甚至被认为是“当代最大的教育改革之一”． 本课例以教学过程中遇到的一个实际问题为蓝本，通过师生之间活动层层深入，探究出一类含绝对值的函数最小值问题的解法及其本质，这是一种“自主—合作—探究”的学习模式．
　　关键词：探究；合作；发现
　　
　　著名教育家苏霍姆林斯基说：在人的心灵深处，都有一种根深蒂固的需要，这就是说希望自己是一个发现者、研究者、探索者．改进学生的学习方式，教师应关注学生的“会学”，而不是只关注学生的“学会”，让学生最大限度地参与教学过程，师生合作学习探究就是一种途径．
　　作为一名普通教师，虽不能改变高考制度和目前的教育现状，但我们可以思考在尊重学生的主体地位下，发挥教师的主导作用，为学生学习数学做些什么，即能否把学生和自己都同时作为发现者、研究者、探索者来看待呢？
　　下面是笔者与高三某班学生共同合作完成的一节课，整理出来，请同行指教．
　　
　　提出问题
　　这是最近高三一次模拟练习中的一道试题．
　　已知函数f（x）=x－1+2x－1+3x－1+…+100x－1，则当x=______时，f（x）取得最小值．
　　答案的正确率出奇的低．在评讲这份练习时，笔者故意把该题留了下来，和学生讲明意图后，请学生以小组为单位，积极收集与本题相关的题目，并探究解决问题的一些方法，准备第二天上一节师生合作的探究课．
　　下晚自习的时候，课代表交过来学生们搜集的一些题目，笔者进行了整理，并初步设计了明天的教学思路．
　　点评：在教学过程中，很多有价值的问题，就像一颗颗珍珠散落在平时的教学过程中，这需要教师和学生及时发现，及时串联． 这样处理，也是寻找一切机会，培养学生动手动脑处理问题的能力．
　　
　　合作探究
　　1. 先从几个简单的问题谈起
　　教师从学生递交上来的题目中，选择两个具有代表性的、简单点的问题进行展示和研究．
　　（投影展示A组和C组提供的案例1、2）
　　案例1 已知函数f（x）=2x+1+2x－3.
　　（1）求不等式f（x）≤6的解集；
　　（2）若关于x的不等式f（x）>a恒成立，求实数a的取值范围．
　　案例2 设函数f（x）=x－1+x+1，若不等式a+b－2a－b≤a•f（x）对任意a，b∈R且a≠0恒成立，求实数x的取值范围．
　　教师：这是我们在高中阶段遇到比较多的两个题目，请同学们思考一下，你准备如何来求解？请提供这两题的A组和C组的两个同学解决一下．
　　学生1：案例1第1问，可以在直角坐标系内作出函数f（x）=2x+1+2x－3的图象，利用图象来解决，或是利用分类讨论的方法，去绝对值符号后，分别解不等式后取并集；第2问，继续可以利用图象求出其最小值，最小值大于a即可．
　　（投影展示自己的研究成果）
　　解：（1）由图象可以得出不等式的解集为｛x－1≤x≤2｝． 或原不等式等价于x>，（2x+1）+（2x－3）≤6
　　或－≤x≤，（2x+1）－（2x－3）≤6
　　或x<－，－（2x+1）－（2x－3）≤6， 解得　　（2）由（1）知，f（x）min=4，故a<4．
　　学生2：案例2中，由于a≠0，所以不等式a+b－2a－b≤a•f（x）可以改写成f（x）≥，要求x的取值范围，就必须求出f（x）的最小值，而这与的取值有关．我还没考虑出来．
　　点评：此种情形在教学中经常发生，有许多教师也许是为了赶进度，往往会重新叫一个学生回答，这样做，容易挫伤学生学习的积极性，是不可取的． 正确的做法是鼓励学生，帮助学生寻找到解题思路，让学生在探索中寻求解题方向．进度完不成没关系，但学生的热情可不能被湮灭．
　　教师：我们来考查式子a+b－2a－b的最大值． 由于有两个变量，我们先选取其中的一个量作为变量，请思考一下，选择哪个比较好？
　　学生3：选择b作为变量，因为若能求出其最大值，那么这个值一定是与a有关的，又a≠0，就能求出的最大值．
　　教师：有一定的道理． 那么怎么求y=a+x－2a－x的最值呢？你也可以用图象法来试一试．
　　学生4：需要对a进行讨论． 当a>0时，y=a+x－2a－x=3a，x≥2a，2x－a，－a　　综上，y=a+x－2a－x的最大值是3a，所以f（x）≥3，即x+1+x－1≥3，解得x≤－，或x≥，所以x的取值范围为xx≤－，或x≥．
　　教师：这位同学处理得很好． 不过，从上面的解题过程来看，还是有点烦琐． 能否有别的方法简化一下求形如f（x）=2x+1+2x－3以及y=a+x－2a－x的最值呢？
　　
　　图1
　　（背景：江苏高考的附加题选做部分只要求从选修4－1：几何证明选讲，选修4－2：矩阵与变换，选修4－4：坐标系与参数方程，选修4－5：不等式选讲中选择两个模块，我校选择的是4－2和4－4）
　　我们先看一个最简单的例子：求函数y=x+1+x－1的最值．
　　x－1可以看做是数轴上的数x对应的点C到数1对应的点B之间的距离，x+1=x－（－1）可以看做是数轴上的数x对应的点C到数－1对应的点A之间的距离，如图1，显然，CA+CB≥AB，当且仅当点C在线段AB之间时，等号成立．
　　仿此，你怎么处理y=a+x－2a－x的最值？你能很快得到答案吗？
　　很快有学生给出答案y=a+x－2a－x的最大值是3a．
　　教师：能否改进上面两个问题的解法？
　　学生5：对于（1），因为2x+1+2x－3≥（2x+1）－（2x－3）=4，所以a<4；对于（2），由f（x）≥，对任意的a，b∈R，且a≠0恒成立，而≤=3，f（x）≥3，即x－1+x+1≥3，所以x的取值范围为xx≤－或x≥．
　　2． 继续深入
　　教师：怎么求函数x+1+x－1+x－2的最值呢？
　　学生6：还是用函数图象研究，因为比较直观． （很多学生善意一笑）
　　教师：可以的． 但如果随着相加项的增多，作图是不是有点困难呢？开动脑筋思考哦！
　　（很快，一个意想不到的环节出现了，一个平时不太引人注意的学生说出了下面的想法）
　　学生7：我用最小二乘法的思想来处理，不知对不对？在必修3中，衡量直线=bx+a与散点图中数据点的接近程度时，书上使用了离差的平方和，其中在确定a，b的值时就使用了最小二乘法，因此，求函数f（x）=x+1+x－1+x－2时，我先求函数g（x）=（x+1）2+（x－1）2+（x－2）2的最值，若f（x）最小，那么g（x）也最小，反之亦然．
　　显然，g（x）=（x+1）2+（x－1）2+（x－2）2=3x2－4x+6，当x=时，g（x）最小，也即f（x）min=，但这与图象法处理的结果是不一致的，图象法的结果是3． 但对于函数y=x+1+x－1，两种方法得到的结果却是一致的．
　　点评：课堂上学生的思维发生偏差是正常的，对于这种情况，是粗暴地扼杀，还是及时调整授课内容呢？即使内容没完成，但只要问题具有研究的价值，并且和学生一起进行探究，那么何乐而不为呢！
　　教师：老师也感到有点惊讶，至于情况是不是如你所说，我们一起来做个研究吧．我们还是先“以形助数”吧（借助几何画板作图，如图2、图3，虚线对应函数g（x））
　　
　　图2
　　
　　图3
　　结果出来后，学生们都很吃惊，但很快就有学生发现了问题．
　　学生8：把绝对值改成平方表示本身就不等价．
　　学生7：我能理解表示方法不等价，但为什么有的结果是一样的，而有的却不一样呢？
　　学生10：函数y=x+1+x－1的图象具有对称性，当x∈［－1，1］时，函数值总是为最小值y=2，而g（x）=（x+1）2+（x－1）2=2x2+2的顶点横坐标恰好落在［－1，1］上，两种方法求出的结果当然一样；而函数f（x）=x+1+x－1+x－2的图象却不对称，所以结果不同．
　　……
　　教师：同学们的想法都有一定的道理． 其实这两种方法自变量的取值是关键，换言之，在什么情况下能用平方法中所求得的自变量来替换绝对值函数中的x？
　　（教师及时利用几何画板又作了几个函数的图象（包括图象对称的和不对称的），以期让学生们加深直观印象）
　　教师：一般地，对于函数f（x）=x－a+x－a+…+x－a的最小值，那么什么时候可以转化为平方和来处理呢？
　　师生一起结合图象特点，概括归纳出下面的结论（经过整理）：
　　①只要各个点（k，ak）（k=1，2，…，n）关于直线x=对称的时候，f（x）的最小值就是f．
　　②更一般地，对于f（x）=x－a+x－a+…+x－a（a　　（1）如果当n为偶数时，a1，a1，…，an的算术平均数为=满足a<　　（2）如果当n为奇数时，除非a1，a2，…，an的算术平均数恰好为中间一个，即=a+1时，否则这种平方法一般是不可行的．
　　点评：上面的结论对于学生来说，不一定归纳得那么到位，此时就要注意体现教师的主导地位了．哪怕师生都没有归纳得那么具体到位，也不影响研究的效果，这总比直接给出结论要好得多，而这恰恰是许多教师所忌讳的．
　　教师：抛开平方法，同学们有没有注意到前面的图2和图3，如果函数f（x）在某两个零点之间函数图象是一条平行于x轴的线段，那么其最小值就是该线段上任一点的纵坐标；如果没有，那么函数f（x）的图象是由一系列的折线组成，而且有一个“尖角”，这个尖角实际上就是函数图象的最低点． 那么这类绝对值型函数的最小值有没有一般性的求法呢？当然图象是一种方法，但有局限性．
　　请同学们注意线段或“尖角”两端的折线段是怎样的位置趋势．
　　点评：牢牢把握学生的思维方向，正是教师主导性的体现．
　　学生11：我觉得线段或“尖角”两端的折线段的斜率一边大于零，一边小于零．
　　学生12：我觉得取得最小值时，实际上就是寻找斜率等于零时的线段或者“尖角”．
　　教师：这两位同学观察得比较仔细．那么实际情形是否如他们所讲呢？我们请一个同学再随便举一个例子．
　　学生13：求函数f（x）=x+4+x+1+x+x－3和函数h（x）=x+4+x+1+x+x－3+x－4的最小值．
　　（教师根据学生提供的函数解析式，利用几何画板作出函数的图象，如图4）
　　
　　图4
　　教师：图象可以佐证两位同学的看法是对的，那么我们能否进行证明呢？
　　假设f（x）=x－a+x－a+…+x－a（a　　显然，当k>时，函数在［ak，ak+1］上单调递增；当k<时，函数在［ak，ak+1］上单调递减． 特别地，若k=成立，则函数在［ak，ak+1］上的图象是一条线段．
　　这也就证明了我们猜想的正确性：若能找到斜率正负的分界点（或某区间），那么函数的最小值就唾手可得．
　　前面我们研究了绝对值符号中x前面的系数为1时的情形，那么系数如果不都为1，是否可以进行思想方法的类比呢？
　　设函数f（x）=a1x－1+a2x－1+a3x－1+…+anx－1（0　　学生13：（板演完成）函数f（x）的零点分别为x=，，…，，，因此，当x∈，（1≤k≤n－1）时，f（x）=（1－a1x）+（1－a2x）+…+（1－akx）+（ak+1x－1）+（ak+2x－1）+…+（anx－1）=［（ak+1+ak+2+…+an）－（a1+a2+…+ak）］x+2k－n．
　　……
　　教师：刚才这位同学没有做完，是因为数据a1，a2，…，an目前没有明确，但基本分析的思路却已经有了，实际上下面的任务就是找出“尖角”，寻找k的值，使其成为斜率正负的分界点． 对应本节课开始的问题，相信在此基础上，同学们能很快得到答案．
　　学生14：当x∈，（1≤k≤99）时，f（x）=（1－x）+（1－2x）+…+（1－kx）+［（k+1）x－1］+［（k+2）x－1］+…+（100x－1）=（－k2－k+5050）x+2k－100．
　　当k≥71时，－k2－k+5050<0；当k≤70时，－k2－k+5050>0，“x=”就是“尖角”，
　　所以当x=时，函数f（x）=x－1+2x－1+3x－1+…+100x－1取得最小值．
　　教师：如果说前面我们是借助图象，进而从理论上来证明的话，那么系数为1和系数不为1的两种绝对值型的函数求最小值的问题，能否从方法上提炼出共同点呢？
　　（师生共同总结）不管绝对值符号里的系数是否为1，从前面的函数图象特征可以看出，我们只需要考查任意相邻的两个零点所对应的区间上的函数解析式，如果其单调递减，那么就在该区间的右端点取得最小值；如果其单调递增，那么就在该区间的左端点取得最小值． 这样，对于整个函数来说，若能找到这样的一个（或两个）零点，该零点与其相邻两个零点所对应的区间上的单调性正好相反，那么该零点（或一线段上的点）就是函数的最小值点．
　　
　　教学后记
　　作为一种师生合作探究模式的尝试，本节课仍然有不尽如人意的地方，例如，学生的思维深度、广度不足；笔者对有些情形估计不足，如关于函数f（x）=x－a+x－a+…+x－a的最小值的有关结论的概括等．但从效果来看，学生参与的热情和程度都比较高，教学目标基本达成，更重要的是教给了学生一种学习方式，因此，只要条件许可，教师就要进一步推进这种课堂教学模式．