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一、课前分析
1. 基于学生知识结构的分析。
基于学生的知识储备，学生在学习有余数除法时需要先打破“表内除法”中一些潜在的规则，重新建立“有余数除法”的心智结构。学生在学习中会产生两个认知冲突。第一个认知冲突是平均分概念与分物分不完的冲突。学生自从学习表内除法、认识平均分以来，所接触到的所有问题都是刚好能够分完的。因此，他们已经牢牢树立了这么一个观念：凡是能用除法表示的问题都是平均分的并且能够刚好分完。第二个认知冲突是能够用乘法口诀求商与计算不了的冲突。学生在表内除法的学习中，所有的除法算式都是能够用乘法口诀求商的，当列出的算式不能用乘法口诀求商时，就意味着列式出现了错误。这对于学生建构有余数除法的概念是非常不利的。
2. 基于前测的分析。
（1）旧知的掌握情况。
题1 把8根 平均分给4个小朋友。
哪种分法对？对的在括号里画“√”。
题2 圈一圈，填一填。
24里面有（）个4。□÷□=□
第一题检测学生对平均分的理解。第二题检测学生对“多少里面包含几个几”及正确列式。两道题的正确率97%，说明学生能在具体的情境中对平均分含义及平均分的包含除两种类型的掌握比较扎实。
题3 请你先按算式圈一圈。再用自己的话说一说这个除法算式表示什么？
15÷3=5表示： 。
本题主要考查学生能否根据除法算式进行操作并在具体的情境中解释除法算式的意义。在圈一圈中出现两种分法：包含分（75%），平均分（25%）。两种圈分的方法都表示除法的两种意义。但在要根据具体情境解释除法算式的意义时，用包含分描述、用平均分描述、描述不沾边或没有进行描述的人数约为7∶2∶1。我们发现，在具体的操作中，学生更倾向包含分的圈法，但在语言表征时却更容易把两种意义混淆。
（2）新知的感知情况。
题4 13个苹果，4个装一袋，能够装（）袋，还剩（）个，算式是 。
学生进行圈一圈、填空的正确率很高。在算式的撰写中，能正确写出“13÷4=3……1”的为10%左右，写成“13÷4=3剩1个”约为20%；大部分的学生不会用算式正确表述。进行访谈时笔者了解到，能正确写出算式的学生为提前预习或家长教授，对其意义了解并不清晰。
二、备课思考
（一）意义的认识在直观材料感知中获得
小学阶段，学生对于“余数”的认识，是借助于现实生活中“平均分物品时出现剩余”这一现实原型来学习的。因此，在教学中教师应该注重安排学生的动手操作和观察思考的活动，让学生在实践操作中充分感知、理解有余数除法的意义，从而建立操作过程、语言表达和符号表征之间的关系，实现学生对数学概念的真正理解。
1. 分物对比。
设置习题。
（1）平均分的分物对比。
①6辆玩具汽车平均分给2个小朋友，怎么分？每人分得几辆？
②8個玩具熊平均分给3个小朋友，怎么分？每人分得几个？
（2）包含除的分物对比。
①9个橘子，每3个一袋，能装几袋？
②11个苹果，每袋装4个，能装几袋？
帮助学生在对比中理解，无论是平均分还是包含除的分物情境，都有分不完的情况，这也就解决了学生平均分概念与分物分不完的冲突。
2. 妙用小棒，实现两个维度认知的突破。
教材主题图呈现了学生分别用11根小棒摆出正方形、三角形、五边形的活动情境。教学时，笔者不限根数，先让学生用“一捆”（学生准备任意根数）小棒搭正方形，发现余数总在1至3之间变化，完成了纵向探究（不同的数据对同一个除数的探究），然后让学生再猜想、验证“用一捆小棒搭三角形、五边形，余数可能是几”，进行横向探究（不同的数据对不同除数的探究）；同时还要让学生举例说明“余数为什么不能等于或大于除数”。在丰富的感性材料的支撑下，学生再概括“余数必须比除数小”就水到渠成了。
（二）除法新结构在对比迁移中明晰
维果茨基认为，概念学习的首要困难就是迁移，即设法把特定情境中形成的概念用于一组新物体或环境。在有余数除法的学习中，就是要把“表内除法”中的概念运用到“有余数除法”的环境中。对于二年级学生来说较为抽象，对它的理解和掌握不是一蹴而就的，需要经历反复、联系、贯通、深化。例如：在例1的教学中，只借助摆，大多数学生无法通过迁移列出“7÷2=3……1”的算式。在教学中，笔者加强了教师的介入与引导。
1. 动手操作（一）。
有6个草莓，每2个摆一盘。（学生摆）
师：请同学们想一想，摆草莓的过程能用一个减法算式表示吗？
生：6-2-2-2=0。
师：这个算式里“-2”是什么意思？（每2个摆一盘）“0”又表示什么意思？（一个都没有了）
生：可以用6÷2=3（盘）更简单。
师：你能说出除法算式中6、2、3表示的意思吗？
2. 动手操作（二）。
有7个草莓，每2个摆一盘。
（1）学生摆，思考用算式怎样表示摆的过程。
（2）引导学生用减法算式表示。（7-2-2-2=1）
（3）比较两算式，“6-2-2-2=0”与“7-2-2-2=1”的异同。
（4）写一写。（用除法算式表示）
（5）对比、优化算式。
（6）认识有余数除法各部分的名称，重点理解余数。
学生对数学事实的理解越深刻，越有利于他们掌握数学的概念。而深刻理解数学事实需要理解知识之间的关联。我们充分利用学生在一年级下学期学过的“连续减去相同的数解决问题”的例题，引导学生重新用减法来解决“用乘法口诀求商与计算不了的冲突”，让学生认识到正好分完与还有剩余在本质上其实是一样的，它们只是分物问题的两种不同结果。这为学生将表内除法的概念迁移到有余数的除法奠定了良好的基础。
（作者单位：福建省厦门市滨北小学）
1. 基于学生知识结构的分析。
基于学生的知识储备，学生在学习有余数除法时需要先打破“表内除法”中一些潜在的规则，重新建立“有余数除法”的心智结构。学生在学习中会产生两个认知冲突。第一个认知冲突是平均分概念与分物分不完的冲突。学生自从学习表内除法、认识平均分以来，所接触到的所有问题都是刚好能够分完的。因此，他们已经牢牢树立了这么一个观念：凡是能用除法表示的问题都是平均分的并且能够刚好分完。第二个认知冲突是能够用乘法口诀求商与计算不了的冲突。学生在表内除法的学习中，所有的除法算式都是能够用乘法口诀求商的，当列出的算式不能用乘法口诀求商时，就意味着列式出现了错误。这对于学生建构有余数除法的概念是非常不利的。
2. 基于前测的分析。
（1）旧知的掌握情况。
题1 把8根 平均分给4个小朋友。
哪种分法对？对的在括号里画“√”。
题2 圈一圈，填一填。
24里面有（）个4。□÷□=□
第一题检测学生对平均分的理解。第二题检测学生对“多少里面包含几个几”及正确列式。两道题的正确率97%，说明学生能在具体的情境中对平均分含义及平均分的包含除两种类型的掌握比较扎实。
题3 请你先按算式圈一圈。再用自己的话说一说这个除法算式表示什么？
15÷3=5表示： 。
本题主要考查学生能否根据除法算式进行操作并在具体的情境中解释除法算式的意义。在圈一圈中出现两种分法：包含分（75%），平均分（25%）。两种圈分的方法都表示除法的两种意义。但在要根据具体情境解释除法算式的意义时，用包含分描述、用平均分描述、描述不沾边或没有进行描述的人数约为7∶2∶1。我们发现，在具体的操作中，学生更倾向包含分的圈法，但在语言表征时却更容易把两种意义混淆。
（2）新知的感知情况。
题4 13个苹果，4个装一袋，能够装（）袋，还剩（）个，算式是 。
学生进行圈一圈、填空的正确率很高。在算式的撰写中，能正确写出“13÷4=3……1”的为10%左右，写成“13÷4=3剩1个”约为20%；大部分的学生不会用算式正确表述。进行访谈时笔者了解到，能正确写出算式的学生为提前预习或家长教授，对其意义了解并不清晰。
二、备课思考
（一）意义的认识在直观材料感知中获得
小学阶段，学生对于“余数”的认识，是借助于现实生活中“平均分物品时出现剩余”这一现实原型来学习的。因此，在教学中教师应该注重安排学生的动手操作和观察思考的活动，让学生在实践操作中充分感知、理解有余数除法的意义，从而建立操作过程、语言表达和符号表征之间的关系，实现学生对数学概念的真正理解。
1. 分物对比。
设置习题。
（1）平均分的分物对比。
①6辆玩具汽车平均分给2个小朋友，怎么分？每人分得几辆？
②8個玩具熊平均分给3个小朋友，怎么分？每人分得几个？
（2）包含除的分物对比。
①9个橘子，每3个一袋，能装几袋？
②11个苹果，每袋装4个，能装几袋？
帮助学生在对比中理解，无论是平均分还是包含除的分物情境，都有分不完的情况，这也就解决了学生平均分概念与分物分不完的冲突。
2. 妙用小棒，实现两个维度认知的突破。
教材主题图呈现了学生分别用11根小棒摆出正方形、三角形、五边形的活动情境。教学时，笔者不限根数，先让学生用“一捆”（学生准备任意根数）小棒搭正方形，发现余数总在1至3之间变化，完成了纵向探究（不同的数据对同一个除数的探究），然后让学生再猜想、验证“用一捆小棒搭三角形、五边形，余数可能是几”，进行横向探究（不同的数据对不同除数的探究）；同时还要让学生举例说明“余数为什么不能等于或大于除数”。在丰富的感性材料的支撑下，学生再概括“余数必须比除数小”就水到渠成了。
（二）除法新结构在对比迁移中明晰
维果茨基认为，概念学习的首要困难就是迁移，即设法把特定情境中形成的概念用于一组新物体或环境。在有余数除法的学习中，就是要把“表内除法”中的概念运用到“有余数除法”的环境中。对于二年级学生来说较为抽象，对它的理解和掌握不是一蹴而就的，需要经历反复、联系、贯通、深化。例如：在例1的教学中，只借助摆，大多数学生无法通过迁移列出“7÷2=3……1”的算式。在教学中，笔者加强了教师的介入与引导。
1. 动手操作（一）。
有6个草莓，每2个摆一盘。（学生摆）
师：请同学们想一想，摆草莓的过程能用一个减法算式表示吗？
生：6-2-2-2=0。
师：这个算式里“-2”是什么意思？（每2个摆一盘）“0”又表示什么意思？（一个都没有了）
生：可以用6÷2=3（盘）更简单。
师：你能说出除法算式中6、2、3表示的意思吗？
2. 动手操作（二）。
有7个草莓，每2个摆一盘。
（1）学生摆，思考用算式怎样表示摆的过程。
（2）引导学生用减法算式表示。（7-2-2-2=1）
（3）比较两算式，“6-2-2-2=0”与“7-2-2-2=1”的异同。
（4）写一写。（用除法算式表示）
（5）对比、优化算式。
（6）认识有余数除法各部分的名称，重点理解余数。
学生对数学事实的理解越深刻，越有利于他们掌握数学的概念。而深刻理解数学事实需要理解知识之间的关联。我们充分利用学生在一年级下学期学过的“连续减去相同的数解决问题”的例题，引导学生重新用减法来解决“用乘法口诀求商与计算不了的冲突”，让学生认识到正好分完与还有剩余在本质上其实是一样的，它们只是分物问题的两种不同结果。这为学生将表内除法的概念迁移到有余数的除法奠定了良好的基础。
（作者单位：福建省厦门市滨北小学）