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数学教学要讲求逻辑思维能力的培养，但是小学生的思维水平正处于形象思维向抽象思维发展的过渡期，对过分抽象的逻辑推理往往不能理解。这就产生了一个矛盾。笔者认为，解决这个矛盾的办法就是要充分引导学生去“悟”，从某种程度上讲，“悟”是小学生数学学习的必由之路。从《说文解字》中可以看出“悟”字本义是“醒悟、觉悟”，引申义是“理解、明白”。“觉”是与生俱来的敏感与智慧，“悟”则是后天学到的对人生与世界的认识和感受。“悟性”就是对事物理解和分析的能力。“悟”是一种意识，“悟”是一段过程，“悟性”既与先天的素质有关，也是后天可以培养的。
一、感悟：触摸数学之本
“感悟”从词义来看，是有所感触而领悟的意思。真正的感悟来源于人们的亲身经历与感受。有的是渐渐领悟，有的是瞬间开悟。“感”就是感知，是感受、实践的过程；“悟”就是领会、理解、觉悟，是一个思考的过程；活动生“感”，反思得“悟”；“感”得越多，“悟”得越透彻。为学生安排有价值的数学活动，让学生在活动中去“感悟”数学内涵，感受数学之魂，势必会提高学生学习数学的效率。
[案例]“三角形三边的关系”教学片段
教师给学生提供操作材料：每组提供4根小棒。长度分别为2cm，3cm，5cm，6cm。放手让学生自己去研究围三角形的情况，并将研究所得一一记录在“研究记录表”中。
目的：探究三角形三条边的关系。
材料：2cm，3cm，5cm，6cm长的4根小棒。
步骤：(1)先任选其中3根小棒，记录它们的长度；
(2)用这3根小棒试着围一个三角形，并比较3条边的关系。
在学生操作并填写后，教师马上提问：你有什么发现?
在学生同桌进行交流后，教师再次提问：
(1)同学们通过动手摆小棒，共得出几种不同的方法?
(2)怎样的3根小棒才能围成一个三角形呢?
教师没有用过多的语言或环节去引导学生分析、交流、思考，而是通过为学生提供活动素材，把“在4根长度不一的小棒中任选3根”之规则告之学生，让学生通过操作、记录、观察、分析，自己感悟出三角形3条边之间的关系，即两边之和一定大于第三边。但是，这种感悟，只是一种不完全归纳的直觉，如何让这种直觉符合数学的逻辑，并形成学生的科学认知呢?我们可以继续提供素材，比如5、6、9等更多根小棒，让学生继续感悟，感得越多，悟得越真，用才灵活，才能通过感悟，品尝到数学的本质。
二、醒悟：探究数学之核
“醒悟”从词义来看，是在意识上由模糊而清楚、由错误而正确的意思。
有时，学生的认知并不需要教师“迫不及待”的指点，他们需要经历从混沌到清晰的过程、正确与错误的考验，教师更多的是应该为学生提供自主探索的时空、思维碰撞的机会。交流、质疑、评价等等都是一种思维的碰撞，要让学生在碰撞中醒悟，在碰撞中生成智慧。
[案例]“百分数的意义”教学片段
在学生通过投篮的命中率来初步感知一个数是另一个数的百分之几的数就是百分数后。教师让学生交流生活中哪里见到百分数，这些百分数各表示什么意思。其中有一个学生拿出他在报纸上收集到的信息：华东精密仪器厂2009年生产的一种激光仪合格率为99.8％。
师：这个99.8％表示什么意思?
生：99.8％表示生产了100件激光仪，合格了99.8件。
教室里议论纷纷，教师笑而不答。
有学生举手说：不可能有0.8件仪器。
又有学生说：用四舍五入法，就是100件都合格了。
师：这个厂是不是只生产了100件激光仪?
有孩子忽然醒悟似的说：如果生产了1000件激光仪，就是合格了998件。
师：“如果”这个词用得非常好，大家想一想这个厂生产的激光仪可能是1000件吗?一定是吗?
生：不一定!
师：那么合格率99.8％是怎么得到的?
生：合格率99.8％是2009年合格的激光仪数量除以生产的激光仪总数得到的。
生：合格率应该是随意抽取一些量进行检测，将合格的激光仪数量除以抽出的激光仪总量得出来的。
师：你为什么要这么说?
生：我的爸爸是企业老总，我问过他。因为大多数的企业都是这样多次抽检得出来的合格率。不可能把所有的产品都一个个地进行细致的检验。
师：你说得非常对，99.8％合格，不能简单地说成合格了99.8件，或者998件。这是利用百分数对企业产品质量的描述。99.8％的合格率，说明华东精密仪器厂2009年生产的一种激光仪合格率是很高的。质量很好。
我们应该感谢学生的错误，学生错的水平越高，数学的价值才能真正走入学生的心灵深处。激光仪的合格率99.8％，是生产100件合格99.8件?还是生产1000件合格998件?有可能出现0.8件激光仪吗?在教师的质疑下，学生的思维在碰撞中不断深入，正是这种教师的质疑和学生的解疑自然、充分的交融，学生的思维才会在碰撞中螺旋上升。学生对百分数的意义的理解也才会不断完善，逐步走向水到渠成。
三、顿悟：体验数学之乐
“顿”的词义是立即、忽然。有心理学家指出人类解决问题的过程就是顿悟。在数学学习的过程中，不能把所有的“悟”称为顿悟。顿悟往往在难以解答问题中才会产生，或者教师巧妙的讲解正好刺激了学生时才会产生。总之，顿悟离不开“灵感”，灵感不出现，顿悟难以到来。列宾说：“灵感就是由于顽强的劳动而获得的奖赏。”我们常说，当人们对问题百思不得其解时，突然看出问题情境中的各种关系就会产生顿悟和理解。这说明“百思”是非常重要的，没有“百思”。不可能有“突然”。又有人说“踏破铁鞋无觅处，得来全不费工夫”。这里的“踏破”也是相当重要的。没有“踏破”。就没有“得来”。
[案例]“找规律”教学片段
师：校庆到了，我们来布置教室。在一条5米长的彩绳上每隔1米挂1个灯笼，需要准备几个灯笼?(让学生回答，不做评判)
教师让学生上来挂灯笼，挂的过程中引导出2～3种情况：两头不挂，挂4个灯笼；两头都挂，挂6个灯笼；挂一头，挂5个灯笼。
师：我们把刚才的挂灯笼的情况用线段图表示出来。
学生在自己的作业纸上画。
师：两头都挂灯笼，我们用线段表示绳子，用点表示灯笼。点数是多少?段数是多少?
教师出示题目：学校要在路边的草坪边上每隔10米插上一面彩旗，图书馆对面的草坪长30米(一侧有棵树)，一共可以插上多少面彩旗?
师：请你在练习纸上画出点，并填写表格。
师：可能出现哪几种情况?
教师再次出示题目：我们做4个游戏，准备用品都放在讲台上，每个游戏需要的用品不同，所以在桌子上沿长边用标牌分成4块区域，我们需要准备多少块标牌?你能用线段图表示出来吗?请你选择对应哪组来画图。
在学生独立表示后，教师组织学生完善3种情况。
师：点数与段数之间到底有什么关系?
在学习新知时，教师接二连三地依次出示了3个问题情景，学生依托问题情景和自己的生活经验，往往能就题论题说出“挂灯笼”、“插彩旗”、“竖标牌”每个问题情景中的各种情况，教师在学生的学习过程中有意识地将各种情况梳理在黑板上，在学生完成3个问题后，马上来反思：“比较这三题。你有什么发现?”“点数与段数之间到底有什么关系?”在比较与反思中，特别是看了板书的情况，很多学生能摆脱具体的问题情景的迷惑，顿悟出其中的规律：“两端有点时点数比段数多1：一端有点时点数等于段数；而两端无点时点数比段数少1。”当然，悟出这一规律后，去解决类似的问题就变得很简单了。
一、感悟：触摸数学之本
“感悟”从词义来看，是有所感触而领悟的意思。真正的感悟来源于人们的亲身经历与感受。有的是渐渐领悟，有的是瞬间开悟。“感”就是感知，是感受、实践的过程；“悟”就是领会、理解、觉悟，是一个思考的过程；活动生“感”，反思得“悟”；“感”得越多，“悟”得越透彻。为学生安排有价值的数学活动，让学生在活动中去“感悟”数学内涵，感受数学之魂，势必会提高学生学习数学的效率。
[案例]“三角形三边的关系”教学片段
教师给学生提供操作材料：每组提供4根小棒。长度分别为2cm，3cm，5cm，6cm。放手让学生自己去研究围三角形的情况，并将研究所得一一记录在“研究记录表”中。
目的：探究三角形三条边的关系。
材料：2cm，3cm，5cm，6cm长的4根小棒。
步骤：(1)先任选其中3根小棒，记录它们的长度；
(2)用这3根小棒试着围一个三角形，并比较3条边的关系。
在学生操作并填写后，教师马上提问：你有什么发现?
在学生同桌进行交流后，教师再次提问：
(1)同学们通过动手摆小棒，共得出几种不同的方法?
(2)怎样的3根小棒才能围成一个三角形呢?
教师没有用过多的语言或环节去引导学生分析、交流、思考，而是通过为学生提供活动素材，把“在4根长度不一的小棒中任选3根”之规则告之学生，让学生通过操作、记录、观察、分析，自己感悟出三角形3条边之间的关系，即两边之和一定大于第三边。但是，这种感悟，只是一种不完全归纳的直觉，如何让这种直觉符合数学的逻辑，并形成学生的科学认知呢?我们可以继续提供素材，比如5、6、9等更多根小棒，让学生继续感悟，感得越多，悟得越真，用才灵活，才能通过感悟，品尝到数学的本质。
二、醒悟：探究数学之核
“醒悟”从词义来看，是在意识上由模糊而清楚、由错误而正确的意思。
有时，学生的认知并不需要教师“迫不及待”的指点，他们需要经历从混沌到清晰的过程、正确与错误的考验，教师更多的是应该为学生提供自主探索的时空、思维碰撞的机会。交流、质疑、评价等等都是一种思维的碰撞，要让学生在碰撞中醒悟，在碰撞中生成智慧。
[案例]“百分数的意义”教学片段
在学生通过投篮的命中率来初步感知一个数是另一个数的百分之几的数就是百分数后。教师让学生交流生活中哪里见到百分数，这些百分数各表示什么意思。其中有一个学生拿出他在报纸上收集到的信息：华东精密仪器厂2009年生产的一种激光仪合格率为99.8％。
师：这个99.8％表示什么意思?
生：99.8％表示生产了100件激光仪，合格了99.8件。
教室里议论纷纷，教师笑而不答。
有学生举手说：不可能有0.8件仪器。
又有学生说：用四舍五入法，就是100件都合格了。
师：这个厂是不是只生产了100件激光仪?
有孩子忽然醒悟似的说：如果生产了1000件激光仪，就是合格了998件。
师：“如果”这个词用得非常好，大家想一想这个厂生产的激光仪可能是1000件吗?一定是吗?
生：不一定!
师：那么合格率99.8％是怎么得到的?
生：合格率99.8％是2009年合格的激光仪数量除以生产的激光仪总数得到的。
生：合格率应该是随意抽取一些量进行检测，将合格的激光仪数量除以抽出的激光仪总量得出来的。
师：你为什么要这么说?
生：我的爸爸是企业老总，我问过他。因为大多数的企业都是这样多次抽检得出来的合格率。不可能把所有的产品都一个个地进行细致的检验。
师：你说得非常对，99.8％合格，不能简单地说成合格了99.8件，或者998件。这是利用百分数对企业产品质量的描述。99.8％的合格率，说明华东精密仪器厂2009年生产的一种激光仪合格率是很高的。质量很好。
我们应该感谢学生的错误，学生错的水平越高，数学的价值才能真正走入学生的心灵深处。激光仪的合格率99.8％，是生产100件合格99.8件?还是生产1000件合格998件?有可能出现0.8件激光仪吗?在教师的质疑下，学生的思维在碰撞中不断深入，正是这种教师的质疑和学生的解疑自然、充分的交融，学生的思维才会在碰撞中螺旋上升。学生对百分数的意义的理解也才会不断完善，逐步走向水到渠成。
三、顿悟：体验数学之乐
“顿”的词义是立即、忽然。有心理学家指出人类解决问题的过程就是顿悟。在数学学习的过程中，不能把所有的“悟”称为顿悟。顿悟往往在难以解答问题中才会产生，或者教师巧妙的讲解正好刺激了学生时才会产生。总之，顿悟离不开“灵感”，灵感不出现，顿悟难以到来。列宾说：“灵感就是由于顽强的劳动而获得的奖赏。”我们常说，当人们对问题百思不得其解时，突然看出问题情境中的各种关系就会产生顿悟和理解。这说明“百思”是非常重要的，没有“百思”。不可能有“突然”。又有人说“踏破铁鞋无觅处，得来全不费工夫”。这里的“踏破”也是相当重要的。没有“踏破”。就没有“得来”。
[案例]“找规律”教学片段
师：校庆到了，我们来布置教室。在一条5米长的彩绳上每隔1米挂1个灯笼，需要准备几个灯笼?(让学生回答，不做评判)
教师让学生上来挂灯笼，挂的过程中引导出2～3种情况：两头不挂，挂4个灯笼；两头都挂，挂6个灯笼；挂一头，挂5个灯笼。
师：我们把刚才的挂灯笼的情况用线段图表示出来。
学生在自己的作业纸上画。
师：两头都挂灯笼，我们用线段表示绳子，用点表示灯笼。点数是多少?段数是多少?
教师出示题目：学校要在路边的草坪边上每隔10米插上一面彩旗，图书馆对面的草坪长30米(一侧有棵树)，一共可以插上多少面彩旗?
师：请你在练习纸上画出点，并填写表格。
师：可能出现哪几种情况?
教师再次出示题目：我们做4个游戏，准备用品都放在讲台上，每个游戏需要的用品不同，所以在桌子上沿长边用标牌分成4块区域，我们需要准备多少块标牌?你能用线段图表示出来吗?请你选择对应哪组来画图。
在学生独立表示后，教师组织学生完善3种情况。
师：点数与段数之间到底有什么关系?
在学习新知时，教师接二连三地依次出示了3个问题情景，学生依托问题情景和自己的生活经验，往往能就题论题说出“挂灯笼”、“插彩旗”、“竖标牌”每个问题情景中的各种情况，教师在学生的学习过程中有意识地将各种情况梳理在黑板上，在学生完成3个问题后，马上来反思：“比较这三题。你有什么发现?”“点数与段数之间到底有什么关系?”在比较与反思中，特别是看了板书的情况，很多学生能摆脱具体的问题情景的迷惑，顿悟出其中的规律：“两端有点时点数比段数多1：一端有点时点数等于段数；而两端无点时点数比段数少1。”当然，悟出这一规律后，去解决类似的问题就变得很简单了。