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为什么要进行公式推导?研究了很多的教学案例,概括起来我找到了如下几个原因:①通过推导,促进公式掌握;②通过推导,培养探索素养;③通过推导,积累活动经验;④通过推导,渗透数学思想;⑤通过推导,促进情感体验……
我认为重视和强化推导过程可以让原本路线单一、内涵狭隘的公式教学变得通道多样、视野宽阔,进而能对学生数学基础的掌握、数学能力的提升、数学经验的累积、数学思想的建构、数学情感的优化产生积极作用。下面我以“圆的面积”一课的实践教学为例来阐述这些认识。
一、激活“经验”
[课例回顾]
一、提出课题。
师:我们今天这节课学习的内容是“圆的面积”(板书课题),请看学习目标:
1.掌握圆面积公式的推导;
2.用公式正确计算圆的面积,解简单的应用题。
生:齐读。
真正意义上的“推导”是学生主体解构新材料、合成旧材料、运用旧知识、发现新线索的过程。显然这里的平行四边形、三角形、梯形面积的推导过程都是唤起学生旧知的一个良好媒介,从而回味和有意反思:新知是可以转化成旧知来学习的。而这就为学生带来了一根很有成效的“拐杖。
[课例回顾]
1.圆的知识。
教学方式:课件依次出示圆、圆心、半径、直径,并询问它们的概念。
(圆是一个由一条曲线围成的封闭图形:中心的那个点叫圆心,用字母0表示;从圆心到圆上任意一点的线段叫做半径,用字母r表示;通过圆心并且两端都在圆上的线段叫做直径,用字母d表示。)
2.复习面积概念。
教学方式:
①出示一个长方形,用颜色覆盖长方形内部。
师:什么叫长方形的面积?
生:长方形所占平面的大小叫做长方形的面积。
②出示一个圆,用颜色闪烁内部的面。
师:什么叫圆的面积?
生:圆所占平面的大小叫做圆的面积。
③直边形的面积公式。
依次出示:
要求学生依次说出它们的面积计算公式:S=a2;S=ab;S=ah;S=ah÷2;S=(a b)h÷2。(板书:平行四边形面积=底×高)
然后回忆最后三个面积计算公式中任一个的推导过程,明确对于我们要学习新的图形时可以借助割补转化成以前熟悉的图形,然后利用新旧图形之间的关系来解决所需问题。
二、建构“路径”
推导策略的核心是基于联系的新旧转化。因此,促成“新图”向“旧图”的自然“转化”是达成推导目标的重要步骤。要注意的是,我们应力求让“转化”过程充满自主意味和创新色彩,为学生“空间想象”的逐步完善、“探究能力”的持续发展提供机会。
“推导”路径应尽量由学生在自主体验中发现生成。
[课例回顾]
师:圆的面积公式我们没有学过,它能不能也像以前那样转化成我们学过的图形,然后利用两者之间的关系推导圆的面积呢?
生保持沉默,陷入思考。
师:这个结论是可以实现的。
(出示一个等分成16份的圆,告诉学生例如我们可以等分成16等份,然后剪开拼成我们学过的类似图形。)
师:用等分后的小块组成不同的学过的图形,可以尝试拼成像平行四边形、三角形、梯形等等的形状。
生:分小组操作。
学生分成4人一组,用事先剪好的学具卡片在本子或书本上拼组图形。
②汇报:教师把学生拼组好的图形投影到屏幕,展示学生的智力成果。
③教师根据学生的回答重点提问:为什么像平行四边形而不说就是平行四边形?有什么办法可以让拼出的图形更接近平行四边形?类似三角形或梯形也是这样提问。
验证:等分的份数越多,其形状越接近平行四边形。
课件依次出示:
师:三个图从上到下有什么变化?
生1:等分的份数越多,拼成的图形的底边越来接近直边。
生2:宽边随着等分的份数增加越来越“陡”,也就是越来越垂直于底边。
生3:如此无限细密的等分下去,拼出的近似平行四边形将越来越接近长方形这个特殊的平行四边形。
这里教师提问:“有什么办法可以让拼成的图形更接近平行四边形?”使学生直观的感受到,圆等分的份数越多,转化后的图形就越接近平行四边形。这一思想,对于“圆面积公式”的归纳具有重要意义。
三、梳理“联系”
同任何一种知识点的学习一样,探究也绝不能仅仅停留于“直观化”层面,而应以“直观化”为依托支点,追求更为深入的“数学化”。只有这样,数学公式的抽象建构才能实现。为此,教师既要引导学生运用已有知识计算转化后的“旧”图形的面积,同时,更要花大力气引领学生深入寻找“新”“旧”图形之间的内在关联,逐步根据“旧”图形的面积计算策略,提炼出“新”图形的面积计算公式。
[课例回顾]
以近似平行四边形为例推导圆的面积。
屏幕出示圆等分成16等份后,拼成的近似平行四边形。
讨论:①近似平行四边形的底与圆的周长有什么关系?
②近似平行四边形的高与圆的半径有什么关系?
生1:近似平行四边形的底与圆的周长一半大致相等。
生2:近似平行四边形的高与圆的半径大致相等。
师:如果无限细分时:a=πr h=r(完成板书:πr和r)
圆面积 等于 平行四边形面积(完成板书:圆面积)
圆面积 等于 πr×r
黑板上演示计算:πr×r=πr2
S=πr2
屏幕出示:当圆分割无限细密时:圆面积 等于 πr×r=πr2
由此得圆面积计算公式为:S=πr2
师:拼成的近似三角形和近似梯形来推导圆面积请参照用近似平行四边形面积推导的方法课后完成,作为本周的一个弹性作业。
“公式教学”怎样进行?我认为可以借鉴的路径是:激活“经验”、建构“路径”、梳理“联系”。通过这样的一条有思想、有目标、有见解的教学之路,学生的主体数学素养一定会得到快速提升。
我认为重视和强化推导过程可以让原本路线单一、内涵狭隘的公式教学变得通道多样、视野宽阔,进而能对学生数学基础的掌握、数学能力的提升、数学经验的累积、数学思想的建构、数学情感的优化产生积极作用。下面我以“圆的面积”一课的实践教学为例来阐述这些认识。
一、激活“经验”
[课例回顾]
一、提出课题。
师:我们今天这节课学习的内容是“圆的面积”(板书课题),请看学习目标:
1.掌握圆面积公式的推导;
2.用公式正确计算圆的面积,解简单的应用题。
生:齐读。
真正意义上的“推导”是学生主体解构新材料、合成旧材料、运用旧知识、发现新线索的过程。显然这里的平行四边形、三角形、梯形面积的推导过程都是唤起学生旧知的一个良好媒介,从而回味和有意反思:新知是可以转化成旧知来学习的。而这就为学生带来了一根很有成效的“拐杖。
[课例回顾]
1.圆的知识。
教学方式:课件依次出示圆、圆心、半径、直径,并询问它们的概念。
(圆是一个由一条曲线围成的封闭图形:中心的那个点叫圆心,用字母0表示;从圆心到圆上任意一点的线段叫做半径,用字母r表示;通过圆心并且两端都在圆上的线段叫做直径,用字母d表示。)
2.复习面积概念。
教学方式:
①出示一个长方形,用颜色覆盖长方形内部。
师:什么叫长方形的面积?
生:长方形所占平面的大小叫做长方形的面积。
②出示一个圆,用颜色闪烁内部的面。
师:什么叫圆的面积?
生:圆所占平面的大小叫做圆的面积。
③直边形的面积公式。
依次出示:
要求学生依次说出它们的面积计算公式:S=a2;S=ab;S=ah;S=ah÷2;S=(a b)h÷2。(板书:平行四边形面积=底×高)
然后回忆最后三个面积计算公式中任一个的推导过程,明确对于我们要学习新的图形时可以借助割补转化成以前熟悉的图形,然后利用新旧图形之间的关系来解决所需问题。
二、建构“路径”
推导策略的核心是基于联系的新旧转化。因此,促成“新图”向“旧图”的自然“转化”是达成推导目标的重要步骤。要注意的是,我们应力求让“转化”过程充满自主意味和创新色彩,为学生“空间想象”的逐步完善、“探究能力”的持续发展提供机会。
“推导”路径应尽量由学生在自主体验中发现生成。
[课例回顾]
师:圆的面积公式我们没有学过,它能不能也像以前那样转化成我们学过的图形,然后利用两者之间的关系推导圆的面积呢?
生保持沉默,陷入思考。
师:这个结论是可以实现的。
(出示一个等分成16份的圆,告诉学生例如我们可以等分成16等份,然后剪开拼成我们学过的类似图形。)
师:用等分后的小块组成不同的学过的图形,可以尝试拼成像平行四边形、三角形、梯形等等的形状。
生:分小组操作。
学生分成4人一组,用事先剪好的学具卡片在本子或书本上拼组图形。
②汇报:教师把学生拼组好的图形投影到屏幕,展示学生的智力成果。
③教师根据学生的回答重点提问:为什么像平行四边形而不说就是平行四边形?有什么办法可以让拼出的图形更接近平行四边形?类似三角形或梯形也是这样提问。
验证:等分的份数越多,其形状越接近平行四边形。
课件依次出示:
师:三个图从上到下有什么变化?
生1:等分的份数越多,拼成的图形的底边越来接近直边。
生2:宽边随着等分的份数增加越来越“陡”,也就是越来越垂直于底边。
生3:如此无限细密的等分下去,拼出的近似平行四边形将越来越接近长方形这个特殊的平行四边形。
这里教师提问:“有什么办法可以让拼成的图形更接近平行四边形?”使学生直观的感受到,圆等分的份数越多,转化后的图形就越接近平行四边形。这一思想,对于“圆面积公式”的归纳具有重要意义。
三、梳理“联系”
同任何一种知识点的学习一样,探究也绝不能仅仅停留于“直观化”层面,而应以“直观化”为依托支点,追求更为深入的“数学化”。只有这样,数学公式的抽象建构才能实现。为此,教师既要引导学生运用已有知识计算转化后的“旧”图形的面积,同时,更要花大力气引领学生深入寻找“新”“旧”图形之间的内在关联,逐步根据“旧”图形的面积计算策略,提炼出“新”图形的面积计算公式。
[课例回顾]
以近似平行四边形为例推导圆的面积。
屏幕出示圆等分成16等份后,拼成的近似平行四边形。
讨论:①近似平行四边形的底与圆的周长有什么关系?
②近似平行四边形的高与圆的半径有什么关系?
生1:近似平行四边形的底与圆的周长一半大致相等。
生2:近似平行四边形的高与圆的半径大致相等。
师:如果无限细分时:a=πr h=r(完成板书:πr和r)
圆面积 等于 平行四边形面积(完成板书:圆面积)
圆面积 等于 πr×r
黑板上演示计算:πr×r=πr2
S=πr2
屏幕出示:当圆分割无限细密时:圆面积 等于 πr×r=πr2
由此得圆面积计算公式为:S=πr2
师:拼成的近似三角形和近似梯形来推导圆面积请参照用近似平行四边形面积推导的方法课后完成,作为本周的一个弹性作业。
“公式教学”怎样进行?我认为可以借鉴的路径是:激活“经验”、建构“路径”、梳理“联系”。通过这样的一条有思想、有目标、有见解的教学之路,学生的主体数学素养一定会得到快速提升。