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前不久，我有幸观摩了特级教师仲广群执教的《三角形内角和》一课，可谓收获匪浅。课堂上，时而看到孩子们专注的眼神，时而听到孩子们会意的笑声，时而想到孩子们思考的快乐……课前，仲老师虽精心预设过，但课上却没有丝毫斧凿的痕迹。尤其在“量角”这一验证环节中，仲老师直面学生量角时出现的误差，不抛弃，不放弃，而是积极地利用这一误差资源，使整节课自然流畅，一气呵成，质朴无华。
【片断描述】
师：三角形内角和可能是多少度？
生（异口同声地说）：180度。
（师生共同计算一副直角三角尺的内角和。板书：90° 60° 30°=180°、90° 45° 45°=180°）
师（指着两块三角尺）：是不是因为这两个三角形是180度，你就能肯定地说所有三角形的内角和都是180度？
生：不是。
师：看来，虽然有了这两个特殊的例子，但我们并不能下结论说所有三角形的内角和都是180度。是吗？（生点头同意）。
师：如果要验证我们刚才的那个猜想，你觉得还要做一个什么工作呀？
生（兴奋地说）：我们随手画一个三角形，再量出它的各个内角的度数，最后把这些度数相加。
师：课前我们剪了各种各样的三角形，如果我们量得的结果都像刚才这位同学所说的，那我们的结论就能得出来吗？
生（肯定的说）：是的。
师：请同学们拿出一个三角形量一量每个角的度数，做好记录，再算一算。
（生量角并汇报结果：180度、179度、190度、178度……）
师：告诉我，现在你还能肯定三角形的内角和还是180度？
生（面露难色沮丧地说）：不能。
师：你一定肯定三角形的内角和不是180度？
生（肯定地说）：不能。
师：怎么又不能了？
生：可能量得不准。
师：看来，要想验证“三角形的内角和是180度”这一猜想，摆在我们面前的难关还不小呢？
……
【片断反思】
以往的教学，特别是公开课，老师们在教学《三角形内角和》时，引导学生通过量各个角的度数，然后把它们相加，从而让学生认识到“三角形的内角和是180度”是教学这节内容常用的教学形式。教学中，学生因为测量的误差导致求到的内角和不是180度。很多教师往往简单地归结为，学生测量时方法不正确，进而回避这个问题。而在这节课中，仲老师却能主动接纳误差、积极展示误差、深入反思误差，从而让课堂显得真实、自然、朴实。
1.接纳误差，尊重学生的学习需求
教师由心而发的对学生在测量中误差的接纳，是学生愿意展示误差的基础。课始，当仲老师问三角形的内角和可能是多少度时，学生都异口同声地答道：180度。看来学生对于这一知识已经有了一定的了解。仲老师找准学生的学习起点，一句提问，“如果要验证我们刚才的那个猜想，你觉得还要做一个什么工作呀？”给学生提出明确的要求。量角的过程中，老师提醒学生及时记录每个角的度数。避免了学生在量角后，不计算就凭刚才的猜想，直接说出三个角的和是180度，这样的教学不符合学生的学习实际，既不真实，也不利于后面教学活动的顺利展开。操作时，由于操作工具及学习材料之间的差异，出现了“误差”， 学生计算出三角形的内角和不是180度，有的比180度大，有的比180度小。此时，大多数学生会产生这样的疑问：量角的方法没有错，三个角相加的和也没有错，但为什么求出的结果不是180度呢？面对学生的各种计算结果，仲老师没有及时肯定正确的答案，也没有指出错误的结果。正如特级教师华应龙说的，“正确的答案，思考过程可能是错的，错误的结果，思考过程也许是对的。”仲老师用一颗宽容的心，接纳了学生的错误结果，体现了一种大气的教学风格。
2.展示误差，激活学生的学习欲望
孔子曰：“不愤不启，不悱不发”。 经过计算，学生们求出的三个角内角和可谓各不相同，有179度、180度、190度……面对不同的结果，仲老师没有立即认定结果，而是继续追问，“现在你还能肯定三角形的内角和还是180度？”“你一定肯定三角形的内角和不是180度？”。简单的两句话，激发了学生进一步探究的学习欲望。以上案例中，通过展示不同的计算结果，因为测量“误差”，学生处于“想求明白而不得，想说出来却不能”的“愤”“悱”状态。探索始于疑，当学生有疑问时，正是打开知识大门的有效时机。学生惊讶地发现“可能是量得不准”。有测量就会产生误差，误差不等于差错。任何误差的存在都有其必然性与合理性，正是在老师追问中，学生理解了度量的本质，进而产生寻求更合理的、科学的方法来验证这一猜想的强烈愿望。
3.反思误差，深化学生的学习思维
弗雷登塔尔说：“泄露一个可以由学生自己发现的秘密，那是‘坏的’教学法，甚至是罪恶。”量角时出现误差，这是客观存在的，也是无法回避的。这时，是教师通过亲手操作加以修正，还是告诉学生这是操作产生的误差呢？如果直接告诉学生这是量角时产生误差，不能说明操作实验的成功与否，这就是“坏的”教学法。那么，作为一次操作验证活动，我们又该赋予量角以怎样的内涵呢？量角作为探究三角形内角和引入环节的操作验证活动，其价值内涵应该体现在以下三个方面：第一，量角顺应了学生的原有经验，因为学生在研究角的度数问题时，用量角器量角是最先想到的方法；第二，量角可以帮助学生初步感知三角形的内角和大约是180度；第三，因为量角有误差，可以引导学生对原有的认知产生质疑，促使学生产生进一步探究的欲望，为引出更科学、更严谨的验证方法提供平台。
总之，误差是课堂教学中的资源。我们要向仲老师一样，以“不抛弃、不放弃、要扬弃”的态度积极面对。教师完全不必因为量角出现了误差，而急于帮助学生去修正，从而得出正确的结果。量角应该把“量”作为引子，变误差为资源，从而激发学生的探究欲望，让学生享受数学思考的快乐，品尝成功的喜悦。
（责任编辑：李雪虹）
【片断描述】
师：三角形内角和可能是多少度？
生（异口同声地说）：180度。
（师生共同计算一副直角三角尺的内角和。板书：90° 60° 30°=180°、90° 45° 45°=180°）
师（指着两块三角尺）：是不是因为这两个三角形是180度，你就能肯定地说所有三角形的内角和都是180度？
生：不是。
师：看来，虽然有了这两个特殊的例子，但我们并不能下结论说所有三角形的内角和都是180度。是吗？（生点头同意）。
师：如果要验证我们刚才的那个猜想，你觉得还要做一个什么工作呀？
生（兴奋地说）：我们随手画一个三角形，再量出它的各个内角的度数，最后把这些度数相加。
师：课前我们剪了各种各样的三角形，如果我们量得的结果都像刚才这位同学所说的，那我们的结论就能得出来吗？
生（肯定的说）：是的。
师：请同学们拿出一个三角形量一量每个角的度数，做好记录，再算一算。
（生量角并汇报结果：180度、179度、190度、178度……）
师：告诉我，现在你还能肯定三角形的内角和还是180度？
生（面露难色沮丧地说）：不能。
师：你一定肯定三角形的内角和不是180度？
生（肯定地说）：不能。
师：怎么又不能了？
生：可能量得不准。
师：看来，要想验证“三角形的内角和是180度”这一猜想，摆在我们面前的难关还不小呢？
……
【片断反思】
以往的教学，特别是公开课，老师们在教学《三角形内角和》时，引导学生通过量各个角的度数，然后把它们相加，从而让学生认识到“三角形的内角和是180度”是教学这节内容常用的教学形式。教学中，学生因为测量的误差导致求到的内角和不是180度。很多教师往往简单地归结为，学生测量时方法不正确，进而回避这个问题。而在这节课中，仲老师却能主动接纳误差、积极展示误差、深入反思误差，从而让课堂显得真实、自然、朴实。
1.接纳误差，尊重学生的学习需求
教师由心而发的对学生在测量中误差的接纳，是学生愿意展示误差的基础。课始，当仲老师问三角形的内角和可能是多少度时，学生都异口同声地答道：180度。看来学生对于这一知识已经有了一定的了解。仲老师找准学生的学习起点，一句提问，“如果要验证我们刚才的那个猜想，你觉得还要做一个什么工作呀？”给学生提出明确的要求。量角的过程中，老师提醒学生及时记录每个角的度数。避免了学生在量角后，不计算就凭刚才的猜想，直接说出三个角的和是180度，这样的教学不符合学生的学习实际，既不真实，也不利于后面教学活动的顺利展开。操作时，由于操作工具及学习材料之间的差异，出现了“误差”， 学生计算出三角形的内角和不是180度，有的比180度大，有的比180度小。此时，大多数学生会产生这样的疑问：量角的方法没有错，三个角相加的和也没有错，但为什么求出的结果不是180度呢？面对学生的各种计算结果，仲老师没有及时肯定正确的答案，也没有指出错误的结果。正如特级教师华应龙说的，“正确的答案，思考过程可能是错的，错误的结果，思考过程也许是对的。”仲老师用一颗宽容的心，接纳了学生的错误结果，体现了一种大气的教学风格。
2.展示误差，激活学生的学习欲望
孔子曰：“不愤不启，不悱不发”。 经过计算，学生们求出的三个角内角和可谓各不相同，有179度、180度、190度……面对不同的结果，仲老师没有立即认定结果，而是继续追问，“现在你还能肯定三角形的内角和还是180度？”“你一定肯定三角形的内角和不是180度？”。简单的两句话，激发了学生进一步探究的学习欲望。以上案例中，通过展示不同的计算结果，因为测量“误差”，学生处于“想求明白而不得，想说出来却不能”的“愤”“悱”状态。探索始于疑，当学生有疑问时，正是打开知识大门的有效时机。学生惊讶地发现“可能是量得不准”。有测量就会产生误差，误差不等于差错。任何误差的存在都有其必然性与合理性，正是在老师追问中，学生理解了度量的本质，进而产生寻求更合理的、科学的方法来验证这一猜想的强烈愿望。
3.反思误差，深化学生的学习思维
弗雷登塔尔说：“泄露一个可以由学生自己发现的秘密，那是‘坏的’教学法，甚至是罪恶。”量角时出现误差，这是客观存在的，也是无法回避的。这时，是教师通过亲手操作加以修正，还是告诉学生这是操作产生的误差呢？如果直接告诉学生这是量角时产生误差，不能说明操作实验的成功与否，这就是“坏的”教学法。那么，作为一次操作验证活动，我们又该赋予量角以怎样的内涵呢？量角作为探究三角形内角和引入环节的操作验证活动，其价值内涵应该体现在以下三个方面：第一，量角顺应了学生的原有经验，因为学生在研究角的度数问题时，用量角器量角是最先想到的方法；第二，量角可以帮助学生初步感知三角形的内角和大约是180度；第三，因为量角有误差，可以引导学生对原有的认知产生质疑，促使学生产生进一步探究的欲望，为引出更科学、更严谨的验证方法提供平台。
总之，误差是课堂教学中的资源。我们要向仲老师一样，以“不抛弃、不放弃、要扬弃”的态度积极面对。教师完全不必因为量角出现了误差，而急于帮助学生去修正，从而得出正确的结果。量角应该把“量”作为引子，变误差为资源，从而激发学生的探究欲望，让学生享受数学思考的快乐，品尝成功的喜悦。
（责任编辑：李雪虹）