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本期我们介绍2个趣味数字问题,它们的形式是相似的:给定1个含有未知数字的算式,要求根据算式推算出其中的未知数字。这2个问题,第1个改编自1个历史悠久且流传广泛的趣味数字问题;第2个则是我自己最近的创作。这2个问题有2个共同点,一是它们都包含有趣味数字;二是它们所需的知识只是小学算术,但需要较强的分析思考能力才能解决。因此,这2个问题不仅锻炼我们的分析思考能力,同时也介绍了2个有趣的数字。
问题1:设A、B、C、D、E、F分别表示1个十进制的数字,ABCDEF表示1个其个、十、百、千、万、十万位依次是F、E、D、C、B、A的6位数。将ABCDEF的前3位挪到后面,得到另一个6位数DEFABC。已知这2个6位数满足等式ABCDEF×6=DEFABC。
试问:A、B、C、D、E、F分别是什么数字?
解:为讨论方便,我们用2个变量分别表示3位数ABC及DEF,即记:x=ABC,y=DEF。据此,我们有(103×x|y)×6-103×y|x移项整理,易得5999*x=994×y。用辗转相除法求得5999与994的最大公因数为7。将上述等式两边同时除以7,我们得到857*x=142xy。由于y是1个3位数,因而据以上等式的左边,可得x=142,y=857。因此,我们得到:
A、B、C、D、E、F依次是l、4、2、8、5、7。原问题中的乘法算式则是:142857×6=857142。
很多读者可能以前就知道,142857是个有趣的数字,它乘以l、2、3、4、5、6所得的结果,仍然是由l、4、2、8、5、7构成的6位数,并且数字间的顺序非常有规律:
142857×1=142857; 142857×2=285714;
142857×3=428571; 142857×4=571428;
142857×5=714285;
142857×6=857142。更有趣的是:142857其实是循环小数l/7的循环节,即:
l/7=0.142857142857……。
问题2:设A、B、C、D、E、W、X、Y、Z分别表示l,2-9中的1个数字,它们所表示的数字各不相同。DCBAOWXYZ与ZBOYDEWAC是各有1个O及8个未知数字的2个9位数,它们满足
DCBAOWXYZ×E=ZBOYDEWAC。
试问:A、B、C、D、E、W、X、Y、Z分别是什么数字?
解:由于1个自然数乘以10以内的自然数只可能进l位,因此上述已知等式可以拆成如下2个等式:
①DCBA×E=ZBOY;②WXYZ×E=DEWAC。
我们从讨论E的数值人手。
(l)由于②式的乘法结果进位,所以E不可能等于l。由于①式没有进位,所以E不可能等于9。再有,所有字母所代表数字各不相同,而乘以5的结果是1个尾数为0或者5的数,所以E不可能等于5。
(2)假设E=2。则由②式知,左边4位数乘以2的结果是1个万位数字等于D的5位数,因此D=l。此时,②式即为:WXYZ×2=12WAC。
上式右边为12WAC,故其左边之W=6,此式化为:
6XYZ×2=126AC。据此,容易得到X的值:X=3。
现在考虑①式,由D=l及E=2,知等式为ICBA×2=ZBOY,其右边的首位只能是2或者3,这与E=2及X=3相矛盾!因此E不能等于2。
(3)现在,假设E=3。则由②式知,D=l或D=2。
若D=l,则②式为:WXYZ×3=13WAC。将右边除以3,得左边的首位数字W的值等于4。据此,②式即化为:4XYZ×3=134AC。此式右边为134AC,这不难推得左边第2数字X也是4,与W的取值相矛盾!因此,D只可能等于2。
现在设D=2,则②式右边为23WAC,故左边的W等于7。因此,②式右边为237AC,这使得左边为79YZ。这样,我们得到:YZ×3=AC。
这个等式没有进位而被乘数等于3,因此Y小于4。由于Y已不可能等于2或3,故Y=l。
回头考虑①式,由Y=l,知此式为:
DCBA×3=ZBOI。A乘以3得到尾数l,因此A=7。然而这不可能——因为它与W的值相同!
综合以上,我们知道E不能等于3。
(4)接下来,我们假设E=4。据①式我们知道ZBOY是4的倍数,而ZBOO是100的倍数,因而也是4的倍数,所以Y也是4的倍数。由于假设E等于4,所以Y只能等于8。据此,将②式约去4,我们得到:DCBA=25×ZB 2。
假如B是偶数,则25×ZB是10的倍数,故A=2。由于偶数中0、4、8、2已被占用,故B=6。然而,②式右边的尾数C也是偶数,却已无数可用,于是出现矛盾。因此,B只能是奇数,比较以上等式两边的尾数,可得A=7。
25乘以奇数,最后2位数必然是25或75,由B是奇数,及DCBA=25×ZB 2,推得B=7,与A的值冲突!
总之,以上分析证明:E不能等于4。
(5)现在,我们尝试假设E=6。由于①式没有进位,因此D=l,并且②式化为:WXYZ×6=16WAC。将右式除以6得W=2,因而此式化为:
2XYZ×6=162AC。再作除法,知X=7,并且由于27×6=162,故有:
YZ×6=AC。上式左边的乘法结果没有进位,故得Y=l,与D的值矛盾!所以,E不可能等于6。
(6)我们暂且跳过7,先探讨E=8的可能性。由于①式为DCBA×8=ZBOY,乘法结果没有进位,因此DC<13,故D=l,C=2。据此,易得右边首位数字2=9,即: 12BA×8=9BOY。显然,B大干或等于6。将B=6代入,矛盾立即出现。因此,由于8、9已被E、Z占用,B只能等于7。将B=7代入,127A×8=970Y,同样不可能成立。因此,E不能等于8。
(7)现在,只有一种可能:E=7。显然,D=l。因此②式化为:WXYZ×7=17WAC。由右式除以7,易得W=2,②式化为:
2XYZ×7=172AC。再考虑右式除以7,得X=4,并且②式变成:
24YZ×7=172AC。两边减去2400×7,则得:YZ×7=400 AC。据此式,易知Y=5或Y=6。
由于Y是①式的尾数,它等于5将导致A一5这一矛盾结果,故Y=6。将上式两边减去400,我们得到:
20 Z×7=AC。
现将已确定的数字代入①式,得:ICBA×7=ZB06。由Ax7的尾数为6, 故A=8。 由20 Z×7=8C, 可得Z=9,C=3。此时除了5以外的所有数字都已经被占用,故B只能等于5。将所有求得的数字代入①式,即1358×7=9506,等式成立!
综合以上,我们解得:A=8,B=5,C=3,D=l,E=7,W=2,X=4,Y=6,Z=9。而问题中的乘法等式即为:
135802469×7=950617283。
这个问题中只有0是已知的,其他数字全部未知,它看起来似乎非常困难。然而,如上解答所示,只要我们拥有分析思考的能力,小学数学知识就足以解决这个问题!
我们想在这里指出的是,这个问题中的数字也是非常有趣的:等式左边的9位数135802469含有0-9这10个数字中的9个,唯独缺了7这个数字;而等式右边的950617283也一样,它只缺一个4!
现在我们考虑9位数——我们放宽定义,将8位数最前面添加1个0也算成9位数。如果1个9位数含有O-9这10个数字中的9个,而唯独缺少其中的某1个,我们就将它称为一个“独缺数”。显然,最小的独缺数是012345678。然而,有趣的、与本问题中的独缺数相关的,是次小的那个,即012345679。简单验算即可以发现原问题中2个数字与它的关系:
135802469=012345679×ll;
950617283=012345679×77。
那么,012345679是不是还有其他有趣的性质?答案是“是的”,它乘以81以内所有不被3整除的自然数,所得的结果也是1个独缺数!因此,等于012345679的正整数倍的独缺数总共有54个,问题中出现的就是其中的2个。
对于这54个独缺数,我们马上会问2个问题:独缺数缺的是哪个数字?独缺数中数字的排列有什么规律?第1个问题的答案是这样的:如果这个独缺数是012 345 679的N倍,而N除以9的余数等于k,则它所缺的数字是(9-k)。以原问题中的第2个数字为例,它是012345679的77倍,77除以9的余数为5,所以它所缺的数字为4。对于第2个问题,由于答案无法用简单明了的话来概括,我们在这里不作回答,希望有兴趣的读者自行探讨。
最后的问题是:012345679是不是某个循环小数的循环节?答案同样是“YES”——它是l/81的循环节:
l/81=0.012345679012345679……。
问题1:设A、B、C、D、E、F分别表示1个十进制的数字,ABCDEF表示1个其个、十、百、千、万、十万位依次是F、E、D、C、B、A的6位数。将ABCDEF的前3位挪到后面,得到另一个6位数DEFABC。已知这2个6位数满足等式ABCDEF×6=DEFABC。
试问:A、B、C、D、E、F分别是什么数字?
解:为讨论方便,我们用2个变量分别表示3位数ABC及DEF,即记:x=ABC,y=DEF。据此,我们有(103×x|y)×6-103×y|x移项整理,易得5999*x=994×y。用辗转相除法求得5999与994的最大公因数为7。将上述等式两边同时除以7,我们得到857*x=142xy。由于y是1个3位数,因而据以上等式的左边,可得x=142,y=857。因此,我们得到:
A、B、C、D、E、F依次是l、4、2、8、5、7。原问题中的乘法算式则是:142857×6=857142。
很多读者可能以前就知道,142857是个有趣的数字,它乘以l、2、3、4、5、6所得的结果,仍然是由l、4、2、8、5、7构成的6位数,并且数字间的顺序非常有规律:
142857×1=142857; 142857×2=285714;
142857×3=428571; 142857×4=571428;
142857×5=714285;
142857×6=857142。更有趣的是:142857其实是循环小数l/7的循环节,即:
l/7=0.142857142857……。
问题2:设A、B、C、D、E、W、X、Y、Z分别表示l,2-9中的1个数字,它们所表示的数字各不相同。DCBAOWXYZ与ZBOYDEWAC是各有1个O及8个未知数字的2个9位数,它们满足
DCBAOWXYZ×E=ZBOYDEWAC。
试问:A、B、C、D、E、W、X、Y、Z分别是什么数字?
解:由于1个自然数乘以10以内的自然数只可能进l位,因此上述已知等式可以拆成如下2个等式:
①DCBA×E=ZBOY;②WXYZ×E=DEWAC。
我们从讨论E的数值人手。
(l)由于②式的乘法结果进位,所以E不可能等于l。由于①式没有进位,所以E不可能等于9。再有,所有字母所代表数字各不相同,而乘以5的结果是1个尾数为0或者5的数,所以E不可能等于5。
(2)假设E=2。则由②式知,左边4位数乘以2的结果是1个万位数字等于D的5位数,因此D=l。此时,②式即为:WXYZ×2=12WAC。
上式右边为12WAC,故其左边之W=6,此式化为:
6XYZ×2=126AC。据此,容易得到X的值:X=3。
现在考虑①式,由D=l及E=2,知等式为ICBA×2=ZBOY,其右边的首位只能是2或者3,这与E=2及X=3相矛盾!因此E不能等于2。
(3)现在,假设E=3。则由②式知,D=l或D=2。
若D=l,则②式为:WXYZ×3=13WAC。将右边除以3,得左边的首位数字W的值等于4。据此,②式即化为:4XYZ×3=134AC。此式右边为134AC,这不难推得左边第2数字X也是4,与W的取值相矛盾!因此,D只可能等于2。
现在设D=2,则②式右边为23WAC,故左边的W等于7。因此,②式右边为237AC,这使得左边为79YZ。这样,我们得到:YZ×3=AC。
这个等式没有进位而被乘数等于3,因此Y小于4。由于Y已不可能等于2或3,故Y=l。
回头考虑①式,由Y=l,知此式为:
DCBA×3=ZBOI。A乘以3得到尾数l,因此A=7。然而这不可能——因为它与W的值相同!
综合以上,我们知道E不能等于3。
(4)接下来,我们假设E=4。据①式我们知道ZBOY是4的倍数,而ZBOO是100的倍数,因而也是4的倍数,所以Y也是4的倍数。由于假设E等于4,所以Y只能等于8。据此,将②式约去4,我们得到:DCBA=25×ZB 2。
假如B是偶数,则25×ZB是10的倍数,故A=2。由于偶数中0、4、8、2已被占用,故B=6。然而,②式右边的尾数C也是偶数,却已无数可用,于是出现矛盾。因此,B只能是奇数,比较以上等式两边的尾数,可得A=7。
25乘以奇数,最后2位数必然是25或75,由B是奇数,及DCBA=25×ZB 2,推得B=7,与A的值冲突!
总之,以上分析证明:E不能等于4。
(5)现在,我们尝试假设E=6。由于①式没有进位,因此D=l,并且②式化为:WXYZ×6=16WAC。将右式除以6得W=2,因而此式化为:
2XYZ×6=162AC。再作除法,知X=7,并且由于27×6=162,故有:
YZ×6=AC。上式左边的乘法结果没有进位,故得Y=l,与D的值矛盾!所以,E不可能等于6。
(6)我们暂且跳过7,先探讨E=8的可能性。由于①式为DCBA×8=ZBOY,乘法结果没有进位,因此DC<13,故D=l,C=2。据此,易得右边首位数字2=9,即: 12BA×8=9BOY。显然,B大干或等于6。将B=6代入,矛盾立即出现。因此,由于8、9已被E、Z占用,B只能等于7。将B=7代入,127A×8=970Y,同样不可能成立。因此,E不能等于8。
(7)现在,只有一种可能:E=7。显然,D=l。因此②式化为:WXYZ×7=17WAC。由右式除以7,易得W=2,②式化为:
2XYZ×7=172AC。再考虑右式除以7,得X=4,并且②式变成:
24YZ×7=172AC。两边减去2400×7,则得:YZ×7=400 AC。据此式,易知Y=5或Y=6。
由于Y是①式的尾数,它等于5将导致A一5这一矛盾结果,故Y=6。将上式两边减去400,我们得到:
20 Z×7=AC。
现将已确定的数字代入①式,得:ICBA×7=ZB06。由Ax7的尾数为6, 故A=8。 由20 Z×7=8C, 可得Z=9,C=3。此时除了5以外的所有数字都已经被占用,故B只能等于5。将所有求得的数字代入①式,即1358×7=9506,等式成立!
综合以上,我们解得:A=8,B=5,C=3,D=l,E=7,W=2,X=4,Y=6,Z=9。而问题中的乘法等式即为:
135802469×7=950617283。
这个问题中只有0是已知的,其他数字全部未知,它看起来似乎非常困难。然而,如上解答所示,只要我们拥有分析思考的能力,小学数学知识就足以解决这个问题!
我们想在这里指出的是,这个问题中的数字也是非常有趣的:等式左边的9位数135802469含有0-9这10个数字中的9个,唯独缺了7这个数字;而等式右边的950617283也一样,它只缺一个4!
现在我们考虑9位数——我们放宽定义,将8位数最前面添加1个0也算成9位数。如果1个9位数含有O-9这10个数字中的9个,而唯独缺少其中的某1个,我们就将它称为一个“独缺数”。显然,最小的独缺数是012345678。然而,有趣的、与本问题中的独缺数相关的,是次小的那个,即012345679。简单验算即可以发现原问题中2个数字与它的关系:
135802469=012345679×ll;
950617283=012345679×77。
那么,012345679是不是还有其他有趣的性质?答案是“是的”,它乘以81以内所有不被3整除的自然数,所得的结果也是1个独缺数!因此,等于012345679的正整数倍的独缺数总共有54个,问题中出现的就是其中的2个。
对于这54个独缺数,我们马上会问2个问题:独缺数缺的是哪个数字?独缺数中数字的排列有什么规律?第1个问题的答案是这样的:如果这个独缺数是012 345 679的N倍,而N除以9的余数等于k,则它所缺的数字是(9-k)。以原问题中的第2个数字为例,它是012345679的77倍,77除以9的余数为5,所以它所缺的数字为4。对于第2个问题,由于答案无法用简单明了的话来概括,我们在这里不作回答,希望有兴趣的读者自行探讨。
最后的问题是:012345679是不是某个循环小数的循环节?答案同样是“YES”——它是l/81的循环节:
l/81=0.012345679012345679……。