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摘 要：我国人口日益呈现老龄化趋势，对于这种趋势的利弊只定性分析是不够的。利用经济增长理论的经典模型索洛模型分析了人口增长率与经济增长的关系，得出结论：人口增长率与经济增长负相关，但是影响程度不如储蓄率影响程度大。又进一步探讨了类似于资本的黄金率水平的人口增长的黄金率水平，结合我国已有数据就可以进一步计算得出我国最优的人口增长率，推动我国经济增长。
关键词：人口老龄化;经济增长;索洛模型
中图分类号：C91
文献标识码：A
文章编号：1672-3198（2011）14-0041-02
1 引言
随着我国第六次全国人口普查数据的公布，关于我国人口增长率、我国人口老龄化的问题再次被推到了风口浪尖。早在上世纪80年代初，我国全面实行计划生育政策不久，国内已有学者开始注意人口老龄化的问题（中国社会科学院田雪原研究员于1980年3月18日在《人民日报》发表了篇名为《关于人口“老化”问题》的文章）。但是，由于当时中国的人口问题主要是人口数量问题，并且人口老龄化的社会经济影响还没有显现出来（1979年上海率先进入人口老龄化社会），因此，一直到80年代中后期，学术界开始真正重视人口老龄化问题。1986年袁辑辉主编的《老龄问题》和部沧萍的《漫谈人口老化》，是我国较早探索老年人口问题和人口老龄化的著作。随后又有许多学者研究了我国的人口老龄化问题。通过建立老年抚养指数与人均国民生产总值的经济计量模型，厉以宁（1994）的研究发现，横向来看人口老龄化程度同经济发展水平成正向变动关系，纵向来看人口老龄化问题是经济发展到一定阶段后的产物，而且将随着经济进一步发展而越来越严重。
虽然我国学者已经对老龄化做了许多研究，但是这些研究主要侧重于从人口学、社会学角度的定性分析，而较少的涉及从经济学视角的定量分析。要准确的分析老龄化对我国经济的影响，必须通过模型得出定量分析的结果。
2 人口老龄化的索洛模型分析
人口老龄化表现为老龄人口占一个社会总人口的比重增加，以及少儿年龄的结构缩小的趋势。对于一个经济体来说，人口最重要的影响力量之一就是为经济提供劳动力，所以为了便于分析，我们将老龄化转化为人口增长率的下降来分析对于经济的影响。
索洛模型本文不再赘述，模型的假设条件等均保持不变，我们分析人口增长率n下降的影响（老龄化还会通过消费作用于经济，但在索洛模型中消费是由产出和储蓄之差被动决定的，所以本文将老龄化转化为经济增长率的下降进行分析是合理的）。我们假定其他变量外生，分析人口增长率下降的影响方向、人口增长率下降的影响程度和最优人口增长率。
2.1 人口增长率下降的影响方向分析
短期内，人口增长率n下降会引起持平投资（n+g+δ）k的下降。而单位有效劳动的平均投资，即sf（k）不变,所以二者之差sf（k）-（n+g+δ）k资本深化将增加，资本深化的提高会进一步推动产出增加（y=f（k））。
所以，人口增长率的永久性下降，会导致k在一定时期内上升，保持在一个较高的水平。并且人口增长率的永久性下降会压低Y、K的增长率（n+g）,事实上由于在索洛模型中所有的经济总量的稳态增长率均为（n+g），人口增长率的降低会使这些总量的增长率都下降。对于人均产出y（Y/L），由于k的增长，稳态的人均产出水平y,即f（k）会增加；人口增长率的下降会暂时性地提高y增长率，但是同储蓄率一样，却不能改变人均产出的稳态增长率，仍然仅由技术进步率g决定。
2.2 人口增长率下降的影响程度分析
下面我们进一步分析人口增长率对于有效劳动人均产出y的影响程度。
由k*=k*（s,n,g,δ）、y*=f（k*）可得：
y*/n=f′（k*）•k*（s,n,g,δ）/n（1）
稳态时，s•f（k*（s,n,g,δ））=（n+g+δ）k*（s,n,g,δ）,两边对n求偏导：
s•f′（k*）•k*（s,n,g,δ）/n=（n+g+δ）•k*（s,n,g,δ）/n+k*
所以：k*/n=k*/［s•f′（k*）-（n+g+δ）］
带入（1）式中，y*/n=［f′（k*）•k*］/［s•f′（k*）-（n+g+δ）］
所以y对于n的影响程度即弹性：
y*/n•n/y*=nf（k*） f′（k*）•k*s•f′（k*）-（n+g+δ）
又由s•f（k*）=（n+g+δ）k*，所以s=（n+g+δ）k*/f（k*）
所以y*/n•n/y*
=nf（k*） f′（k*）•k*（n+g+δ）k*f′（k*）/f（k*）-（n+g+δ）
=nn+g+δ f′（k*）•k*/f（k*）k*f′（k*）/f（k*）-1。
f′（k*）•k*/f（k*）为资本收入占总收入的份额，用αk表示，所以产出的人口增长率弹性为nαk/［（n+g+δ）（αk-1）］。
经过实证分析，αk常取1/3，所以产出的人口增长弹性为负，人口增长率下降时人均产出会增加。同时，我们还知
道产出的储蓄率弹性为αk/（1-αk），由于n/（n+g+δ）小于1，所以产出的人口增长弹性小于产出的储蓄弹性。
虽然人口增长率对于经济增长的影响随着我国人口老龄化的日益突出值得我们讨论，但是以上分析也说明了，人口增长率对于经济的影响程度是较小的，不应该夸大其对经济的影响力量。
以上部分简要分析了人口增长率对于经济增长的影响，而对于我国人口增长率在当前是偏高还是偏低，则需要进一步讨论最优人口增长率。
2.3 最优人口增长率
最优的人口增长率应该是使消费最大化的人口增长率，使消费最大化的n应该满足f′（k*）=n+g+δ。在f（k）、s、g、δ既定的情况下，可以得出使消费最大化的最优人口增长率。
类似最优储蓄率，我国也存在着最优人口增长率。将生产函数、储蓄率、技术进步率、折旧率带入就可以得出我国当前的最优人口增长率。再与我国当前实际人口增长率作比较就可以了解我国人口增长率究竟是偏高还是偏低了。
3 政策建议
通过第二部分的分析，我们了解到人口增长率与经济增长率是负相关的，这种负相关关系要弱于储蓄率与经济增长率之间的关系，这种影响是有限的。
同时上文的计算说明，存在着使消费最大化的最优人口增长率。这对于现在我国人口老龄化的讨论是非常重要的。人口老龄化必然引起人口增长率的下降，如果实证数据证明与最优人口增长率相比，我国现在的实际人口增长率的确偏高了，那么计划生育政策无疑是要继续推行下去的；但是如果数据说明实际人口增长率相对于最优人口增长率偏低了，我国可能要调整一下政策以调整我国的人口增长率应对人口老龄化。
参考文献
［1］蔡防，王德文.中国经济增长可持续性与劳动贡献［J］.经济研究,1999,（10）:62-68.
［2］陈友华.人口红利与人口负债:数量界定、经验观察与理论思考［J］.人口研究,2005,（6）:21-27.
［3］贺菊煌.人口变动对经济的影响［J］.数量经济技术经济研究，2003,（12）:41-47.
［4］李建民.人力资本与经济持续增长［J］.南开经济研究,1999，（4）:1-6.
［5］李玲.人力资本运动与中国经济增长［M］.北京:中国计划出版社，2003.
注：本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文
关键词：人口老龄化;经济增长;索洛模型
中图分类号：C91
文献标识码：A
文章编号：1672-3198（2011）14-0041-02
1 引言
随着我国第六次全国人口普查数据的公布，关于我国人口增长率、我国人口老龄化的问题再次被推到了风口浪尖。早在上世纪80年代初，我国全面实行计划生育政策不久，国内已有学者开始注意人口老龄化的问题（中国社会科学院田雪原研究员于1980年3月18日在《人民日报》发表了篇名为《关于人口“老化”问题》的文章）。但是，由于当时中国的人口问题主要是人口数量问题，并且人口老龄化的社会经济影响还没有显现出来（1979年上海率先进入人口老龄化社会），因此，一直到80年代中后期，学术界开始真正重视人口老龄化问题。1986年袁辑辉主编的《老龄问题》和部沧萍的《漫谈人口老化》，是我国较早探索老年人口问题和人口老龄化的著作。随后又有许多学者研究了我国的人口老龄化问题。通过建立老年抚养指数与人均国民生产总值的经济计量模型，厉以宁（1994）的研究发现，横向来看人口老龄化程度同经济发展水平成正向变动关系，纵向来看人口老龄化问题是经济发展到一定阶段后的产物，而且将随着经济进一步发展而越来越严重。
虽然我国学者已经对老龄化做了许多研究，但是这些研究主要侧重于从人口学、社会学角度的定性分析，而较少的涉及从经济学视角的定量分析。要准确的分析老龄化对我国经济的影响，必须通过模型得出定量分析的结果。
2 人口老龄化的索洛模型分析
人口老龄化表现为老龄人口占一个社会总人口的比重增加，以及少儿年龄的结构缩小的趋势。对于一个经济体来说，人口最重要的影响力量之一就是为经济提供劳动力，所以为了便于分析，我们将老龄化转化为人口增长率的下降来分析对于经济的影响。
索洛模型本文不再赘述，模型的假设条件等均保持不变，我们分析人口增长率n下降的影响（老龄化还会通过消费作用于经济，但在索洛模型中消费是由产出和储蓄之差被动决定的，所以本文将老龄化转化为经济增长率的下降进行分析是合理的）。我们假定其他变量外生，分析人口增长率下降的影响方向、人口增长率下降的影响程度和最优人口增长率。
2.1 人口增长率下降的影响方向分析
短期内，人口增长率n下降会引起持平投资（n+g+δ）k的下降。而单位有效劳动的平均投资，即sf（k）不变,所以二者之差sf（k）-（n+g+δ）k资本深化将增加，资本深化的提高会进一步推动产出增加（y=f（k））。
所以，人口增长率的永久性下降，会导致k在一定时期内上升，保持在一个较高的水平。并且人口增长率的永久性下降会压低Y、K的增长率（n+g）,事实上由于在索洛模型中所有的经济总量的稳态增长率均为（n+g），人口增长率的降低会使这些总量的增长率都下降。对于人均产出y（Y/L），由于k的增长，稳态的人均产出水平y,即f（k）会增加；人口增长率的下降会暂时性地提高y增长率，但是同储蓄率一样，却不能改变人均产出的稳态增长率，仍然仅由技术进步率g决定。
2.2 人口增长率下降的影响程度分析
下面我们进一步分析人口增长率对于有效劳动人均产出y的影响程度。
由k*=k*（s,n,g,δ）、y*=f（k*）可得：
y*/n=f′（k*）•k*（s,n,g,δ）/n（1）
稳态时，s•f（k*（s,n,g,δ））=（n+g+δ）k*（s,n,g,δ）,两边对n求偏导：
s•f′（k*）•k*（s,n,g,δ）/n=（n+g+δ）•k*（s,n,g,δ）/n+k*
所以：k*/n=k*/［s•f′（k*）-（n+g+δ）］
带入（1）式中，y*/n=［f′（k*）•k*］/［s•f′（k*）-（n+g+δ）］
所以y对于n的影响程度即弹性：
y*/n•n/y*=nf（k*） f′（k*）•k*s•f′（k*）-（n+g+δ）
又由s•f（k*）=（n+g+δ）k*，所以s=（n+g+δ）k*/f（k*）
所以y*/n•n/y*
=nf（k*） f′（k*）•k*（n+g+δ）k*f′（k*）/f（k*）-（n+g+δ）
=nn+g+δ f′（k*）•k*/f（k*）k*f′（k*）/f（k*）-1。
f′（k*）•k*/f（k*）为资本收入占总收入的份额，用αk表示，所以产出的人口增长率弹性为nαk/［（n+g+δ）（αk-1）］。
经过实证分析，αk常取1/3，所以产出的人口增长弹性为负，人口增长率下降时人均产出会增加。同时，我们还知
道产出的储蓄率弹性为αk/（1-αk），由于n/（n+g+δ）小于1，所以产出的人口增长弹性小于产出的储蓄弹性。
虽然人口增长率对于经济增长的影响随着我国人口老龄化的日益突出值得我们讨论，但是以上分析也说明了，人口增长率对于经济的影响程度是较小的，不应该夸大其对经济的影响力量。
以上部分简要分析了人口增长率对于经济增长的影响，而对于我国人口增长率在当前是偏高还是偏低，则需要进一步讨论最优人口增长率。
2.3 最优人口增长率
最优的人口增长率应该是使消费最大化的人口增长率，使消费最大化的n应该满足f′（k*）=n+g+δ。在f（k）、s、g、δ既定的情况下，可以得出使消费最大化的最优人口增长率。
类似最优储蓄率，我国也存在着最优人口增长率。将生产函数、储蓄率、技术进步率、折旧率带入就可以得出我国当前的最优人口增长率。再与我国当前实际人口增长率作比较就可以了解我国人口增长率究竟是偏高还是偏低了。
3 政策建议
通过第二部分的分析，我们了解到人口增长率与经济增长率是负相关的，这种负相关关系要弱于储蓄率与经济增长率之间的关系，这种影响是有限的。
同时上文的计算说明，存在着使消费最大化的最优人口增长率。这对于现在我国人口老龄化的讨论是非常重要的。人口老龄化必然引起人口增长率的下降，如果实证数据证明与最优人口增长率相比，我国现在的实际人口增长率的确偏高了，那么计划生育政策无疑是要继续推行下去的；但是如果数据说明实际人口增长率相对于最优人口增长率偏低了，我国可能要调整一下政策以调整我国的人口增长率应对人口老龄化。
参考文献
［1］蔡防，王德文.中国经济增长可持续性与劳动贡献［J］.经济研究,1999,（10）:62-68.
［2］陈友华.人口红利与人口负债:数量界定、经验观察与理论思考［J］.人口研究,2005,（6）:21-27.
［3］贺菊煌.人口变动对经济的影响［J］.数量经济技术经济研究，2003,（12）:41-47.
［4］李建民.人力资本与经济持续增长［J］.南开经济研究,1999，（4）:1-6.
［5］李玲.人力资本运动与中国经济增长［M］.北京:中国计划出版社，2003.
注：本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文