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摘 要: 滑块与长木板模型的题目,物理变量繁多,各物理量之间相互制约,对学生对各种知识的综合分析应用能力提出较高要求。作者从滑块与长木板模型的基本问题开始,逐步引申到斜面、电磁场等环境中,以题目为例,对这一类型问题的解题思路与方法进行分析与归纳。
关键词: 滑块 长木板 相对运动
滑块与长木板模型为运动力学的基本模型,考查学生对各种相对运动过程中摩擦力相互作用的分析与应用,是高中物理中常遇问题,也是高考复习过程中需要重视的题目类型。该类型题目常引入斜面、电场、磁场等方面因素,各物理量间相互制约,对学生的综合分析应用能力提出更高要求。笔者尝试从滑块与长木板模型的基本情境开始,逐步引申到斜面、电磁场等环境中,对此类型问题进行分析与归纳。
一、只存在重力场的滑块与长木板的相对运动问题
例1:如图1所示,在光滑的水平地面上静止放置一块长度为2米,质量为1kg的木板,在木板左端放置一块质量为1kg的滑块,木板与滑块之间存在动摩擦因数μ=0.2。要使滑块从木板左端向右滑行而不致滑落,求滑块初速度最大值。
图1
解析:由于水平面光滑,滑块与长木板作为整体,其在水平方向上不受外力作用。在光滑水平面上,滑块滑到长木板上后,滑块做匀减速运动,长木板做匀加速运动。当二者速度相等时,二者将以共同的速度在光滑水平面上匀速直线运动,则滑块不会滑落。若滑块初速度较大,滑块滑到长木板右端时,滑块速度比长木板大,则滑落。所以当滑块恰好滑到右端且速度与木板相等时,滑块的初速度为使其不致滑落的最大值。
滑块恰好滑到右端时,滑块相对长木板的位移为L,相对初速度为v=v-v=v,
相对加速度a=a-a=--=-=-=-2μg
∵L===
∴V==4m/s。
点评:只存在重力场的环境是基本类型。处于重力场水平面上,无外力作用,滑块与长木块水平方向上只受摩擦力的作用,其运动状态也主要受摩擦力的影响。竖直方向上,只有重力与各个接触面之间的压力,不会发生变化。所以相对滑动时,摩擦力不会发生大小变化,直到速度相同。因此只需要对相对运动与摩擦力的作出正确的方向判断,即可得出滑块与长木块的运动状态。
例2:如图2所示,质量为1kg的长木板停在底端设有挡板的固定的光滑斜面上,斜面倾角为37°。质量为5kg的滑块以沿斜面方向7.2m/s的初速度,从长木板底端向上运动。已知滑块与长木板之间动摩擦因素为0.3,在整个过程中,滑块始终在长木板上,求滑块沿斜面向上运动的最远距离。(重力加速度为g=10m/s)
图2
解析:初始滑块相对木板做沿斜面向上的相对运动,受来自木板的摩擦力沿斜面向下,滑块做匀减速运动。长木板受到摩擦力沿斜面向上,计算得摩擦力大于长木板所受重力沿斜面的分力,所以长木板沿斜面向上做匀加速直接运动。当二者速度相同后,物块与木板将以相同的速度与加速度一起向上做匀减速直线运动,直到二者速度减少到零时,物块运动最远。
设滑块的质量m,刚开始时匀减速运动的加速度大小为
a==gsinθ μgcosθ=8.4m/s
设长木板的质量为m,刚开始时做匀加速运动的加速度大小为
a==6m/s
设经过t时间,二者的速度相等时
v=v-at=at?圯t=0.5s?摇?摇v=3m/s
当二者的速度相等后,滑块与长木板的加速度相等a=g·sinθ=6m/s。
所以滑块沿斜面向上运动的最远距离为s=t =3.3m。
点评:当系统处于斜面,影响运动状态的,除摩擦力外还必须考虑重力沿斜面分力的作用。重力分力是不变的,其对滑块与长木板产生的加速度也是相等的。所以当斜面光滑时,滑块与长木板速度相等即相对静止后,摩擦力消失,在斜面方向上,二者只受重力分力作用,以相同的速度与加速度进行运动。
例3:一长木板在水平地面上运动,在t=0时刻将一相对于地面静止的滑块轻放到长木板上,以后长木板运动的速度-时间图像如图3所示。已知滑块与长木板质量相同,滑块与长木板间、长木板与地面间均有摩擦,滑块与长木板间的最大静摩擦力等于滑动摩擦力,且木板足够长。(取重力加速度g=10m/s)
求:(1)滑块与长木板间μ和长木板与地面间的动摩擦因数μ;
(2)从t=0时刻开始到滑块与长木板都静止时,滑块相对于长木板的位移的大小。
图3
解析:(1)从t=0时开始,以长木板为参照物,滑块相对长木板向左方向运动,所以滑块受到的滑动摩擦力方向向右,使滑块加速;长木板受到滑块和地面的摩擦力,使木板减速,此过程一直持续到物块和木板具有共同速度为止,所以在图像折点处,即0.5s时,物块和木板速度相等。设从0—0.5s时间内,滑块加速度为a,长木板加速度为a,则
对于滑块:a===2m/s
由牛顿第二定律得:μmg=ma?圯μ===0.2
对于长木板:a=||=||=8m/s
由牛顿第二定律得:μmg μ(mg mg)=ma?圯μ=0.3
(2)当二者速度相等后,假设滑块与长木板一起做匀减速运动,对于滑块和长木板这个系统进行受力分析得出系统共同加速度:μ·2mg=2ma?圯a=μg=3m/s
滑块受到静摩擦力为:f=ma=3m(N)
又因为滑块受到的最大静摩擦力为:f=μmg=2m(N)
∵滑块受到的f>f
∴假设不成立
二者仍发生相对滑动,且以不同加速度做匀减速运动,设滑块和长木板的加速度分别为a′和a′,可得
μmg=ma′?圯a′=a=2m/s μ·2mg-μmg=ma′?圯a′=4m/s
则滑块的v-t图像如图3-1中虚线所示。可推知,从t=0到停止,滑块和长木板的运动距离分别为
图3-1
s=×t×2=×0.5×2=0.5(m)
s=×t×=×0.5×=1.625(m)
∴s=|s-s|=1.125(m)
点评:若水平地面粗糙,滑块与长木板速度相等后,整个系统在水平方向上仍受外力即地面摩擦力作用。此时需用假设法判断是否以相同加速度进行匀减速运动,或是以不同的加速度做匀减速运动。
二、匀强电场作用下滑块与长木板的相对运动问题
例4:如图所示,在电场强度为E=1×10N/C的水平向右的匀强电场中,粗糙水平面上静止放置着一质量为M=0.2kg的长木板。另一带正电荷滑块以初速度v=8m/s滑上长木板,滑块质量为m=0.1kg,带电量为q=2×10C。已知长木板与水平面间动摩擦因数μ=0.1,滑块与长木板间动摩擦因数μ=0.5,重力加速度为g=10m/s。求:
图4
(1)开始时滑块和长木板的加速度大小分别为多少?
(2)滑块最后停止时,距长木板左端的距离为多少?
解析:(1)滑块与长木板之间的滑动摩擦力f=μ·mg=0.5N,长木板与水平面之间滑动摩擦力f=μ(m M)g=0.3N,电场力qE=0.2N。
滑块刚滑上长木板时,相对长木板向右运动,滑块受到长木板的动摩擦力向左,长木板受滑块摩擦力向右。
设此时长木板与滑块的加速度分别为a和a,可得:f–qE=ma,f–f=ma,得a=3m/s,a=1m/s。
(2)设二者经过t时间速度相等,此时速度为v,则v-at=at=v,得t=2s,v=2m/s。
这段时间内滑块位移:s=·t=×2=10(m)
长木板位移:s=·t=×2=2(m)
当长木板与滑块速度相等,假设二者以相同速度与加速度一起向右做匀减速运动,对滑块和长木板系统的水平受力分析,可得共同的加速度为
F-qE=(m M)a?圯a=(m/s)
此时滑块受到的静摩擦力为f′:f′-qE=ma?圯f′=(N)
∵f′ ∴假设成立
在此之后,滑块与长木板一起向右减速运动。滑块最后停止时,距长木板左端的距离为Δs=s–s=8m。
点评:在匀强电场作用下,带电物体除受到重力压力摩擦力的作用外,还受大小方向不变的电场力作用。若电场方向是水平的,电场力对摩擦力没有直接影响,则只需将其作为一个恒力考虑,其他方面与没有电场力作用的情况相同。若电场方向不是水平,则需要考虑电场力在竖直方向的分力对摩擦力的影响。
三、匀强磁场作用下滑块与长木板的相对运动问题
例5:如图5所示,在垂直于纸面向里的匀强磁场中,将一带负电荷的滑块A放置在不带电的绝缘小车B上,初始时二者均处于静止状态。在t=0时刻小车B受到一较小的水平向左恒力F推动。已知地面光滑,小车B足够长,A、B接触面粗糙,在运动过程中A所带电荷量保持不变。图5-乙中关于A、B的v-t图像大致正确的是(?摇?摇?摇?摇)
图5
解析:滑块A在水平方向上只受摩擦力作用,滑块A与小车B间压力等于重力与竖直向上的洛伦兹力的合力,摩擦力受其影响而变化;小车B在水平方向上受滑块A的摩擦力与恒力F的共同作用。
初始二者速度小,洛伦兹力小,二者一起做匀加速直线运动,共同加速度a=,滑块受静摩擦力f=m·a=。
随运动进行,A受到方向向上的洛伦兹力逐渐增大,A对B的压力逐渐减小,使得A、B间的最大静摩擦力减小,当f 点评:在匀强磁场作用下,带电物体在运动过程中受垂直于运动方向的洛伦兹力影响。当磁场方向垂直于纸面,洛伦兹力方向是竖直的,与重力共同影响物体之间的压力,从而影响摩擦力。需注意速度的变化引起洛伦兹力变化,从而影响摩擦力,应进行动态分析。
小结:滑块与长木板相对运动的问题,在认真审题和进行初步的受力分析后,需要理清以下三个问题:1.竖直于运动方向的力的作用,尤其是压力变化对摩擦力影响;2.平行于运动方向的合力对运动状态的作用,尤其注意外力在水平方向分力,以及摩擦力的变化;3.运动状态发生变化的临界点时,物体受力情况与加速度的变化,如滑块与木板速度相同时的力的变化。理清这三个问题,即可将整个运动过程清晰地呈现出来,从而找出解题思路。
关键词: 滑块 长木板 相对运动
滑块与长木板模型为运动力学的基本模型,考查学生对各种相对运动过程中摩擦力相互作用的分析与应用,是高中物理中常遇问题,也是高考复习过程中需要重视的题目类型。该类型题目常引入斜面、电场、磁场等方面因素,各物理量间相互制约,对学生的综合分析应用能力提出更高要求。笔者尝试从滑块与长木板模型的基本情境开始,逐步引申到斜面、电磁场等环境中,对此类型问题进行分析与归纳。
一、只存在重力场的滑块与长木板的相对运动问题
例1:如图1所示,在光滑的水平地面上静止放置一块长度为2米,质量为1kg的木板,在木板左端放置一块质量为1kg的滑块,木板与滑块之间存在动摩擦因数μ=0.2。要使滑块从木板左端向右滑行而不致滑落,求滑块初速度最大值。
图1
解析:由于水平面光滑,滑块与长木板作为整体,其在水平方向上不受外力作用。在光滑水平面上,滑块滑到长木板上后,滑块做匀减速运动,长木板做匀加速运动。当二者速度相等时,二者将以共同的速度在光滑水平面上匀速直线运动,则滑块不会滑落。若滑块初速度较大,滑块滑到长木板右端时,滑块速度比长木板大,则滑落。所以当滑块恰好滑到右端且速度与木板相等时,滑块的初速度为使其不致滑落的最大值。
滑块恰好滑到右端时,滑块相对长木板的位移为L,相对初速度为v=v-v=v,
相对加速度a=a-a=--=-=-=-2μg
∵L===
∴V==4m/s。
点评:只存在重力场的环境是基本类型。处于重力场水平面上,无外力作用,滑块与长木块水平方向上只受摩擦力的作用,其运动状态也主要受摩擦力的影响。竖直方向上,只有重力与各个接触面之间的压力,不会发生变化。所以相对滑动时,摩擦力不会发生大小变化,直到速度相同。因此只需要对相对运动与摩擦力的作出正确的方向判断,即可得出滑块与长木块的运动状态。
例2:如图2所示,质量为1kg的长木板停在底端设有挡板的固定的光滑斜面上,斜面倾角为37°。质量为5kg的滑块以沿斜面方向7.2m/s的初速度,从长木板底端向上运动。已知滑块与长木板之间动摩擦因素为0.3,在整个过程中,滑块始终在长木板上,求滑块沿斜面向上运动的最远距离。(重力加速度为g=10m/s)
图2
解析:初始滑块相对木板做沿斜面向上的相对运动,受来自木板的摩擦力沿斜面向下,滑块做匀减速运动。长木板受到摩擦力沿斜面向上,计算得摩擦力大于长木板所受重力沿斜面的分力,所以长木板沿斜面向上做匀加速直接运动。当二者速度相同后,物块与木板将以相同的速度与加速度一起向上做匀减速直线运动,直到二者速度减少到零时,物块运动最远。
设滑块的质量m,刚开始时匀减速运动的加速度大小为
a==gsinθ μgcosθ=8.4m/s
设长木板的质量为m,刚开始时做匀加速运动的加速度大小为
a==6m/s
设经过t时间,二者的速度相等时
v=v-at=at?圯t=0.5s?摇?摇v=3m/s
当二者的速度相等后,滑块与长木板的加速度相等a=g·sinθ=6m/s。
所以滑块沿斜面向上运动的最远距离为s=t =3.3m。
点评:当系统处于斜面,影响运动状态的,除摩擦力外还必须考虑重力沿斜面分力的作用。重力分力是不变的,其对滑块与长木板产生的加速度也是相等的。所以当斜面光滑时,滑块与长木板速度相等即相对静止后,摩擦力消失,在斜面方向上,二者只受重力分力作用,以相同的速度与加速度进行运动。
例3:一长木板在水平地面上运动,在t=0时刻将一相对于地面静止的滑块轻放到长木板上,以后长木板运动的速度-时间图像如图3所示。已知滑块与长木板质量相同,滑块与长木板间、长木板与地面间均有摩擦,滑块与长木板间的最大静摩擦力等于滑动摩擦力,且木板足够长。(取重力加速度g=10m/s)
求:(1)滑块与长木板间μ和长木板与地面间的动摩擦因数μ;
(2)从t=0时刻开始到滑块与长木板都静止时,滑块相对于长木板的位移的大小。
图3
解析:(1)从t=0时开始,以长木板为参照物,滑块相对长木板向左方向运动,所以滑块受到的滑动摩擦力方向向右,使滑块加速;长木板受到滑块和地面的摩擦力,使木板减速,此过程一直持续到物块和木板具有共同速度为止,所以在图像折点处,即0.5s时,物块和木板速度相等。设从0—0.5s时间内,滑块加速度为a,长木板加速度为a,则
对于滑块:a===2m/s
由牛顿第二定律得:μmg=ma?圯μ===0.2
对于长木板:a=||=||=8m/s
由牛顿第二定律得:μmg μ(mg mg)=ma?圯μ=0.3
(2)当二者速度相等后,假设滑块与长木板一起做匀减速运动,对于滑块和长木板这个系统进行受力分析得出系统共同加速度:μ·2mg=2ma?圯a=μg=3m/s
滑块受到静摩擦力为:f=ma=3m(N)
又因为滑块受到的最大静摩擦力为:f=μmg=2m(N)
∵滑块受到的f>f
∴假设不成立
二者仍发生相对滑动,且以不同加速度做匀减速运动,设滑块和长木板的加速度分别为a′和a′,可得
μmg=ma′?圯a′=a=2m/s μ·2mg-μmg=ma′?圯a′=4m/s
则滑块的v-t图像如图3-1中虚线所示。可推知,从t=0到停止,滑块和长木板的运动距离分别为
图3-1
s=×t×2=×0.5×2=0.5(m)
s=×t×=×0.5×=1.625(m)
∴s=|s-s|=1.125(m)
点评:若水平地面粗糙,滑块与长木板速度相等后,整个系统在水平方向上仍受外力即地面摩擦力作用。此时需用假设法判断是否以相同加速度进行匀减速运动,或是以不同的加速度做匀减速运动。
二、匀强电场作用下滑块与长木板的相对运动问题
例4:如图所示,在电场强度为E=1×10N/C的水平向右的匀强电场中,粗糙水平面上静止放置着一质量为M=0.2kg的长木板。另一带正电荷滑块以初速度v=8m/s滑上长木板,滑块质量为m=0.1kg,带电量为q=2×10C。已知长木板与水平面间动摩擦因数μ=0.1,滑块与长木板间动摩擦因数μ=0.5,重力加速度为g=10m/s。求:
图4
(1)开始时滑块和长木板的加速度大小分别为多少?
(2)滑块最后停止时,距长木板左端的距离为多少?
解析:(1)滑块与长木板之间的滑动摩擦力f=μ·mg=0.5N,长木板与水平面之间滑动摩擦力f=μ(m M)g=0.3N,电场力qE=0.2N。
滑块刚滑上长木板时,相对长木板向右运动,滑块受到长木板的动摩擦力向左,长木板受滑块摩擦力向右。
设此时长木板与滑块的加速度分别为a和a,可得:f–qE=ma,f–f=ma,得a=3m/s,a=1m/s。
(2)设二者经过t时间速度相等,此时速度为v,则v-at=at=v,得t=2s,v=2m/s。
这段时间内滑块位移:s=·t=×2=10(m)
长木板位移:s=·t=×2=2(m)
当长木板与滑块速度相等,假设二者以相同速度与加速度一起向右做匀减速运动,对滑块和长木板系统的水平受力分析,可得共同的加速度为
F-qE=(m M)a?圯a=(m/s)
此时滑块受到的静摩擦力为f′:f′-qE=ma?圯f′=(N)
∵f′
在此之后,滑块与长木板一起向右减速运动。滑块最后停止时,距长木板左端的距离为Δs=s–s=8m。
点评:在匀强电场作用下,带电物体除受到重力压力摩擦力的作用外,还受大小方向不变的电场力作用。若电场方向是水平的,电场力对摩擦力没有直接影响,则只需将其作为一个恒力考虑,其他方面与没有电场力作用的情况相同。若电场方向不是水平,则需要考虑电场力在竖直方向的分力对摩擦力的影响。
三、匀强磁场作用下滑块与长木板的相对运动问题
例5:如图5所示,在垂直于纸面向里的匀强磁场中,将一带负电荷的滑块A放置在不带电的绝缘小车B上,初始时二者均处于静止状态。在t=0时刻小车B受到一较小的水平向左恒力F推动。已知地面光滑,小车B足够长,A、B接触面粗糙,在运动过程中A所带电荷量保持不变。图5-乙中关于A、B的v-t图像大致正确的是(?摇?摇?摇?摇)
图5
解析:滑块A在水平方向上只受摩擦力作用,滑块A与小车B间压力等于重力与竖直向上的洛伦兹力的合力,摩擦力受其影响而变化;小车B在水平方向上受滑块A的摩擦力与恒力F的共同作用。
初始二者速度小,洛伦兹力小,二者一起做匀加速直线运动,共同加速度a=,滑块受静摩擦力f=m·a=。
随运动进行,A受到方向向上的洛伦兹力逐渐增大,A对B的压力逐渐减小,使得A、B间的最大静摩擦力减小,当f
小结:滑块与长木板相对运动的问题,在认真审题和进行初步的受力分析后,需要理清以下三个问题:1.竖直于运动方向的力的作用,尤其是压力变化对摩擦力影响;2.平行于运动方向的合力对运动状态的作用,尤其注意外力在水平方向分力,以及摩擦力的变化;3.运动状态发生变化的临界点时,物体受力情况与加速度的变化,如滑块与木板速度相同时的力的变化。理清这三个问题,即可将整个运动过程清晰地呈现出来,从而找出解题思路。