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[摘 要]提出了一种带有锥形孔的哑铃式超声工具头。根据力电类比原理，推导了带有锥形孔的哑铃式超声工具头的等效电路、共振频率方程和放大系数。探讨了工具头的尺寸参数对其放大系数的影响特性，获得了工具头的最佳设计尺寸参数。基于最佳结构设计参数，利用数值计算软件ANSYS对工具头的振动性能进行了仿真分析，结果表明该工具头具有较大的放大系数，输出端位移振幅均匀，解析理论计算的共振频率与仿真所得结果基本一致。研究结果为带有锥形孔的哑铃式超声工具头的工程应用及其理论设计提供参考。
[关键词]二端口等效网络 频率方程 放大系数
中图分类号：O426 文献标识码：A 文章编号：1009-914X（2014）25-0314-02
引言
在汽车、电子、包装、医疗等各个行业之中，经常涉及到环形部件的超声焊接。对一些径向尺寸较大的环形部件的超声焊接，要求设计较大尺寸的环形超声工具头。然而，当环形超声工具头的径向尺寸较大时，工具头在纵向振动模式工作时由于泊松效应必然产生径向耦合振动，这将削弱工具头的纵向振动能量并引起其纵向位移振幅分布的不均匀，进而影响到焊件的焊接质量。
为了解决上述问题，提高超声振动系统的纵向位移振幅、改善纵向位移振幅均匀性，本文提出了一种带有锥形孔的哑铃式超声工具头。研究的目的在于通过特定的结构设计及优化，提高现有的环形超声焊接振动系统的振动性能和焊接质量。该带有锥形孔的哑铃式超声工具头从设计思路、相关的分析理论以及研究成果相对于传统的超声焊接工具头设计是一种改进和创新，对于提高超声振动系统的位移振幅及其均匀性、改善现有环形超声焊接工具头的焊接效果具有一定的理论指导意义和实际应用价值。
1.带有锥形孔的哑铃式超声工具头的设计理论
图1是带有锥形孔的哑铃式超声工具头的结构图。该超声工具头由两段圆柱形杆、两段圆锥形杆和一段带有锥形孔的变截面管五部分共同构成带有锥形孔的哑铃式结构。由文献[3-4]可知，带有锥形孔的哑铃式变幅杆的最大优点是能够实现在输出端面积不小于输入端面积的情况下实现位移振幅的放大。本文正是利用哑铃型变幅杆的这一优点，同时对其结构进行了改进，把哑铃型变幅杆的第5段设计成带有锥形孔的变截面圆管，从而实现位移振幅的二次放大，以期获得最佳的振动性能。此外，该振动系统集变幅杆与工具头于一体，可直接实现对环形部件的超声焊接。
图1 带有锥形孔的哑铃式超声工具头
1.1 带有锥形孔的哑铃式超声工具头的等效电路及共振频率方程
对于具有一定规则形状的超声振动系统的分析，等效电路法是一种简单且直观的分析方法。根据力电类比的原理获得超声振动系统的等效电路后，进而可得到振动系统的共振频率方程，据此可实现对整个超声振动系统分析及优化设计。
1.1.1 等截面杆与圆锥形杆的等效电路
利用力电类比的知识可知，单一形状杆的等效网络如图2所示[1]。
图2 单一形状杆四端等效网络
上图中，、和分别为杆的串臂和并臂的等效机械阻抗，其值分别与杆的结构尺寸和材料参数有关。
（1）截面直径为的等截面杆的等效电路参数
（1）
（2）输入和输出端截面直径分别为和的圆锥形杆的等效电路参数
（2）
1.1.2 带有锥形孔的变截面管的等效电路
对于一种外半径为，输入端管内半径为，输出端管内半径为的带有锥形孔的变截面管[5]，由力电类比相关知识，可推导得到其等效电路如图3所示。
图3 带有锥形孔的变截面管的等效电路
其中： （3）
从该等效电路中可以看到，中心带孔的圆锥形变幅杆与一般的半波长变幅杆的一维纵振动的等效电路相比多了一项，这一项表示等效电压源的电动势，计算输入阻抗时，需要对其加以考虑计算。
当考虑其输出端负载为零的情况时，可以推得其等效输入阻抗为。在该条件下，总可以很方便地用一个等效输入阻抗来代替上面的四端口等效网络，方便后续的计算。
1.1.3 整个工具头等效电路及其频率方程
带有锥形孔的哑铃式超声工具头的结构尺寸参数如图4所示。图中～分别表示各段的纵向长度，和分别表示第一段与第三段的直径， 、和分别对应第五段输入端的外半径、内孔半径和输出端的内孔半径。
已知带有锥形孔的哑铃式超声工具头由等截面杆、圆锥形杆和带有锥形孔的变截面管三种形状五段结构组成，且这五段之间满足机械上串联的机械边界条件，其各段之间的等效电路满足并联的电学边界条件[6]。因此由图2和图3即可获得图5所示的带有锥形孔的哑铃式超声工具头的等效电路。
在工程设计中，考虑到超声焊接工具头的输出端声负载的机械阻抗难以确定。因此，在设计时一般忽略其输出端的负载阻抗，即在输出端的负载为零的条件下计算整个工具头的等效输入阻抗。其频率方程可以由等效输入阻抗中的抗部分为零而获得，即。
由频率方程，若已知变幅杆以及工具头的材料参数和尺寸参数，可以获得在此参数下的共振频率。
1.2 位移放大系数M与尺寸参数关系的分析
在超声焊接应用中，位移放大系数是衡量一个超声振动系统性能的一个重要参数。由于超声换能器辐射面的位移振幅只有几微米，超声焊接应用中辐射面的振动幅度一般需要几十到上百微米。因此，在超声振动系统中需要变幅杆或变幅杆与工具头的组合实现对换能器的位移振幅进行放大。变幅杆及工具头的位移放大系数与其结构形状及尺寸参数密切相关，因此，可通过对变幅杆与工具头的结构形状进行优化设计，使其具有最大的位移放大系数，从而实现超声振动系统具有较大的纵向输出位移振幅。
对于带有锥形孔的哑铃式超声工具头的位移放大系数M可以由5所示等效网络获得，如下式： 其中为第五段杆的等效输入阻抗，为从第四端杆向输出端看进去的等效输入阻抗，和依次类推。最后可以得到，即为输入端总等效阻抗。
2.带有锥形孔的哑铃式超声工具头的振动性能分析
为了证明上述优化结果对于不同的设计目标共振频率下的带有锥形孔的哑铃式超声工具头具有普遍适用性，根据图7获得的工具头各段尺寸的最佳比例关系，在不同的设计目标频率下（10kHz、15kHz和20kHz），用两种方法（解析理论和有限元仿真）分别计算了工具头的共振频率及放大系数，计算结果见表1。计算时带有锥形孔的哑铃式超声工具头所用的材料为不锈钢，其具体参数如下：；；。其中E为杨氏模量，为材料密度，为泊松比。
2.1 不同设计频率下的带有锥形孔的哑铃式超声工具头的振动特性分析
在表1中，表示目标设计频率，和分别表示工具头的解析理论计算的共振频率与数值计算的共振频率，为数值计算获得的纵向位移放大系数。
由表1知，当总长L确定后，通过优化设计所得的工具头的各部分的最佳比例关系，可确定各段的纵向长度尺寸。这里总长L取目标设计频率下所对应的材料中纵波的全波长。当工具头的径向尺寸参数（这里取工具头的径向尺寸满足如下关系：）和材料参数确定后，即可算的其共振频率和相应的放大系数。分析表1所得结果可知，解析理论计算与数值计算所得的工具头的纵向共振频率基本一致。同时发现，在不同的设计目标频率下工具头的放大系数基本相同。这就证明上述优化设计结果（）对设计不同的目标共振频率的工具头均具有普遍适用性。
表1中的的值略大于材料中声波的半波长，这表示在一定程度上可以把整个带有锥形孔的哑铃式超声工具头可看作是由一段半波长杆和其他四段杆共同组成一个半波长的杆串联而成。
2.2 带有锥形孔的哑铃式超声工具头的振动模态分析
为了获得该工具头的振动特性，基于上述优化设计结果，用有限元软件ANSYS对带有锥形孔的哑铃式超声工具头的模态振型进行仿真[7]。考虑到该工具头为轴对称结构，为了减小计算时间，采用二维轴对称模型进行分析，材料为不锈钢，材料参数上文已给出，尺寸参数为表 1中目标设计频率20kHz下所对应的参数值。图 8所示的是带有锥形孔的哑铃式超声工具头的纵振模态对应的位移振幅云图。由图 7的计算结果可知，带有锥形孔的哑铃式超声工具头具有两个位移节点，分别位于第五段杆的中部和由其他四段杆所构成的带有锥形孔的哑铃式复合杆的中部。这也验证了上文分析的结论，即工具头由两段半波长杆串联构成。同时，该带有锥形孔的哑铃式超声工具头具有两次放大纵向位移振幅的功能，输出端位移振幅分布均匀。
计算结果显示，该工具头的共振频率为17548.6Hz，相比理论计算所获得的共振频率（19.74kHz）要低一些，其主要原因在于推导带有锥形孔的变截面管的等效电路解析式过程中作了一定的近似处理，且理论计算没有考虑到工具头的径向耦合振动，这就会导致理论上纵向共振频率与实际值存在一定的偏差。
图7 位移振幅云图
3.结论
（1）对一种带有锥形孔的哑铃式超声工具头的振动性能进行了研究。理论研究主要是基于一维共振理论，利用力电类比原理推导了工具头的等效电路，获得了其共振频率方程和纵向位移放大系数。
（2）以工具头的放大系数为目标函数，编制了相应的优化设计程序对工具头的纵向尺寸进行了优化，获得了工具头的最佳设计尺寸参数。基于解析理论分析结果，用有限元软件ANSYS对解析理论结算结果进行了仿真验证，二者所得结果基本一致。
（3）基于理论分析结果，利用ANSYS有限元软件对带有锥形孔的哑铃式超声工具头的振动性能进行仿真模拟，结果表明：该带有锥形孔的哑铃式超声工具头具有两次纵向位移振幅放大的功能，工具头的输出端位移振幅分布均匀。
本文研究结果为带有锥形孔的哑铃式超声工具头在超声塑料焊接、超声钻孔等领域的应用提供理论设计依据。
参考文献
[1] 林仲茂.超声变幅杆的原理和设计[M].北京：科学出版社，1988.
[2] 许龙，林书玉.模式转换型超声塑焊振动系统的设计[J].声学学报， 2010，35（6）：688-693.
[3] Fu Z Q， Xian Z J， Lin S Y ea al. Investigations of the barbell ultrasonic transducer operated in the full-wave vibrational mode. Ultrasonics， Volume 52， Issue 5， July 2012， Pages 578-586
[4] 梁召峰，周光平，莫喜平，等.一种适用于声化学的新型复合超声变幅杆[J]. 声学技术， 2009， 28（3）：318-320.
[5] Dale Ensminger，Foster B. Stulen Ultrasonics data， equations， and their practical uses[M]，2008.
[6] Lin S Y，Xu L，Hu W X.A new type of high power composite ultrasonic transducer[J].Journal of Sound and Vibration， Volume 330， Issue 7，28 March 2011，Pages 1419-1431.
[7] 莫喜平.ANSYS软件在模拟分析声学换能器中的应用[J]. 声学技术， 2007， 26（6）：1279-1290.
基金项目
本项研究来源于浙江省大学生科研创新团队资助项目（项目编号：2013R409029），同时感谢国家自然科学基金（项目编号：11204284）的资助。
作者简介
吴光未，（1992-），男，浙江宁波人，中国计量学院物理系，学生，学士。
通讯作者简介
许龙，（1981—），男，陕西榆林人，中国计量学院物理系，副教授，博士，研究方向：超声工程。
[关键词]二端口等效网络 频率方程 放大系数
中图分类号：O426 文献标识码：A 文章编号：1009-914X（2014）25-0314-02
引言
在汽车、电子、包装、医疗等各个行业之中，经常涉及到环形部件的超声焊接。对一些径向尺寸较大的环形部件的超声焊接，要求设计较大尺寸的环形超声工具头。然而，当环形超声工具头的径向尺寸较大时，工具头在纵向振动模式工作时由于泊松效应必然产生径向耦合振动，这将削弱工具头的纵向振动能量并引起其纵向位移振幅分布的不均匀，进而影响到焊件的焊接质量。
为了解决上述问题，提高超声振动系统的纵向位移振幅、改善纵向位移振幅均匀性，本文提出了一种带有锥形孔的哑铃式超声工具头。研究的目的在于通过特定的结构设计及优化，提高现有的环形超声焊接振动系统的振动性能和焊接质量。该带有锥形孔的哑铃式超声工具头从设计思路、相关的分析理论以及研究成果相对于传统的超声焊接工具头设计是一种改进和创新，对于提高超声振动系统的位移振幅及其均匀性、改善现有环形超声焊接工具头的焊接效果具有一定的理论指导意义和实际应用价值。
1.带有锥形孔的哑铃式超声工具头的设计理论
图1是带有锥形孔的哑铃式超声工具头的结构图。该超声工具头由两段圆柱形杆、两段圆锥形杆和一段带有锥形孔的变截面管五部分共同构成带有锥形孔的哑铃式结构。由文献[3-4]可知，带有锥形孔的哑铃式变幅杆的最大优点是能够实现在输出端面积不小于输入端面积的情况下实现位移振幅的放大。本文正是利用哑铃型变幅杆的这一优点，同时对其结构进行了改进，把哑铃型变幅杆的第5段设计成带有锥形孔的变截面圆管，从而实现位移振幅的二次放大，以期获得最佳的振动性能。此外，该振动系统集变幅杆与工具头于一体，可直接实现对环形部件的超声焊接。
图1 带有锥形孔的哑铃式超声工具头
1.1 带有锥形孔的哑铃式超声工具头的等效电路及共振频率方程
对于具有一定规则形状的超声振动系统的分析，等效电路法是一种简单且直观的分析方法。根据力电类比的原理获得超声振动系统的等效电路后，进而可得到振动系统的共振频率方程，据此可实现对整个超声振动系统分析及优化设计。
1.1.1 等截面杆与圆锥形杆的等效电路
利用力电类比的知识可知，单一形状杆的等效网络如图2所示[1]。
图2 单一形状杆四端等效网络
上图中，、和分别为杆的串臂和并臂的等效机械阻抗，其值分别与杆的结构尺寸和材料参数有关。
（1）截面直径为的等截面杆的等效电路参数
（1）
（2）输入和输出端截面直径分别为和的圆锥形杆的等效电路参数
（2）
1.1.2 带有锥形孔的变截面管的等效电路
对于一种外半径为，输入端管内半径为，输出端管内半径为的带有锥形孔的变截面管[5]，由力电类比相关知识，可推导得到其等效电路如图3所示。
图3 带有锥形孔的变截面管的等效电路
其中： （3）
从该等效电路中可以看到，中心带孔的圆锥形变幅杆与一般的半波长变幅杆的一维纵振动的等效电路相比多了一项，这一项表示等效电压源的电动势，计算输入阻抗时，需要对其加以考虑计算。
当考虑其输出端负载为零的情况时，可以推得其等效输入阻抗为。在该条件下，总可以很方便地用一个等效输入阻抗来代替上面的四端口等效网络，方便后续的计算。
1.1.3 整个工具头等效电路及其频率方程
带有锥形孔的哑铃式超声工具头的结构尺寸参数如图4所示。图中～分别表示各段的纵向长度，和分别表示第一段与第三段的直径， 、和分别对应第五段输入端的外半径、内孔半径和输出端的内孔半径。
已知带有锥形孔的哑铃式超声工具头由等截面杆、圆锥形杆和带有锥形孔的变截面管三种形状五段结构组成，且这五段之间满足机械上串联的机械边界条件，其各段之间的等效电路满足并联的电学边界条件[6]。因此由图2和图3即可获得图5所示的带有锥形孔的哑铃式超声工具头的等效电路。
在工程设计中，考虑到超声焊接工具头的输出端声负载的机械阻抗难以确定。因此，在设计时一般忽略其输出端的负载阻抗，即在输出端的负载为零的条件下计算整个工具头的等效输入阻抗。其频率方程可以由等效输入阻抗中的抗部分为零而获得，即。
由频率方程，若已知变幅杆以及工具头的材料参数和尺寸参数，可以获得在此参数下的共振频率。
1.2 位移放大系数M与尺寸参数关系的分析
在超声焊接应用中，位移放大系数是衡量一个超声振动系统性能的一个重要参数。由于超声换能器辐射面的位移振幅只有几微米，超声焊接应用中辐射面的振动幅度一般需要几十到上百微米。因此，在超声振动系统中需要变幅杆或变幅杆与工具头的组合实现对换能器的位移振幅进行放大。变幅杆及工具头的位移放大系数与其结构形状及尺寸参数密切相关，因此，可通过对变幅杆与工具头的结构形状进行优化设计，使其具有最大的位移放大系数，从而实现超声振动系统具有较大的纵向输出位移振幅。
对于带有锥形孔的哑铃式超声工具头的位移放大系数M可以由5所示等效网络获得，如下式： 其中为第五段杆的等效输入阻抗，为从第四端杆向输出端看进去的等效输入阻抗，和依次类推。最后可以得到，即为输入端总等效阻抗。
2.带有锥形孔的哑铃式超声工具头的振动性能分析
为了证明上述优化结果对于不同的设计目标共振频率下的带有锥形孔的哑铃式超声工具头具有普遍适用性，根据图7获得的工具头各段尺寸的最佳比例关系，在不同的设计目标频率下（10kHz、15kHz和20kHz），用两种方法（解析理论和有限元仿真）分别计算了工具头的共振频率及放大系数，计算结果见表1。计算时带有锥形孔的哑铃式超声工具头所用的材料为不锈钢，其具体参数如下：；；。其中E为杨氏模量，为材料密度，为泊松比。
2.1 不同设计频率下的带有锥形孔的哑铃式超声工具头的振动特性分析
在表1中，表示目标设计频率，和分别表示工具头的解析理论计算的共振频率与数值计算的共振频率，为数值计算获得的纵向位移放大系数。
由表1知，当总长L确定后，通过优化设计所得的工具头的各部分的最佳比例关系，可确定各段的纵向长度尺寸。这里总长L取目标设计频率下所对应的材料中纵波的全波长。当工具头的径向尺寸参数（这里取工具头的径向尺寸满足如下关系：）和材料参数确定后，即可算的其共振频率和相应的放大系数。分析表1所得结果可知，解析理论计算与数值计算所得的工具头的纵向共振频率基本一致。同时发现，在不同的设计目标频率下工具头的放大系数基本相同。这就证明上述优化设计结果（）对设计不同的目标共振频率的工具头均具有普遍适用性。
表1中的的值略大于材料中声波的半波长，这表示在一定程度上可以把整个带有锥形孔的哑铃式超声工具头可看作是由一段半波长杆和其他四段杆共同组成一个半波长的杆串联而成。
2.2 带有锥形孔的哑铃式超声工具头的振动模态分析
为了获得该工具头的振动特性，基于上述优化设计结果，用有限元软件ANSYS对带有锥形孔的哑铃式超声工具头的模态振型进行仿真[7]。考虑到该工具头为轴对称结构，为了减小计算时间，采用二维轴对称模型进行分析，材料为不锈钢，材料参数上文已给出，尺寸参数为表 1中目标设计频率20kHz下所对应的参数值。图 8所示的是带有锥形孔的哑铃式超声工具头的纵振模态对应的位移振幅云图。由图 7的计算结果可知，带有锥形孔的哑铃式超声工具头具有两个位移节点，分别位于第五段杆的中部和由其他四段杆所构成的带有锥形孔的哑铃式复合杆的中部。这也验证了上文分析的结论，即工具头由两段半波长杆串联构成。同时，该带有锥形孔的哑铃式超声工具头具有两次放大纵向位移振幅的功能，输出端位移振幅分布均匀。
计算结果显示，该工具头的共振频率为17548.6Hz，相比理论计算所获得的共振频率（19.74kHz）要低一些，其主要原因在于推导带有锥形孔的变截面管的等效电路解析式过程中作了一定的近似处理，且理论计算没有考虑到工具头的径向耦合振动，这就会导致理论上纵向共振频率与实际值存在一定的偏差。
图7 位移振幅云图
3.结论
（1）对一种带有锥形孔的哑铃式超声工具头的振动性能进行了研究。理论研究主要是基于一维共振理论，利用力电类比原理推导了工具头的等效电路，获得了其共振频率方程和纵向位移放大系数。
（2）以工具头的放大系数为目标函数，编制了相应的优化设计程序对工具头的纵向尺寸进行了优化，获得了工具头的最佳设计尺寸参数。基于解析理论分析结果，用有限元软件ANSYS对解析理论结算结果进行了仿真验证，二者所得结果基本一致。
（3）基于理论分析结果，利用ANSYS有限元软件对带有锥形孔的哑铃式超声工具头的振动性能进行仿真模拟，结果表明：该带有锥形孔的哑铃式超声工具头具有两次纵向位移振幅放大的功能，工具头的输出端位移振幅分布均匀。
本文研究结果为带有锥形孔的哑铃式超声工具头在超声塑料焊接、超声钻孔等领域的应用提供理论设计依据。
参考文献
[1] 林仲茂.超声变幅杆的原理和设计[M].北京：科学出版社，1988.
[2] 许龙，林书玉.模式转换型超声塑焊振动系统的设计[J].声学学报， 2010，35（6）：688-693.
[3] Fu Z Q， Xian Z J， Lin S Y ea al. Investigations of the barbell ultrasonic transducer operated in the full-wave vibrational mode. Ultrasonics， Volume 52， Issue 5， July 2012， Pages 578-586
[4] 梁召峰，周光平，莫喜平，等.一种适用于声化学的新型复合超声变幅杆[J]. 声学技术， 2009， 28（3）：318-320.
[5] Dale Ensminger，Foster B. Stulen Ultrasonics data， equations， and their practical uses[M]，2008.
[6] Lin S Y，Xu L，Hu W X.A new type of high power composite ultrasonic transducer[J].Journal of Sound and Vibration， Volume 330， Issue 7，28 March 2011，Pages 1419-1431.
[7] 莫喜平.ANSYS软件在模拟分析声学换能器中的应用[J]. 声学技术， 2007， 26（6）：1279-1290.
基金项目
本项研究来源于浙江省大学生科研创新团队资助项目（项目编号：2013R409029），同时感谢国家自然科学基金（项目编号：11204284）的资助。
作者简介
吴光未，（1992-），男，浙江宁波人，中国计量学院物理系，学生，学士。
通讯作者简介
许龙，（1981—），男，陕西榆林人，中国计量学院物理系，副教授，博士，研究方向：超声工程。