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空间图形的位置关系是立体几何的重要内容,解决立体几何问题的关键在于三定:定性分析→定位作图→定量计算。在面面关系中,二面角是其中的重要概念之一,它的度量归结为平面上角的度量。一般来说,对其平面角的定位是问题解决的先决一步,笔者针对这一点,来谈一谈平时教学的中体会:
一、重温二面角的平面角的定义
如图(1),α、β是由ι出发的两个平面,O是ι上任意一点,OC⊥α,且OC⊥ι;CD β,且OD⊥ι。这就是二面角的平面角的环境背景,即∠COD是二面角α—ι—β的平面角,从中不难得到下列特征:
![](https://www.soolun.com/img/pic.php?url=http://img.resource.qikan.cn/qkimages/zwjx/zwjx200710/zwjx20071049-1-l.jpg)
Ⅰ、过棱上任意一点,其平面角是唯一的。
Ⅱ、其平面角所在平面与其两个半平面均垂直。
另外,如果在OC上任取上一点A,作AB⊥OD垂足为B,那么由特征Ⅱ可知AB⊥β。突出ι、OC、OD、AB,这便是另一特征:
Ⅲ、体现出一完整的垂线定理(或逆定理)的环境背景。
由于二面角的平面角是由一点和两条射线构成,所以二面角的平面角的定位可化归为“定点”或“定线(面)”的问题。
特征Ⅰ表明,其平面角的定位可先在棱上取一“点”,耐人寻味的是这一点可以随便取,但又总是不随便取定的,它必须与问题背景相互沟通,给计算提供方便。
二、三个特征的关系
以上三个特征提供的思路在解决具体总是时各具特色,其标的是分别找“点”、“垂面 ”、“垂線段”。事实上,我们只要找到其中一个,另两个就接踵而来。掌握这种关系对提高解题技能和培养空间想象力非常重要。
融合三个特征,可有效地克服、抑制思维的消极作用,培养思维的广阔性和批判性。
例:将棱长为a的正四面体的一个面与棱长为a的正四棱锥的一个侧面吻合,则吻合后的几何呈现几个面?
![](https://www.soolun.com/img/pic.php?url=http://img.resource.qikan.cn/qkimages/zwjx/zwjx200710/zwjx20071049-2-l.jpg)
这是一道竞赛题,考生答“7个面”的占99.9%。少数应服从多数吗?
如图(2),过两个几何体的高线VP、VQ的垂足P、Q分别作BC的垂线,则垂足重合于O,且O为BC的中点,OP延长过A,OQ延长交ED于R。由特征Ⅲ可知,∠AOR为二面角A—BC—R平面角,结合特征Ⅰ、Ⅱ,可得VAOR为平行四边形,VA//BE,所以V、A、B、E共面,同理V、A、C、D共面。所以这道题的答案应该是5个面。
综上所述,对二面角的平面角进行正确而合理的定位,要在正确理解其定义的基础上,掌握其三个基本特征,并灵活运用它们考察问题的环境背景,建立良好的主观心理空间和客观心理空间,以不变应万变。
(作者单位:075400河北省怀来县沙城实验中学)
一、重温二面角的平面角的定义
如图(1),α、β是由ι出发的两个平面,O是ι上任意一点,OC⊥α,且OC⊥ι;CD β,且OD⊥ι。这就是二面角的平面角的环境背景,即∠COD是二面角α—ι—β的平面角,从中不难得到下列特征:
![](https://www.soolun.com/img/pic.php?url=http://img.resource.qikan.cn/qkimages/zwjx/zwjx200710/zwjx20071049-1-l.jpg)
Ⅰ、过棱上任意一点,其平面角是唯一的。
Ⅱ、其平面角所在平面与其两个半平面均垂直。
另外,如果在OC上任取上一点A,作AB⊥OD垂足为B,那么由特征Ⅱ可知AB⊥β。突出ι、OC、OD、AB,这便是另一特征:
Ⅲ、体现出一完整的垂线定理(或逆定理)的环境背景。
由于二面角的平面角是由一点和两条射线构成,所以二面角的平面角的定位可化归为“定点”或“定线(面)”的问题。
特征Ⅰ表明,其平面角的定位可先在棱上取一“点”,耐人寻味的是这一点可以随便取,但又总是不随便取定的,它必须与问题背景相互沟通,给计算提供方便。
二、三个特征的关系
以上三个特征提供的思路在解决具体总是时各具特色,其标的是分别找“点”、“垂面 ”、“垂線段”。事实上,我们只要找到其中一个,另两个就接踵而来。掌握这种关系对提高解题技能和培养空间想象力非常重要。
融合三个特征,可有效地克服、抑制思维的消极作用,培养思维的广阔性和批判性。
例:将棱长为a的正四面体的一个面与棱长为a的正四棱锥的一个侧面吻合,则吻合后的几何呈现几个面?
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这是一道竞赛题,考生答“7个面”的占99.9%。少数应服从多数吗?
如图(2),过两个几何体的高线VP、VQ的垂足P、Q分别作BC的垂线,则垂足重合于O,且O为BC的中点,OP延长过A,OQ延长交ED于R。由特征Ⅲ可知,∠AOR为二面角A—BC—R平面角,结合特征Ⅰ、Ⅱ,可得VAOR为平行四边形,VA//BE,所以V、A、B、E共面,同理V、A、C、D共面。所以这道题的答案应该是5个面。
综上所述,对二面角的平面角进行正确而合理的定位,要在正确理解其定义的基础上,掌握其三个基本特征,并灵活运用它们考察问题的环境背景,建立良好的主观心理空间和客观心理空间,以不变应万变。
(作者单位:075400河北省怀来县沙城实验中学)