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摘要：随着社会的发展与进步，重视建筑结构抗震控制闭环趋近律方法对于现实生活中具有重要的意义。本文主要介绍建筑结构抗震控制闭环趋近律方法的有关内容。
关键词建筑；结构；抗震；控制；趋近律；方法；
中图分类号：TU318文献标识码： A 文章编号：
引言
近年来, 建筑结构主动控制研究取得了较大的进展, 到 2012年底, 国内外已有大多数建筑物安装了主动控制装置( 其中包括我国的南京电视塔). 为了最大限度发挥主动控制系统的减振控制效果, 适合土木工程问题特点的新型高效控制方法一直是结构主动控制研究的热点问题. 变结构控制方法是在 90 年代后才被引入土木工程结构振动控制问题的新方法, 本文作者曾对建筑结构振动控制的变结构控制方法进行了研究, 提出了建筑结构抗震控制的趋近律方法. 与开闭环抗震控制方法相比, 闭环控制方法无需考虑地面加速度反馈, 可以大大简化控制系统设计. 本文在前述研究工作的基础上, 对建筑结构抗震控制的变结构闭环趋近律方法进行了系统研究, 推导了基于指数趋近律和幂次趋近律方法的闭环变结构控制律表示式, 并完成了相应的算例分析.
一、控制系统的运动方程
对于一自由度数为 n 的层间剪切型受控建筑结构, 设地面运动的加速度分量为 xg( t ) , 其运动方程可表示为
式中
分别为各楼层相对于地面的 n 维位移、速度和加速度反应列向量; 为 r 维控制力列向量;为各楼层集中质量组成的 n 维列向量; M, C和 K 分别为系统相应的 n × n 维质量矩阵、阻尼矩阵和刚度矩阵; D 为 n × r 维作动器的位置矩阵. 若采用状态空间描述方法, 运动方程( 1) 可以表示为
式中：
其中: In为n × n 维单位矩阵。
二、切换函数的确定
设控制系统的切换函数具有如下的线性形式:
式中: P 为r ×2n 维待定常数矩阵. 该矩阵的确定应保证切换函数 s( t ) 所定义的切换面上存在包含原点的滑移模态区, 且滑模运动渐进稳定. 确定切换函数最一般的方法是先进行坐标变换, 将控制系统的运动方程转化为简约型. 即设
式中:
其中: I2n- r和Ir分别为( 2n- r) × ( 2 n- r ) 和 r × r 维单位矩阵; B1和 B2分别为矩阵 B 的( 2n- r ) × r和r ×r 维子矩阵. 若 B2为奇异矩阵, 则应先对运动方程进行变换, 使 B2成为非奇异矩阵. 将式( 4) 代入运动方程式( 2) 和切换函数式( 3) , 只考虑自由振动的情况, 有
其中:由此, 可以得到如下系统简约型的展开式:
这里, Y1( t ) 和 Y2( t ) 分别为 Y( t ) 的 2 n- r 和 r 维子列向量; A 11, A 12, A 21, A 22分别为矩阵 A的( 2n-r )× ( 2n- r ) , ( 2n - r )× r , r× ( 2n - r ) 和 r × r 维子矩量; P 1和 P 2为矩阵 P的r × ( 2 n- r ) 和 r × r维子矩阵. 即
为了使问题简化, 令 P 2= Ir, 于是, 由式( 6c) 可得系统切换面的方程为 : Y2( t ) = - P 1Y1( t ) . 将此式代入( 6a) , 可得如下滑移模态运动方程:
矩阵 P 1可利用式( 7) , 由滑模运动的稳定性条件确定. 利用最优化方法确定切换面, 可得常数矩阵 P 的表达式为
三、控制律的设计
变结构滑模控制是通过确定控制力向量 u( t) , 使系统状态从滑移模态区外在有限时间内到达滑移模态区, 并尽量使之保持在滑移模态区上. 本文选择趋近律方法进行控制律设计.
3. 1 基于指数趋近律方法的控制律设计
取指数趋近律
式中:
为 r 维正对角常数矩阵, sgn( ) 为符号函数. 适当选择常数 §i和gi, 可以削弱抖振, 同时保证快速趋近.
切换函數( 3) 对 t 求导数, 将只考虑自由振动情况的运动方程式代入, 有
将式( 9) 代入式( 10) , 可得基于指数趋近律方法的闭环控制律表示式为
3. 2 基于幂次趋近律方法的控制律设计
取幂次趋近律
将式( 12) 代入式( 10) , 可得基于幂次趋近律方法的闭环控制律表示式为
3. 3 饱和控制方法
对于土木工程结构的振动控制问题, 实际控制力的大小将受到作动器的最大极限控制力 u 的限制.此时, 可以采用如下饱和控制方法, 即实际控制力按下式取值:
式中: ui( t ) , u i, u^i( t )分别为第 i 作动器的计算控制力、最大极限控制力和实际作用于结构的控制力。
四、算例与分析
4. 1 结构模型及相关参数
为了检验上述变结构趋近律方法的振动控制效果, 这里选取在第一层安装有主动支撑系统( ABS) 作为作动器的三层剪切型建筑结构模型来进行数值分析. 模型各楼层的集中质量 m1= m2= m3=1×103kg, 水平刚度系数 k1= k2= k3= 980 kN/m, 阻尼系数 c1= c2= c3= 1. 407 kN/m. 所选输入地震波为 El Centro( S00E) 地震波, 地震持续时间为 10 s, 离散时间间隔为 0. 01 s, 加速度峰值 &xg( t )m ax调整为 0. 15g. 采用前述最优化方法确定切换函数, 取权矩阵 Q= diag1051041031 1 1 ,相应切换函数的系数矩阵 P= 223. 6 - 17. 32 6. 01 3. 68 2. 68 1. 01 . 对无控制作用、文献[ 3, 4] 开闭环趋近律方法和本文闭环趋近律方法三种情况进行数值对比分析. 其中, 基于指数趋近律方法的开闭环控制方法和本文闭环控制方法中的计算参数 §和g 分别取 0. 01 和 3. 0; 基于幂次趋近律方法的开闭环控制方法和本文闭环控制方法中的计算参数 α和 §分别取0. 65 和 2. 0. 系统运动方程采用四阶 Runge-Kutt a 法求解.
4. 2 地震峰值反应比较
表 1列出了结构各楼层在无控制作用、采用基于指数趋近律方法的变结构开闭环控制方法和闭环控制方法在控制力不受限制、作动器的极限控制力u 分别为 3. 5 kN 和 2. 5 kN 时, 结构的层间位移和绝对加速度峰值反应. 从表中可以看出: 当控制力不受限制时, 指数趋近律变结构开闭环控制方法和闭环控制方法所需最大控制力 um分别为 4. 81 kN 和 5. 16 kN, 变结构开闭环控制方法所需控制力峰值较小, 对结构第一层的层间位移峰值的控制十分显著, 变结构闭环控制方法所需控制力峰值略大于变结构开闭环控制方法所需控制力峰值, 对结构第一层的层间位移峰值的控制相对较差, 但对结构第二、三层的层间位移及结构各楼层的绝对加速度峰值反应的控制效果较好, 当最大控制力受到限制时, 变结构开闭环控制方法和闭环控制方法对结构各楼层的层间位移及绝对加速度峰值反应仍具有较好的控制效果。
表2列出了结构各楼层在无控制作用、采用基于幂次趋近律方法的变结构开闭环控制方法和闭环控制方法在控制力不受限制、作动器的极限控制力u 分别为 3. 5 kN 和 2. 5 kN 时, 结构的层间位移和绝对加速度峰值反应. 从表中可以看出: 当控制力不受限制时, 幂次趋近律变结构开闭环控制方法和闭环控制方法所需最大控制力 um分别为4. 82 kN 和 5. 25 kN, 对结构层间位移及绝对加速度峰值反应的控制效果与指数趋近律变结构开闭环控制方法和闭环控制方法的控制效果基本接近。
4. 3 层间位移反应与控制力作用时程
图1 给出了本文两类变结构闭环控制方法在控制力不受限制情况下与无控制作用时结构的层间位移时程反应比较, 以及与其相对应的控制力作用时程. 从图中可以看出, 本文变结构闭环控制方法具有较好的振动控制效果.
结束语
本文利用变结构控制律设计的趋近律方法, 对地震作用下多自由度建筑结构系统的振动控制问题进行了研究, 推导了基于指数趋近律和幂次趋近律方法的闭环变结构控制律表示式. 算例分析结果表明: 本文基于指数趋近律和幂次趋近律方法的闭环变结构控制方法以及当控制力受到作动器最大控制力限制时的饱和控制方法, 振动控制效果良好, 具有较好的工程应用价值.
参考文献
[1] Soong T T , Spencer Jr B F. A ct ive, semi- act ive an d hybrid cont rol of struct ures[ A] . 12t h World Conf on Eart hquake Engineering[ C] . A uck-land: U niversit y of Cant erbury Press, 2010. 1- 16.
[2] Y ang J N, Wu J C, Agrawal A K. Sliding mode control for seismically excited linear struct ures[ J] , ASCE J Engng Mech, 2011, 121( 12) : 1186- 1190.
[3] 趙 斌, 吕西林, 吴敏哲, 等. 建筑结构振动控制的趋近律滑移模态方法[ J] . 工程力学, 2012, 18( 3) : 67- 73.
[4] 赵 斌, 梅占馨, 吴敏哲. 结构振动控制的指数趋近律滑移模态方法[ J] . 应用力学学报, 2000, 17( 1) : 146- 149.
[5] Zhao B, Lu X L, Wu M Zh, et al. Sliding mode cont rol of buildings w it h base- isolat ion hybrid prot ect ive syst em[ J] . Earthquake Engng StructDyn, 2000, 29( 3) : 315- 326.
[6] Hung J Y , Gao W B, Hung J C. V ariable st ructure cont rol: A survey[ J] . IEEE T rans Ind Elect ron, 1993, 40( 1) : 2- 22.
关键词建筑；结构；抗震；控制；趋近律；方法；
中图分类号：TU318文献标识码： A 文章编号：
引言
近年来, 建筑结构主动控制研究取得了较大的进展, 到 2012年底, 国内外已有大多数建筑物安装了主动控制装置( 其中包括我国的南京电视塔). 为了最大限度发挥主动控制系统的减振控制效果, 适合土木工程问题特点的新型高效控制方法一直是结构主动控制研究的热点问题. 变结构控制方法是在 90 年代后才被引入土木工程结构振动控制问题的新方法, 本文作者曾对建筑结构振动控制的变结构控制方法进行了研究, 提出了建筑结构抗震控制的趋近律方法. 与开闭环抗震控制方法相比, 闭环控制方法无需考虑地面加速度反馈, 可以大大简化控制系统设计. 本文在前述研究工作的基础上, 对建筑结构抗震控制的变结构闭环趋近律方法进行了系统研究, 推导了基于指数趋近律和幂次趋近律方法的闭环变结构控制律表示式, 并完成了相应的算例分析.
一、控制系统的运动方程
对于一自由度数为 n 的层间剪切型受控建筑结构, 设地面运动的加速度分量为 xg( t ) , 其运动方程可表示为
式中
分别为各楼层相对于地面的 n 维位移、速度和加速度反应列向量; 为 r 维控制力列向量;为各楼层集中质量组成的 n 维列向量; M, C和 K 分别为系统相应的 n × n 维质量矩阵、阻尼矩阵和刚度矩阵; D 为 n × r 维作动器的位置矩阵. 若采用状态空间描述方法, 运动方程( 1) 可以表示为
式中：
其中: In为n × n 维单位矩阵。
二、切换函数的确定
设控制系统的切换函数具有如下的线性形式:
式中: P 为r ×2n 维待定常数矩阵. 该矩阵的确定应保证切换函数 s( t ) 所定义的切换面上存在包含原点的滑移模态区, 且滑模运动渐进稳定. 确定切换函数最一般的方法是先进行坐标变换, 将控制系统的运动方程转化为简约型. 即设
式中:
其中: I2n- r和Ir分别为( 2n- r) × ( 2 n- r ) 和 r × r 维单位矩阵; B1和 B2分别为矩阵 B 的( 2n- r ) × r和r ×r 维子矩阵. 若 B2为奇异矩阵, 则应先对运动方程进行变换, 使 B2成为非奇异矩阵. 将式( 4) 代入运动方程式( 2) 和切换函数式( 3) , 只考虑自由振动的情况, 有
其中:由此, 可以得到如下系统简约型的展开式:
这里, Y1( t ) 和 Y2( t ) 分别为 Y( t ) 的 2 n- r 和 r 维子列向量; A 11, A 12, A 21, A 22分别为矩阵 A的( 2n-r )× ( 2n- r ) , ( 2n - r )× r , r× ( 2n - r ) 和 r × r 维子矩量; P 1和 P 2为矩阵 P的r × ( 2 n- r ) 和 r × r维子矩阵. 即
为了使问题简化, 令 P 2= Ir, 于是, 由式( 6c) 可得系统切换面的方程为 : Y2( t ) = - P 1Y1( t ) . 将此式代入( 6a) , 可得如下滑移模态运动方程:
矩阵 P 1可利用式( 7) , 由滑模运动的稳定性条件确定. 利用最优化方法确定切换面, 可得常数矩阵 P 的表达式为
三、控制律的设计
变结构滑模控制是通过确定控制力向量 u( t) , 使系统状态从滑移模态区外在有限时间内到达滑移模态区, 并尽量使之保持在滑移模态区上. 本文选择趋近律方法进行控制律设计.
3. 1 基于指数趋近律方法的控制律设计
取指数趋近律
式中:
为 r 维正对角常数矩阵, sgn( ) 为符号函数. 适当选择常数 §i和gi, 可以削弱抖振, 同时保证快速趋近.
切换函數( 3) 对 t 求导数, 将只考虑自由振动情况的运动方程式代入, 有
将式( 9) 代入式( 10) , 可得基于指数趋近律方法的闭环控制律表示式为
3. 2 基于幂次趋近律方法的控制律设计
取幂次趋近律
将式( 12) 代入式( 10) , 可得基于幂次趋近律方法的闭环控制律表示式为
3. 3 饱和控制方法
对于土木工程结构的振动控制问题, 实际控制力的大小将受到作动器的最大极限控制力 u 的限制.此时, 可以采用如下饱和控制方法, 即实际控制力按下式取值:
式中: ui( t ) , u i, u^i( t )分别为第 i 作动器的计算控制力、最大极限控制力和实际作用于结构的控制力。
四、算例与分析
4. 1 结构模型及相关参数
为了检验上述变结构趋近律方法的振动控制效果, 这里选取在第一层安装有主动支撑系统( ABS) 作为作动器的三层剪切型建筑结构模型来进行数值分析. 模型各楼层的集中质量 m1= m2= m3=1×103kg, 水平刚度系数 k1= k2= k3= 980 kN/m, 阻尼系数 c1= c2= c3= 1. 407 kN/m. 所选输入地震波为 El Centro( S00E) 地震波, 地震持续时间为 10 s, 离散时间间隔为 0. 01 s, 加速度峰值 &xg( t )m ax调整为 0. 15g. 采用前述最优化方法确定切换函数, 取权矩阵 Q= diag1051041031 1 1 ,相应切换函数的系数矩阵 P= 223. 6 - 17. 32 6. 01 3. 68 2. 68 1. 01 . 对无控制作用、文献[ 3, 4] 开闭环趋近律方法和本文闭环趋近律方法三种情况进行数值对比分析. 其中, 基于指数趋近律方法的开闭环控制方法和本文闭环控制方法中的计算参数 §和g 分别取 0. 01 和 3. 0; 基于幂次趋近律方法的开闭环控制方法和本文闭环控制方法中的计算参数 α和 §分别取0. 65 和 2. 0. 系统运动方程采用四阶 Runge-Kutt a 法求解.
4. 2 地震峰值反应比较
表 1列出了结构各楼层在无控制作用、采用基于指数趋近律方法的变结构开闭环控制方法和闭环控制方法在控制力不受限制、作动器的极限控制力u 分别为 3. 5 kN 和 2. 5 kN 时, 结构的层间位移和绝对加速度峰值反应. 从表中可以看出: 当控制力不受限制时, 指数趋近律变结构开闭环控制方法和闭环控制方法所需最大控制力 um分别为 4. 81 kN 和 5. 16 kN, 变结构开闭环控制方法所需控制力峰值较小, 对结构第一层的层间位移峰值的控制十分显著, 变结构闭环控制方法所需控制力峰值略大于变结构开闭环控制方法所需控制力峰值, 对结构第一层的层间位移峰值的控制相对较差, 但对结构第二、三层的层间位移及结构各楼层的绝对加速度峰值反应的控制效果较好, 当最大控制力受到限制时, 变结构开闭环控制方法和闭环控制方法对结构各楼层的层间位移及绝对加速度峰值反应仍具有较好的控制效果。
表2列出了结构各楼层在无控制作用、采用基于幂次趋近律方法的变结构开闭环控制方法和闭环控制方法在控制力不受限制、作动器的极限控制力u 分别为 3. 5 kN 和 2. 5 kN 时, 结构的层间位移和绝对加速度峰值反应. 从表中可以看出: 当控制力不受限制时, 幂次趋近律变结构开闭环控制方法和闭环控制方法所需最大控制力 um分别为4. 82 kN 和 5. 25 kN, 对结构层间位移及绝对加速度峰值反应的控制效果与指数趋近律变结构开闭环控制方法和闭环控制方法的控制效果基本接近。
4. 3 层间位移反应与控制力作用时程
图1 给出了本文两类变结构闭环控制方法在控制力不受限制情况下与无控制作用时结构的层间位移时程反应比较, 以及与其相对应的控制力作用时程. 从图中可以看出, 本文变结构闭环控制方法具有较好的振动控制效果.
结束语
本文利用变结构控制律设计的趋近律方法, 对地震作用下多自由度建筑结构系统的振动控制问题进行了研究, 推导了基于指数趋近律和幂次趋近律方法的闭环变结构控制律表示式. 算例分析结果表明: 本文基于指数趋近律和幂次趋近律方法的闭环变结构控制方法以及当控制力受到作动器最大控制力限制时的饱和控制方法, 振动控制效果良好, 具有较好的工程应用价值.
参考文献
[1] Soong T T , Spencer Jr B F. A ct ive, semi- act ive an d hybrid cont rol of struct ures[ A] . 12t h World Conf on Eart hquake Engineering[ C] . A uck-land: U niversit y of Cant erbury Press, 2010. 1- 16.
[2] Y ang J N, Wu J C, Agrawal A K. Sliding mode control for seismically excited linear struct ures[ J] , ASCE J Engng Mech, 2011, 121( 12) : 1186- 1190.
[3] 趙 斌, 吕西林, 吴敏哲, 等. 建筑结构振动控制的趋近律滑移模态方法[ J] . 工程力学, 2012, 18( 3) : 67- 73.
[4] 赵 斌, 梅占馨, 吴敏哲. 结构振动控制的指数趋近律滑移模态方法[ J] . 应用力学学报, 2000, 17( 1) : 146- 149.
[5] Zhao B, Lu X L, Wu M Zh, et al. Sliding mode cont rol of buildings w it h base- isolat ion hybrid prot ect ive syst em[ J] . Earthquake Engng StructDyn, 2000, 29( 3) : 315- 326.
[6] Hung J Y , Gao W B, Hung J C. V ariable st ructure cont rol: A survey[ J] . IEEE T rans Ind Elect ron, 1993, 40( 1) : 2- 22.