论文部分内容阅读
20世纪80年代以来，问题解决已成为国际数学教育的一种潮流。由于它的研究与开发不仅关系到如何提高学生的科学文化素质、思想品德素质和教学质量问题，而且也与数学教学内容、课程设置、教材教法、教学模式等各项改革密切相关。随着时代发展与军队建设的要求，如何在教学过程中设计、解决数学问题已成为当前数学教育研究的重要课题。
一、数学问题的形成、来源及类型
数学是研究客观世界的数量关系和空间形式的科学，而问题是人们与客观世界产生接触，从数量关系或空间形式的角度反映出认识与客观世界的矛盾时形成的。数学问题是在数学的学习和研究中，对已有的数学概念或结论产生疑问，或者对数学的未知领域进行探索时，都会提出一些不同问题。那么在教学中所要解决的并不是那些尚未解决的数学问题，而是前人已有的数学知识的再发现只有提出问题，让学生产生问题的情境，才能引起学生有目的的思考。正是由于学生把特定的数学问题确定为自己努力攻克的方向，才能使思维活动以一定的方法、在一定的范围内进行，才能激发学生的创造热情，不断冲击头脑中旧有的认知结构，不断构建新的认知。数学问题来源于人类的生产、生活实践之中。如我国古代数学家刘徽的《割圆术》、古代巴比伦人在观测天文和六十进制数系、公元1世纪前后的《九章算术》等。其中《九章算术》是我国古代传统数学中具有最深远影响的一部著作，它反映出我国古代数学是怎样从实际生活中分析出数量关系，建立数学模型，又怎样从研究具体的数学问题入手，通过抽象与归纳而得到解决问题的数学方法的。由数学问题的形成和来源可以看到，数学问题种类繁多，但用于数学问题解决中的大致有三种，可以构建数学模型的实际问题；探究性问题；开放性问题，不同的类型具有不同的教育价值和功能。
二、数学问题的设计原则
数学问题的设计是教学过程中解决数学问题的基础。要使问题解决取得良好成效，必须预先将问题设计好。好的数学问题应有较强的探索性，它要求人们具有某种程度的独立见解、判断力、能动性和创新精神；具有现实意义或与学生的实际生活有着直接的联系，具有趣味性和魅力。
（一）可行性原则
在教学设计中，对数学问题教师首先要细致地钻研教材，研究学生的思维发展规律和知识水平，提出既有一定难度又是学生力所能及的问题，也就是说，要选择在学生能力的“最近发展区”内的问题。学生的第一发展水平和第二发展水平之间存在着差异。教师应走在学生发展的前面，创造“最近发展区”，并注意适时、适度创设实际情境，培养学生的创新意识和实践能力；根据学生年龄特点、已有的认知结构、教材及学生的生活实际，设计适当的数学问题。这些问题既能有效地激发学生的求知欲望，又能使学生积极主动地去寻求解决问题的策略，并通过一定的努力或小组讨论、探究，最后归纳出具有一般规律性的结果。
（二）渐进性原则
渐进性原则要求问题设计要有层次性，要由浅入深，由易到难。人类认识数学对象的过程，是一个渐进过程，是从认识最简单的对象开始，逐步发展到对数学对象之间的相互关系及它们的内部结构的认识。人们对于数学问题的认识，如同对数学对象的认识一样，也是一个渐进的过程。因此，在数学问题的设计中就要遵循由浅入深，由易到难，有层次、循序渐进的原则，使学生在问题的探究中不断获得成功，逐步树立起学好数学的自信心，培养勇于探索、敢于攀登的精神。
（三）应用性原则
随着数学的发展，它的应用越来越广泛，世界各国的数学教育也越来越强调数学的应用，这是当前国际数学教育的重要动向。各国都在数学课程中增加现代数学中具有广泛应用性的内容，注重从生活实际和学员知识背景中提出问题，结合生活中的具体实教学，增强课堂教学中的实践环节，重视培养学生用数学的意识和用例进行数学知识的数学的能力，使学生能主动尝试用数学知識和思想方法寻求解决问题的途径。
三、数学问题的解决
如前所述，由于数学问题来源于人类的生产、生活实践，来源于人们了解自然、认识自然的科技活动，一般来说，它是非常规的、由情境给出的一种实际需求，并且具有一定的探究性。因此，数学问题的解决一般要通过以下几个过程来实现。
（一）分析问题背景，寻找数学联系
通过对所给问题的分析，理解问题背景的意义，从中找出它们与哪些数学知识有联系，以便建立有关的数学模型，使实际问题数学化，从而使非常规问题转化为常规问题来解决。在这个过程中，要充分发挥学生的积极主动性，必要时可以让学生分组开展讨论，以集体的力量和智慧攻克难关。
（二）建立数学模型
在分析的基础上，将实际问题符号化，建立数学模型。在建立数学模型的时候，可要求学生独立完成，因为前面的分析过程，已经使问题明朗化，一般情况下学生都可以独立完成数学建模任务。对于有困难的学生，也可以通过小组讨论来完成这一工作。
（三）求解数学问题
根据数学模型的特征，可采用适当的数学思想、方法和数学知识，对数学模型进行求解。这里主要强调学生用数学的意识的培养和形成。一般情况下，只要数学模型建立起来以后，学生自然会去联想已学过的数学知识和熟悉的数学思想方法，通过推理和演算，达到问题的解决。
（四）检验，交流，评价
将数学问题的求解结果返回到实际问题中去进行检验，看它是否与实际问题的情形相吻合，从而决定是否要修改模型或另辟途径。，同时可组织学员进行交流，对各种模型进行评价。
在数学问题解决的教学过程中，既要注重发挥学员的主体作用，又要重视教员主导作用的发挥，二者相辅相成。特别是在讲到探索、猜想、发现方面的问题时要侧重于“教”；有时候可以直接教给学生完整的猜想过程，有时候则要较多地启发、诱导。因此，在一些典型的数学问题解决中，教给学生比较完整的解决实际问题的过程和常用方法，以提高学生解决实际问题的能力，应引起广大数学教师的高度重视。
一、数学问题的形成、来源及类型
数学是研究客观世界的数量关系和空间形式的科学，而问题是人们与客观世界产生接触，从数量关系或空间形式的角度反映出认识与客观世界的矛盾时形成的。数学问题是在数学的学习和研究中，对已有的数学概念或结论产生疑问，或者对数学的未知领域进行探索时，都会提出一些不同问题。那么在教学中所要解决的并不是那些尚未解决的数学问题，而是前人已有的数学知识的再发现只有提出问题，让学生产生问题的情境，才能引起学生有目的的思考。正是由于学生把特定的数学问题确定为自己努力攻克的方向，才能使思维活动以一定的方法、在一定的范围内进行，才能激发学生的创造热情，不断冲击头脑中旧有的认知结构，不断构建新的认知。数学问题来源于人类的生产、生活实践之中。如我国古代数学家刘徽的《割圆术》、古代巴比伦人在观测天文和六十进制数系、公元1世纪前后的《九章算术》等。其中《九章算术》是我国古代传统数学中具有最深远影响的一部著作，它反映出我国古代数学是怎样从实际生活中分析出数量关系，建立数学模型，又怎样从研究具体的数学问题入手，通过抽象与归纳而得到解决问题的数学方法的。由数学问题的形成和来源可以看到，数学问题种类繁多，但用于数学问题解决中的大致有三种，可以构建数学模型的实际问题；探究性问题；开放性问题，不同的类型具有不同的教育价值和功能。
二、数学问题的设计原则
数学问题的设计是教学过程中解决数学问题的基础。要使问题解决取得良好成效，必须预先将问题设计好。好的数学问题应有较强的探索性，它要求人们具有某种程度的独立见解、判断力、能动性和创新精神；具有现实意义或与学生的实际生活有着直接的联系，具有趣味性和魅力。
（一）可行性原则
在教学设计中，对数学问题教师首先要细致地钻研教材，研究学生的思维发展规律和知识水平，提出既有一定难度又是学生力所能及的问题，也就是说，要选择在学生能力的“最近发展区”内的问题。学生的第一发展水平和第二发展水平之间存在着差异。教师应走在学生发展的前面，创造“最近发展区”，并注意适时、适度创设实际情境，培养学生的创新意识和实践能力；根据学生年龄特点、已有的认知结构、教材及学生的生活实际，设计适当的数学问题。这些问题既能有效地激发学生的求知欲望，又能使学生积极主动地去寻求解决问题的策略，并通过一定的努力或小组讨论、探究，最后归纳出具有一般规律性的结果。
（二）渐进性原则
渐进性原则要求问题设计要有层次性，要由浅入深，由易到难。人类认识数学对象的过程，是一个渐进过程，是从认识最简单的对象开始，逐步发展到对数学对象之间的相互关系及它们的内部结构的认识。人们对于数学问题的认识，如同对数学对象的认识一样，也是一个渐进的过程。因此，在数学问题的设计中就要遵循由浅入深，由易到难，有层次、循序渐进的原则，使学生在问题的探究中不断获得成功，逐步树立起学好数学的自信心，培养勇于探索、敢于攀登的精神。
（三）应用性原则
随着数学的发展，它的应用越来越广泛，世界各国的数学教育也越来越强调数学的应用，这是当前国际数学教育的重要动向。各国都在数学课程中增加现代数学中具有广泛应用性的内容，注重从生活实际和学员知识背景中提出问题，结合生活中的具体实教学，增强课堂教学中的实践环节，重视培养学生用数学的意识和用例进行数学知识的数学的能力，使学生能主动尝试用数学知識和思想方法寻求解决问题的途径。
三、数学问题的解决
如前所述，由于数学问题来源于人类的生产、生活实践，来源于人们了解自然、认识自然的科技活动，一般来说，它是非常规的、由情境给出的一种实际需求，并且具有一定的探究性。因此，数学问题的解决一般要通过以下几个过程来实现。
（一）分析问题背景，寻找数学联系
通过对所给问题的分析，理解问题背景的意义，从中找出它们与哪些数学知识有联系，以便建立有关的数学模型，使实际问题数学化，从而使非常规问题转化为常规问题来解决。在这个过程中，要充分发挥学生的积极主动性，必要时可以让学生分组开展讨论，以集体的力量和智慧攻克难关。
（二）建立数学模型
在分析的基础上，将实际问题符号化，建立数学模型。在建立数学模型的时候，可要求学生独立完成，因为前面的分析过程，已经使问题明朗化，一般情况下学生都可以独立完成数学建模任务。对于有困难的学生，也可以通过小组讨论来完成这一工作。
（三）求解数学问题
根据数学模型的特征，可采用适当的数学思想、方法和数学知识，对数学模型进行求解。这里主要强调学生用数学的意识的培养和形成。一般情况下，只要数学模型建立起来以后，学生自然会去联想已学过的数学知识和熟悉的数学思想方法，通过推理和演算，达到问题的解决。
（四）检验，交流，评价
将数学问题的求解结果返回到实际问题中去进行检验，看它是否与实际问题的情形相吻合，从而决定是否要修改模型或另辟途径。，同时可组织学员进行交流，对各种模型进行评价。
在数学问题解决的教学过程中，既要注重发挥学员的主体作用，又要重视教员主导作用的发挥，二者相辅相成。特别是在讲到探索、猜想、发现方面的问题时要侧重于“教”；有时候可以直接教给学生完整的猜想过程，有时候则要较多地启发、诱导。因此，在一些典型的数学问题解决中，教给学生比较完整的解决实际问题的过程和常用方法，以提高学生解决实际问题的能力，应引起广大数学教师的高度重视。