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摘 要：“数学化”教学就是以“数学化”为核心的数学教学，其实质就是激发学生数学地组织现实世界的过程. 它是有效数学教学的核心和数学课程改革的关键. 文章就数学化的含义、教学意义、教学方法、教学案例等进行论述.
关键词：数学化；意义；方法；案例
[?] 数学化的含义
荷兰著名数学教育家弗赖登塔尔在他的巨著《作为教育任务的数学》一书中首次提出：人们在观察、认识和改造客观世界的过程中，运用数学的思想和方法来分析和研究客观世界的种种现象并加以整理和组织的过程，就叫数学，即“抽象——符号——应用”的过程.
数学化有横向数学化和纵向数学化之分. 在弗赖登塔尔看来，横向数学化“是把生活世界引向符号世界”，是从“生活现实”到“符号形式”的转化，是由现实问题到数学问题的转化. 从背景中识别数学→图示化→形式化→寻找关系与规律→识别本质→对应到已知的数学模型（现实的、经验的）.
“在符号世界里，符号的生成、重塑和被使用”，则是纵向数学化. 纵向数学化是在数学范畴内对已经符号化的问题做进一步抽象化处理的数学化问题，是从“符号”到“概念”的转化. 它是将某个关系形成一个公式，或是证明一个定律，或是对同一问题采用不同的模型或对模型进行加强、调整与完善，以致形成一个新的数学概念，或是由特殊情况经过推广从而建立起一般化的理论等，即问题纵向深入，这都属于数学化的纵向的成分.纵向数学化过程是：猜想公式→证明一些规则→完善模型→调整综合模型→形成新的数学概念→一般化过程（现实的、构造的）.
区分横向数学化与纵向数学化时，往往有一种错觉：以为从具体到一般的过程是横向数学化，而从一般到具体的过程是纵向数学化. 其实，区分横向与纵向的标准是数学与现实生活是否有直接的联系. 如果上述所言的“具体”是指现实生活，也就是从现实的经历中抽象出数学符号，或者寻找、解释抽象符号在现实中的意义，那么就是横向数学化的过程. 如果上述所言的“具体”不是指现实生活中的具体的研究对象，而是思维中相对“具体”的数学模型，那么无论是“从具体到一般”还是“从一般到具体”，其间所进行的数学思考以及数学方法的应用，也就是“在符号世界里，符号的生成、重塑和被使用”，都是纵向数学化的过程.
在大多数情况下，横向数学化和纵向数学化的界线并不分明. 有些问题在数学化得到新的数学概念之后，还要做进一步的工作，这也属于数学化的一部分；对得到的结果做出解释和说明；对得到的模型或方法的适用范围进行讨论；反思和分析已经完成的数学化过程；实际应用.
[?] 数学化的教学意义
布鲁纳关于儿童智力发展的研究表明，儿童的认知发展需要经历三个发展阶段：动作认知、图形认知和符号认知.这三个发展阶段对应着儿童思维发展的三种水平：操作水平、表象水平和分析水平. 顾泠沅先生提出了实现数学化的三个阶段，即实物操作、表象操作和符号操作. 表象操作是一个中介，借助这个表象操作，实现了从动手操作到符号表示的过渡，越过了形式化的难关. 数学课程标准强调：“让学生亲身经历将实际问题抽象出数学模型并进行解释与应用的过程”. 这个过程既需要横向数学化，也需要纵向数学化. 正如弗赖登塔尔认为，与其说是学习数学，不如说是学习“数学化”；与其说是学习公理系统，不如说是学习“公理化”；与其说是学习形式体系，不如说是学习“形式化”. 他特别指出，数学本身同样属于现实世界，因而在数学发展过程中，我们必须要面对数学自身的数学化.
[?] 数学化的教学方法
从弗赖登塔尔关于数学化的框图来看，他认为现实世界自始至终贯穿在数学化之中，先由现实世界形成数学概念，再对这个概念的形成过程进行反思，做更为抽象与形式的加工，再用它来解决现实世界的问题，通过现实世界的调节作用，使数学化得到进一步的发展与演化. 所以，从数学的产生、发展以及应用都体现数学化.对应学生的数学学习的过程来看，从现实世界出发，依据学生现有的知识经验提出情境性问题，学生在教师的指导下或独立地获得数学知识（数学概念、运算法则等等），进一步通过对数学知识的证明、重构，形成一定的数学知识体系，最后再应用所得的数学知识解决实际问题. 可以用一个框图来表示“数学化”的全过程：
从上面的框图可以看出，关注“数学化”是一个全面的连续的过程，而不是某一方面或某一阶段的行为.通常从以下三个方面构建知识：
（1）操作活动数学化：积累丰富的感性经验并由此反省抽象.
（2）数学材料逻辑化：在反省抽象理解事物本质的基础上用最简练的语言文字（即数学的概念、公式、定义、算式等）表达出来.
（3）数学知识实践化：把知识运用到生产与生活实践中，使学生能洞察到知识的“内部境界”，而有一种“豁然开朗”的感觉. 只有让学生经历“呈现生活情景——把问题符号化， 概括出一个数学问题——建构数学模型——问题解决”，才能培养他们“数学地思维”“数学地观察生活”的意识和能力. 较为关键的5个步骤是：（1）辨别一类事物的不同例子；（2）找出各例子的共同属性；（3）从共同属性中抽象出本质属性；（4）把本质属性与原认知结构中适当的知识联系起来，使新概念与已知的有关概念区别开来；（5）把新概念的本质属性推广到一切同类事物中去，以明确它的外延. 这个过程很重要，体现了数学学习的一个核心价值——数学化.弗赖登塔尔认为如果用双重的二分法分别从横向数学化和纵向数学化分类，数学教育可以分成四种类型，分别对应着不同的哲学观：缺少横向数学化，也缺乏纵向数学化，是机械主义的教学；横向数学化得到成长，但纵向数学化不足，是经验主义的教学；横向数学化不足，但纵向数学化被培养起来，是结构主义的教学；横向数学化与纵向数学化都得到成长，是现实主义的教学.
在我们的数学教学中，横向数学化与纵向的数学化必须结伴同行，相辅相成，一道成长.为使横向数学化与纵向数学化都得到成长，就是现实主义的教学. 这种教学从现实世界出发，依据学生现有的知识经验提出情境性问题，允许学生自己寻找解决这些问题的方法和策略，问题的解决过程就伴随着“自由创造”以及对情境信息的“一般化”，然后在教师的指导下，学生实现非形式化的、经验的知识向着形式化的、一般化的数学知识的自然跨越，从而实现概念、规律、法则的学习，学生实现了数学知识的数学化. [?] 数学化的教学案例
案例1 “集合”的数学化教学过程
教师：上课！
学生：（起立）老师好！
教师：大家请坐.（等学生坐好后又说）上课！
学生：（面带疑惑地站起来）老师好！
教师：男生坐下，（稍做停顿）女生坐下.
教师：（等学生坐好后又说）上课！
学生：（议论纷纷地站起来看着老师.）
教师：高个子坐下.
学生：（坐下了几个，还有几个坐下了，想想又站起来，不知该坐还是该站. 看到他们的样子，其余学生纷纷笑了起来.）
教师：（问那几个不知该坐该站的学生）为什么坐下后又站起来？
学生1：老师没给出多高算高个子.
学生2：我不确定自己算不算高个子.
教师：为什么前面你就坐下了呢？
学生1：因为我是高一（x）班的学生，我也是男生.
教师：很好，我们班全体同学就构成一个集合，所有男生、所有女生也分别构成了一个集合. 同学们想一想，在初中数学中，我们接触过哪些点或数的集合？
学生3：数的分类中，“正数的集合”，“负数的集合”.
学生4：圆是到定点的距离等于定长的点的集合.
学生5：角平分线是到角的两边的距离相等的所有点的集合.
教师：可见“集合”一词在初中数学已被广泛使用，谁能再举个例子？
学生6：（学生很活跃）图书馆里所有的书. （学生纷纷赞许）
学生7：（调皮地喊）我们班的漂亮女生.
学生：（哈哈大笑，都在喊）不是集合.
教师：（也笑）为什么不是？
学生8：因为“漂亮女生”没有判定标准，它的对象不确定.（学生纷纷点头）
教师：那谁能给集合一个准确的定义呢？
学生9：具有共同的特征的数、式、点、形、物等放在一起构成集合.
教师：还能精炼一些吗？
学生10：有共同特征的事物集在一起形成集合.
教师：很好，某些指定对象的全体构成集合，集合中的每个对象叫做这个集合的元素.
这样，学生在大量的例子中形成了集合的概念，教师通过这短短的三次起立、坐下，让学生经历数学化的过程，突破了本节课的难点——对集合元素的确定性的理解，突出了概念的本质属性. 有利于学生加深对集合概念的理解，完善自身的认知结构.
概念形成过程实质上是抽象出某一类对象或事物的共同本质特征的过程，是一个数学化的过程. 下面笔者就结会案例1来说明概念形成过程所需经历的数学化阶段.
（1）辨别各种刺激模式，分化出各种刺激模式的属性. 这些刺激模式可以是学生自己在日常生活中的经验或事实，也可以是由教师提供有代表性的典型事例. 但不管是哪种刺激模式，都必须通过比较，在知觉水平上进行分析、辨认，根据事物的外部特征进行概括，对各种刺激模式的各个属性予以分化. 如，案例1中就给出了全班、男生、女生、高个子、漂亮女生以及后面的数集、点集等各种刺激模式让学生辨别分化.
（2）概括出各个刺激模式的共同属性，并提出它们的共同关键属性的种种假设.案例1中共同属性有：都是某些指定的对象放在一起. 共同关键属性可假设为个体要具有确定性.
（3）概括形成概念. 验证了假设以后，把关键属性抽象出来，并区分出有从属关系的关键性，使新概念与认知结构中已有的有关观念分化，用语言概括成为概念的定义. 在案例1中，集合可以概括为“某些指定的对象集在一起称为集合.”
（4）把新概念的共同关键属性推广到同类事物中去. 在这个过程中，我们可以用一些概念的等值语言来让学生进行判断和推理. 案例1中，“有共同特征的事物放在一起形成集合”“某些指定的对象集在一起称为集合”，就是集合的等值语言. 事实上，这个过程是使新概念与已有认知结构中比较稳定的相关观念建立起实质性联系的过程，因此这是概念形成一个非常重要的步骤.
（5）用习惯的形式符号表示新概念. 通过概念形成的上述步骤，学生对概念的内涵和外延都有了比较准确的理解. 这时，就应该及时地引进数学符号. 如果概念的符号能够与概念的实质内容建立起内在联系，那么，符号的掌握就可以提高学生的抽象能力、概括能力. 如案例1中集合可用大写的拉丁字母来表示，把集中在一起的事物用大括号括起来. 如A={高一（×）班同学}.
案例2 “排列”的数学化教学过程
（1）引导学生分析讨论生活经验中的实例，力求一般化，发现有价值的一般性模式与学生讨论日常生活中的一些具体问题：
问题1：经过同学们推选，我们高二理化班产生3名正副班长的候选人：刘常慧、周琴、董晨. 现在要确定其中2人任正、副班长，共有多少种不同的结果？
问题2：星期三上午要安排语文、数学、外语、物理四门课，共有多少种不同的排法？
问题3：期中考试科目有语文、数学、外语、物理、化学，一共有多少种不同的考试安排？
问题4：2015年学校春季田径运动会在即，最激动人心的项目就是4×100接力赛，我们高二理化班报名参加接力赛的运动员有董晨、张晓龙、李辉宇、严汝祥、黄晓林、卢玉太，共有多少种不同的战术安排？
更多的问题：7个同学排成一排，有多少种排法？从0，1，2，…，9中选6个不同的数字组成一个6位密码，共有多少种可能？
这些源于学生经验的实例是学习的起点，是最低层次上再创造的经验素材.弗赖登塔尔强调：“传统数学教学跳过这个层次，恰好是犯了一个错误.”只有让学生充分地分析讨论这些具体问题，学生的数学化思维活动才可能达到新的层次. 在学生逐一分析、充分感知这些问题的基础上，引导学生进行逻辑化组织，抽象出更有价值的一般性问题：一般地，从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素，按照一定的顺序排成一列，有多少种排法？并且形成排列的定义：一般地，从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列，引导学生对排列定义进行思考，学生认识到两个排列相同，当且仅当两个排列的元素完全相同，且元素的排列顺序也相同. 元素不同，它们是不同的排列：即使元素相同，但排列顺序不同，它们也是不同的排列. 如果m 学生对排列问题、排列的概念的认识，正是学生在最低层次上对生活经验逻辑化组织的结果，同时这些认识成果将成为下一水平层次的数学化思维对象. 教学中应及时促进学生的数学化思维活动向更高的水平层次发展.
（2）引导学生对一般性问题进行探究，推导出排列数公式，并进行初步运用
出于解决一般性问题的需要，A等于多少这指明了研究的方向，也是新的数学化思维活动的起点. 如何来研究呢？这还需要引导学生回到最低层次，反思最低层次中的组织方法，对选正、副班长的例子中A=12（学生在前面已用分步计数原理得到了结果）所用的方法进行分析，建构出模型：[4] [3]. 进而研究A=，A=，…，A=，A=，A=，…，进而归纳出A=n（n-1）（n-2）…（n-m 1），这里n，m∈N ，并且m≤n.这个公式叫做排列数公式.
排列数公式的得出正是学生对上一层次的成果作为数学化思维对象的成果，前面已研究的特例中的共性（合理性成分、启发性成分）被学生在数学化思维中独立分离出来，成为新的数学化思维成果.
接着让学生自己出一些排列数如A，A，A，并计算其结果，进一步熟练排列数公式的计算.通过如下问题：
（1）某年全国足球中超联赛共有14队参加，每队都要与其余各队在主、客场分别比赛1次，共进行多少场比赛？
（2）①有5本不同的书，从中选3本送给3名同学，每人各1本，共有多少种不同的送法？②有5种不同的书，要买3本送给3名同学，每人各1本，共有多少种不同的送法？这些操作帮助学生从抽象回到具体，进一步加深对排列问题的理解.
学生在这一层次对排列数公式的操作，为数学化思维活动进入下一层次提供了反思的索材.
（3）进一步探究排列数公式，加深对排列数公式的理解
在练习中不断加深了学生对排列公式的理解，同时也促进了学生对排列数公式的反思：排列数公式本身有什么性质呢？通过问题“如果A=17×16×…×5×4，那么n等于什么？m等于什么？启发学生对排列数公式A=n（n-1）（n-2）…（n-m 1）进行观察，加深了学生对排列数公式结构的认识，这是脱离了排列问题的具体意义的思维，完全以排列数公式本身为思维的对象的数学化思维活动.
引导学生观察：
A=2×1；
A=3×2×1；
A=4×3×2×1；
A=5×4×3×2×1；
……
A=n·（n-1）·（n-2）·…·3·2·1.
使学生意识到引进阶乘符号的必要性，从而定义阶乘运算：
A=n·（n-1）·（n-2）·…·3·2·1=n！.
进而引导学生获得排列数公式的简洁形式：A=.通过质疑：当m=n时，如何理解A=？进而理解了规定0！=1的必要性与合理性.
这一层次上数学化思维活动对象——排列数公式就是上一层次的数学化思维结果，在对排列数公式探究的过程中，学生的新知得以发展，数学化思维活动进一步深入.
（4）引导学生全方位地对自己的学习活动进行回顾反思，深化新知，领会数学思想方法
在学生前三层数学化思维活动的基础上，引导学生全方位地对自己的学习活动进行回顾反思，是学生在元认知水平上的思维，是学生以自身思维活动过程和结果作为思维对象的思维活动，这有助于学生对自身思维活动结果和过程的认知与体验，有利于学生体会所学数学知识中蕴藏的思想方法和数学研究方法，加深对数学知识的理解. 引导学生对学习结果回顾，再现了排列问题、元素、排列、排列数公式等陈述性知识；通过对活动过程的回顾反思，学生体验到从生活中的具体实例抽象出排列问题并建构出排列概念的过程，体验到通过对特例解决过程的分析，抽取共性（合理性成分），推导出排列数公式的过程，体验到对排列数公式进一步探究，引进阶乘运算，简化排列数公式的过程. 通过回顾与反思，学生更加深刻体会到抽象是量化模式建构的主要手段，是我们数学地看世界的重要方式，认识到从特例解决过程中抽取共性（合理性）来指导一般问题的解决是数学中重要的研究方法.最后通过思考题：5男5女共10个同学排成一行，（1）女生都排在一起，有几种排法？（2）女生与男生相间，有几种排法？（3）任何两个男生都不相邻，有几种排法？（4）5名男生不排在一起，有几种排法？（5）男生甲和男生乙中间必须排而且只能排2位女生，女生不能排在队伍的两端，有几种排法？引导学生回到具体问题，强化用所学排列知识解决实际问题的意识，这种应用是学生在新的水平上的应用，也打开了学生新的思维空间.
让学生学会数学化地思考，促进学生数学化思维的发展，是数学教学的重要目的. 数学教学中分析数学知识的层次性，合理地分层设计学生的数学化思维活动过程，让学生的数学化思维在逐层深入中发展.
数学化是数学认识从感性上升为理性的必由之路. 数学化思想的培养不是一朝一夕的事情，这项任务应该贯串于整个数学教育的进程中. 重要的是数学教育工作者要在教学过程中有意识地体现数学化的思想，培养学生数学化的意识，并采取有效的措施渗透和强化这一思想.
关键词：数学化；意义；方法；案例
[?] 数学化的含义
荷兰著名数学教育家弗赖登塔尔在他的巨著《作为教育任务的数学》一书中首次提出：人们在观察、认识和改造客观世界的过程中，运用数学的思想和方法来分析和研究客观世界的种种现象并加以整理和组织的过程，就叫数学，即“抽象——符号——应用”的过程.
数学化有横向数学化和纵向数学化之分. 在弗赖登塔尔看来，横向数学化“是把生活世界引向符号世界”，是从“生活现实”到“符号形式”的转化，是由现实问题到数学问题的转化. 从背景中识别数学→图示化→形式化→寻找关系与规律→识别本质→对应到已知的数学模型（现实的、经验的）.
“在符号世界里，符号的生成、重塑和被使用”，则是纵向数学化. 纵向数学化是在数学范畴内对已经符号化的问题做进一步抽象化处理的数学化问题，是从“符号”到“概念”的转化. 它是将某个关系形成一个公式，或是证明一个定律，或是对同一问题采用不同的模型或对模型进行加强、调整与完善，以致形成一个新的数学概念，或是由特殊情况经过推广从而建立起一般化的理论等，即问题纵向深入，这都属于数学化的纵向的成分.纵向数学化过程是：猜想公式→证明一些规则→完善模型→调整综合模型→形成新的数学概念→一般化过程（现实的、构造的）.
区分横向数学化与纵向数学化时，往往有一种错觉：以为从具体到一般的过程是横向数学化，而从一般到具体的过程是纵向数学化. 其实，区分横向与纵向的标准是数学与现实生活是否有直接的联系. 如果上述所言的“具体”是指现实生活，也就是从现实的经历中抽象出数学符号，或者寻找、解释抽象符号在现实中的意义，那么就是横向数学化的过程. 如果上述所言的“具体”不是指现实生活中的具体的研究对象，而是思维中相对“具体”的数学模型，那么无论是“从具体到一般”还是“从一般到具体”，其间所进行的数学思考以及数学方法的应用，也就是“在符号世界里，符号的生成、重塑和被使用”，都是纵向数学化的过程.
在大多数情况下，横向数学化和纵向数学化的界线并不分明. 有些问题在数学化得到新的数学概念之后，还要做进一步的工作，这也属于数学化的一部分；对得到的结果做出解释和说明；对得到的模型或方法的适用范围进行讨论；反思和分析已经完成的数学化过程；实际应用.
[?] 数学化的教学意义
布鲁纳关于儿童智力发展的研究表明，儿童的认知发展需要经历三个发展阶段：动作认知、图形认知和符号认知.这三个发展阶段对应着儿童思维发展的三种水平：操作水平、表象水平和分析水平. 顾泠沅先生提出了实现数学化的三个阶段，即实物操作、表象操作和符号操作. 表象操作是一个中介，借助这个表象操作，实现了从动手操作到符号表示的过渡，越过了形式化的难关. 数学课程标准强调：“让学生亲身经历将实际问题抽象出数学模型并进行解释与应用的过程”. 这个过程既需要横向数学化，也需要纵向数学化. 正如弗赖登塔尔认为，与其说是学习数学，不如说是学习“数学化”；与其说是学习公理系统，不如说是学习“公理化”；与其说是学习形式体系，不如说是学习“形式化”. 他特别指出，数学本身同样属于现实世界，因而在数学发展过程中，我们必须要面对数学自身的数学化.
[?] 数学化的教学方法
从弗赖登塔尔关于数学化的框图来看，他认为现实世界自始至终贯穿在数学化之中，先由现实世界形成数学概念，再对这个概念的形成过程进行反思，做更为抽象与形式的加工，再用它来解决现实世界的问题，通过现实世界的调节作用，使数学化得到进一步的发展与演化. 所以，从数学的产生、发展以及应用都体现数学化.对应学生的数学学习的过程来看，从现实世界出发，依据学生现有的知识经验提出情境性问题，学生在教师的指导下或独立地获得数学知识（数学概念、运算法则等等），进一步通过对数学知识的证明、重构，形成一定的数学知识体系，最后再应用所得的数学知识解决实际问题. 可以用一个框图来表示“数学化”的全过程：
从上面的框图可以看出，关注“数学化”是一个全面的连续的过程，而不是某一方面或某一阶段的行为.通常从以下三个方面构建知识：
（1）操作活动数学化：积累丰富的感性经验并由此反省抽象.
（2）数学材料逻辑化：在反省抽象理解事物本质的基础上用最简练的语言文字（即数学的概念、公式、定义、算式等）表达出来.
（3）数学知识实践化：把知识运用到生产与生活实践中，使学生能洞察到知识的“内部境界”，而有一种“豁然开朗”的感觉. 只有让学生经历“呈现生活情景——把问题符号化， 概括出一个数学问题——建构数学模型——问题解决”，才能培养他们“数学地思维”“数学地观察生活”的意识和能力. 较为关键的5个步骤是：（1）辨别一类事物的不同例子；（2）找出各例子的共同属性；（3）从共同属性中抽象出本质属性；（4）把本质属性与原认知结构中适当的知识联系起来，使新概念与已知的有关概念区别开来；（5）把新概念的本质属性推广到一切同类事物中去，以明确它的外延. 这个过程很重要，体现了数学学习的一个核心价值——数学化.弗赖登塔尔认为如果用双重的二分法分别从横向数学化和纵向数学化分类，数学教育可以分成四种类型，分别对应着不同的哲学观：缺少横向数学化，也缺乏纵向数学化，是机械主义的教学；横向数学化得到成长，但纵向数学化不足，是经验主义的教学；横向数学化不足，但纵向数学化被培养起来，是结构主义的教学；横向数学化与纵向数学化都得到成长，是现实主义的教学.
在我们的数学教学中，横向数学化与纵向的数学化必须结伴同行，相辅相成，一道成长.为使横向数学化与纵向数学化都得到成长，就是现实主义的教学. 这种教学从现实世界出发，依据学生现有的知识经验提出情境性问题，允许学生自己寻找解决这些问题的方法和策略，问题的解决过程就伴随着“自由创造”以及对情境信息的“一般化”，然后在教师的指导下，学生实现非形式化的、经验的知识向着形式化的、一般化的数学知识的自然跨越，从而实现概念、规律、法则的学习，学生实现了数学知识的数学化. [?] 数学化的教学案例
案例1 “集合”的数学化教学过程
教师：上课！
学生：（起立）老师好！
教师：大家请坐.（等学生坐好后又说）上课！
学生：（面带疑惑地站起来）老师好！
教师：男生坐下，（稍做停顿）女生坐下.
教师：（等学生坐好后又说）上课！
学生：（议论纷纷地站起来看着老师.）
教师：高个子坐下.
学生：（坐下了几个，还有几个坐下了，想想又站起来，不知该坐还是该站. 看到他们的样子，其余学生纷纷笑了起来.）
教师：（问那几个不知该坐该站的学生）为什么坐下后又站起来？
学生1：老师没给出多高算高个子.
学生2：我不确定自己算不算高个子.
教师：为什么前面你就坐下了呢？
学生1：因为我是高一（x）班的学生，我也是男生.
教师：很好，我们班全体同学就构成一个集合，所有男生、所有女生也分别构成了一个集合. 同学们想一想，在初中数学中，我们接触过哪些点或数的集合？
学生3：数的分类中，“正数的集合”，“负数的集合”.
学生4：圆是到定点的距离等于定长的点的集合.
学生5：角平分线是到角的两边的距离相等的所有点的集合.
教师：可见“集合”一词在初中数学已被广泛使用，谁能再举个例子？
学生6：（学生很活跃）图书馆里所有的书. （学生纷纷赞许）
学生7：（调皮地喊）我们班的漂亮女生.
学生：（哈哈大笑，都在喊）不是集合.
教师：（也笑）为什么不是？
学生8：因为“漂亮女生”没有判定标准，它的对象不确定.（学生纷纷点头）
教师：那谁能给集合一个准确的定义呢？
学生9：具有共同的特征的数、式、点、形、物等放在一起构成集合.
教师：还能精炼一些吗？
学生10：有共同特征的事物集在一起形成集合.
教师：很好，某些指定对象的全体构成集合，集合中的每个对象叫做这个集合的元素.
这样，学生在大量的例子中形成了集合的概念，教师通过这短短的三次起立、坐下，让学生经历数学化的过程，突破了本节课的难点——对集合元素的确定性的理解，突出了概念的本质属性. 有利于学生加深对集合概念的理解，完善自身的认知结构.
概念形成过程实质上是抽象出某一类对象或事物的共同本质特征的过程，是一个数学化的过程. 下面笔者就结会案例1来说明概念形成过程所需经历的数学化阶段.
（1）辨别各种刺激模式，分化出各种刺激模式的属性. 这些刺激模式可以是学生自己在日常生活中的经验或事实，也可以是由教师提供有代表性的典型事例. 但不管是哪种刺激模式，都必须通过比较，在知觉水平上进行分析、辨认，根据事物的外部特征进行概括，对各种刺激模式的各个属性予以分化. 如，案例1中就给出了全班、男生、女生、高个子、漂亮女生以及后面的数集、点集等各种刺激模式让学生辨别分化.
（2）概括出各个刺激模式的共同属性，并提出它们的共同关键属性的种种假设.案例1中共同属性有：都是某些指定的对象放在一起. 共同关键属性可假设为个体要具有确定性.
（3）概括形成概念. 验证了假设以后，把关键属性抽象出来，并区分出有从属关系的关键性，使新概念与认知结构中已有的有关观念分化，用语言概括成为概念的定义. 在案例1中，集合可以概括为“某些指定的对象集在一起称为集合.”
（4）把新概念的共同关键属性推广到同类事物中去. 在这个过程中，我们可以用一些概念的等值语言来让学生进行判断和推理. 案例1中，“有共同特征的事物放在一起形成集合”“某些指定的对象集在一起称为集合”，就是集合的等值语言. 事实上，这个过程是使新概念与已有认知结构中比较稳定的相关观念建立起实质性联系的过程，因此这是概念形成一个非常重要的步骤.
（5）用习惯的形式符号表示新概念. 通过概念形成的上述步骤，学生对概念的内涵和外延都有了比较准确的理解. 这时，就应该及时地引进数学符号. 如果概念的符号能够与概念的实质内容建立起内在联系，那么，符号的掌握就可以提高学生的抽象能力、概括能力. 如案例1中集合可用大写的拉丁字母来表示，把集中在一起的事物用大括号括起来. 如A={高一（×）班同学}.
案例2 “排列”的数学化教学过程
（1）引导学生分析讨论生活经验中的实例，力求一般化，发现有价值的一般性模式与学生讨论日常生活中的一些具体问题：
问题1：经过同学们推选，我们高二理化班产生3名正副班长的候选人：刘常慧、周琴、董晨. 现在要确定其中2人任正、副班长，共有多少种不同的结果？
问题2：星期三上午要安排语文、数学、外语、物理四门课，共有多少种不同的排法？
问题3：期中考试科目有语文、数学、外语、物理、化学，一共有多少种不同的考试安排？
问题4：2015年学校春季田径运动会在即，最激动人心的项目就是4×100接力赛，我们高二理化班报名参加接力赛的运动员有董晨、张晓龙、李辉宇、严汝祥、黄晓林、卢玉太，共有多少种不同的战术安排？
更多的问题：7个同学排成一排，有多少种排法？从0，1，2，…，9中选6个不同的数字组成一个6位密码，共有多少种可能？
这些源于学生经验的实例是学习的起点，是最低层次上再创造的经验素材.弗赖登塔尔强调：“传统数学教学跳过这个层次，恰好是犯了一个错误.”只有让学生充分地分析讨论这些具体问题，学生的数学化思维活动才可能达到新的层次. 在学生逐一分析、充分感知这些问题的基础上，引导学生进行逻辑化组织，抽象出更有价值的一般性问题：一般地，从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素，按照一定的顺序排成一列，有多少种排法？并且形成排列的定义：一般地，从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列，引导学生对排列定义进行思考，学生认识到两个排列相同，当且仅当两个排列的元素完全相同，且元素的排列顺序也相同. 元素不同，它们是不同的排列：即使元素相同，但排列顺序不同，它们也是不同的排列. 如果m
（2）引导学生对一般性问题进行探究，推导出排列数公式，并进行初步运用
出于解决一般性问题的需要，A等于多少这指明了研究的方向，也是新的数学化思维活动的起点. 如何来研究呢？这还需要引导学生回到最低层次，反思最低层次中的组织方法，对选正、副班长的例子中A=12（学生在前面已用分步计数原理得到了结果）所用的方法进行分析，建构出模型：[4] [3]. 进而研究A=，A=，…，A=，A=，A=，…，进而归纳出A=n（n-1）（n-2）…（n-m 1），这里n，m∈N ，并且m≤n.这个公式叫做排列数公式.
排列数公式的得出正是学生对上一层次的成果作为数学化思维对象的成果，前面已研究的特例中的共性（合理性成分、启发性成分）被学生在数学化思维中独立分离出来，成为新的数学化思维成果.
接着让学生自己出一些排列数如A，A，A，并计算其结果，进一步熟练排列数公式的计算.通过如下问题：
（1）某年全国足球中超联赛共有14队参加，每队都要与其余各队在主、客场分别比赛1次，共进行多少场比赛？
（2）①有5本不同的书，从中选3本送给3名同学，每人各1本，共有多少种不同的送法？②有5种不同的书，要买3本送给3名同学，每人各1本，共有多少种不同的送法？这些操作帮助学生从抽象回到具体，进一步加深对排列问题的理解.
学生在这一层次对排列数公式的操作，为数学化思维活动进入下一层次提供了反思的索材.
（3）进一步探究排列数公式，加深对排列数公式的理解
在练习中不断加深了学生对排列公式的理解，同时也促进了学生对排列数公式的反思：排列数公式本身有什么性质呢？通过问题“如果A=17×16×…×5×4，那么n等于什么？m等于什么？启发学生对排列数公式A=n（n-1）（n-2）…（n-m 1）进行观察，加深了学生对排列数公式结构的认识，这是脱离了排列问题的具体意义的思维，完全以排列数公式本身为思维的对象的数学化思维活动.
引导学生观察：
A=2×1；
A=3×2×1；
A=4×3×2×1；
A=5×4×3×2×1；
……
A=n·（n-1）·（n-2）·…·3·2·1.
使学生意识到引进阶乘符号的必要性，从而定义阶乘运算：
A=n·（n-1）·（n-2）·…·3·2·1=n！.
进而引导学生获得排列数公式的简洁形式：A=.通过质疑：当m=n时，如何理解A=？进而理解了规定0！=1的必要性与合理性.
这一层次上数学化思维活动对象——排列数公式就是上一层次的数学化思维结果，在对排列数公式探究的过程中，学生的新知得以发展，数学化思维活动进一步深入.
（4）引导学生全方位地对自己的学习活动进行回顾反思，深化新知，领会数学思想方法
在学生前三层数学化思维活动的基础上，引导学生全方位地对自己的学习活动进行回顾反思，是学生在元认知水平上的思维，是学生以自身思维活动过程和结果作为思维对象的思维活动，这有助于学生对自身思维活动结果和过程的认知与体验，有利于学生体会所学数学知识中蕴藏的思想方法和数学研究方法，加深对数学知识的理解. 引导学生对学习结果回顾，再现了排列问题、元素、排列、排列数公式等陈述性知识；通过对活动过程的回顾反思，学生体验到从生活中的具体实例抽象出排列问题并建构出排列概念的过程，体验到通过对特例解决过程的分析，抽取共性（合理性成分），推导出排列数公式的过程，体验到对排列数公式进一步探究，引进阶乘运算，简化排列数公式的过程. 通过回顾与反思，学生更加深刻体会到抽象是量化模式建构的主要手段，是我们数学地看世界的重要方式，认识到从特例解决过程中抽取共性（合理性）来指导一般问题的解决是数学中重要的研究方法.最后通过思考题：5男5女共10个同学排成一行，（1）女生都排在一起，有几种排法？（2）女生与男生相间，有几种排法？（3）任何两个男生都不相邻，有几种排法？（4）5名男生不排在一起，有几种排法？（5）男生甲和男生乙中间必须排而且只能排2位女生，女生不能排在队伍的两端，有几种排法？引导学生回到具体问题，强化用所学排列知识解决实际问题的意识，这种应用是学生在新的水平上的应用，也打开了学生新的思维空间.
让学生学会数学化地思考，促进学生数学化思维的发展，是数学教学的重要目的. 数学教学中分析数学知识的层次性，合理地分层设计学生的数学化思维活动过程，让学生的数学化思维在逐层深入中发展.
数学化是数学认识从感性上升为理性的必由之路. 数学化思想的培养不是一朝一夕的事情，这项任务应该贯串于整个数学教育的进程中. 重要的是数学教育工作者要在教学过程中有意识地体现数学化的思想，培养学生数学化的意识，并采取有效的措施渗透和强化这一思想.