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摘 要：柯西-施瓦茨（Cauchy-Schwarz）是二个非常重要的不等式，证明方法有多种而且应用广泛。本文给出了几种Cauchy-Schwarz不等式的几种证明方法,探讨了Cauchy-Schwarz不等式的应用，并对其进行了应用举例。
关键词：Cauchy-Schwarz不等式；判别式；证法；应用
中图分类号：O13 文献标识码：A 文章编号：1009-0118（2010）-12-0031-02
一、Cauchy不等式的二种证法
定理1 设ai,bi为任意实数（i=1,2,3…n）,则
(aibi)2≤a2ibi2(1)
其中当且仅当ai与bi成比例时成立。式（1）称为Cauchy不等式
证法1:采用判别式法
因为(aix+b)2=（ai2）x2+2(aibi)x+（bi2）≥0
关于x的二次三项为负，故判别式
Δ=(aibi)2―ai2bi2≤0不等式（1）得证
证法2:采用二次型法
因为(aix+biy)2=（ai2）x2+2(aibi)xy+(biy)y2≥0
关于x,y的二次型非负定，因此有
ai2 aibiaibi bi2 ≥0
从而(1)式得证
利用证法（2），可将Cauchy不等式作如下推广:
因为
0≤(ai1x1+ai2x2+…aimxm)2=aikaijxkyj=(aikaij)xkyj
此式右边为x1,x2,x3…xn的二次型，表明该二资型非负定，故系数行列式为：
Det(aikaij)=ai21ai1ai2...ai1aimai2ai22...ai2aimaimai1aim1ai2...a2im≥0（２）
等号当且仅当(a11,a21,...an1),(a12,a22,...an2)...,(a1m.a2m,...anm)线性相关（即存在不全为0的常数），使得ai1x1+ai2x2+...+aimxm=0（i=1,2,..n）成立。（2）式是柯西不等式的推广形式。
二、Schwarz不等式的二种证法
Cauchy不等式的积分形式即为Schwarz不等式
定理2 若函数f(x),g(x)在[a,b]上可积，则有：
(f(x)g(x)dx)2≤f2(x)g2(x)dx（3）
若函数在f(x),g(x)在[a,b]连续，其中等号当且仅当存?琢,?茁在常数，使得?琢f(x)=?茁f(x)时成立(?琢,?茁不同时为0)。
证法1 采用微分中值定理来证明
令F(t)=f2(x)g2(x)dx-[f(x)g(x)dx]2对其左右两边分别求导得：
F(t)=f2(t)g2(x)dx+g2(t)f2(x)dx-2f(t)g(t)f(x)g(x)dx
=[f(t)g(x)-g(t)f(x)]2dx≥0
F(a)=0,∴F(b)-F(a)=F(?啄)(b-a)≥0从而（3）式得证。
证法2:采用函数的单调性来证明
令F(t)=f2(x)g2(x)dx-[f(x)g(x)dx]2，由上式得F(t)≥0
因此F(t)是单调递增函数,从而有
F（a）=0,b>a,F(b)≥F(a)=0从而（3）式得证
类似的可以将Schwarz不等式推广到一般情形为：
若函数Fi(x),gi(x)(i=1,2,3…m)在[a,b]上可积，则有：
Det(fi(x)gi(x)dx)≥0
设(x)在[a,b]上连续，其中等号当且仅当(x)（I=1,2,…,m）线性相关（存在不全为0的常数?琢1,?琢2...,?琢m），有?琢1f1(x)+?琢2f2(x+)...+?琢mfm(x))时成立。
三、Cauchy-Schwarz不等式的应用
Eg1:已知f(x)≥0，在[a,b]上连续，ff(x)dx=1,k为任意实数，求证：
(f(x)coskxdx)2+(f(x)sinkxdx)2≤1 （4）
证明：对（4）式左端第一项采用Cauchy-Schwarz不等式
(f(x)coskxdx)2=[((sinkxdx)2]
≤f(x)dxf(x)cos2kxdx=f(x)cos2kxdx （5）
同理易得： (f(x)coskxdx)2≤(f(x)sinkxdx)2（6）
将（5）式与（6）式相加，从而（4）式得证。
Eg2:设在[a,b]上有连续的导函数f(x),且有f(a)=0,求证：
|f(x)f'(x)|dx≤((f'(x))2)dx
证明：令g(x)=|f'(x)|dx(a≤x≤b)则有：g'(x)=|f'(t)|，由f(a)=0知：|f(x)|=|f(x)-f(a)|=||f'(x)|dx|≤f'(t)dx=g(x)
从而得出：f(x)f'(x)dx≤g(x)g'(x)dx=g(x)(dg(x))=g2(x)|ab
=(|f'(t)dt|dt|2=(|f'(t)|dx|)2≤(12dx|f'(t)|2dt≤f'(t)|dx。
Cauchy-Schwarz不等式是二个非常重要的不等式，证明的方法和其运用远不至本文所例。同时由上述两例可见，在采用Cauchy-Schwarz不等式对所给不等式证明时，需对积分作适当的变形才能运用。以上是本人对Cauchy-Schwarz证法和运用的一点愚见，错误之处，敬请同仁指教。
参考文献：
[1]斐礼文.数学分析中的典型问题与方法[M].高等教育出版社,1993.
[2]李娟，崔文泉.Cauchy-Schwarz不等式的推广Extension of Cauchy-Schwarz Inequality[J].大学数学,2006,(06).
关键词：Cauchy-Schwarz不等式；判别式；证法；应用
中图分类号：O13 文献标识码：A 文章编号：1009-0118（2010）-12-0031-02
一、Cauchy不等式的二种证法
定理1 设ai,bi为任意实数（i=1,2,3…n）,则
(aibi)2≤a2ibi2(1)
其中当且仅当ai与bi成比例时成立。式（1）称为Cauchy不等式
证法1:采用判别式法
因为(aix+b)2=（ai2）x2+2(aibi)x+（bi2）≥0
关于x的二次三项为负，故判别式
Δ=(aibi)2―ai2bi2≤0不等式（1）得证
证法2:采用二次型法
因为(aix+biy)2=（ai2）x2+2(aibi)xy+(biy)y2≥0
关于x,y的二次型非负定，因此有
ai2 aibiaibi bi2 ≥0
从而(1)式得证
利用证法（2），可将Cauchy不等式作如下推广:
因为
0≤(ai1x1+ai2x2+…aimxm)2=aikaijxkyj=(aikaij)xkyj
此式右边为x1,x2,x3…xn的二次型，表明该二资型非负定，故系数行列式为：
Det(aikaij)=ai21ai1ai2...ai1aimai2ai22...ai2aimaimai1aim1ai2...a2im≥0（２）
等号当且仅当(a11,a21,...an1),(a12,a22,...an2)...,(a1m.a2m,...anm)线性相关（即存在不全为0的常数），使得ai1x1+ai2x2+...+aimxm=0（i=1,2,..n）成立。（2）式是柯西不等式的推广形式。
二、Schwarz不等式的二种证法
Cauchy不等式的积分形式即为Schwarz不等式
定理2 若函数f(x),g(x)在[a,b]上可积，则有：
(f(x)g(x)dx)2≤f2(x)g2(x)dx（3）
若函数在f(x),g(x)在[a,b]连续，其中等号当且仅当存?琢,?茁在常数，使得?琢f(x)=?茁f(x)时成立(?琢,?茁不同时为0)。
证法1 采用微分中值定理来证明
令F(t)=f2(x)g2(x)dx-[f(x)g(x)dx]2对其左右两边分别求导得：
F(t)=f2(t)g2(x)dx+g2(t)f2(x)dx-2f(t)g(t)f(x)g(x)dx
=[f(t)g(x)-g(t)f(x)]2dx≥0
F(a)=0,∴F(b)-F(a)=F(?啄)(b-a)≥0从而（3）式得证。
证法2:采用函数的单调性来证明
令F(t)=f2(x)g2(x)dx-[f(x)g(x)dx]2，由上式得F(t)≥0
因此F(t)是单调递增函数,从而有
F（a）=0,b>a,F(b)≥F(a)=0从而（3）式得证
类似的可以将Schwarz不等式推广到一般情形为：
若函数Fi(x),gi(x)(i=1,2,3…m)在[a,b]上可积，则有：
Det(fi(x)gi(x)dx)≥0
设(x)在[a,b]上连续，其中等号当且仅当(x)（I=1,2,…,m）线性相关（存在不全为0的常数?琢1,?琢2...,?琢m），有?琢1f1(x)+?琢2f2(x+)...+?琢mfm(x))时成立。
三、Cauchy-Schwarz不等式的应用
Eg1:已知f(x)≥0，在[a,b]上连续，ff(x)dx=1,k为任意实数，求证：
(f(x)coskxdx)2+(f(x)sinkxdx)2≤1 （4）
证明：对（4）式左端第一项采用Cauchy-Schwarz不等式
(f(x)coskxdx)2=[((sinkxdx)2]
≤f(x)dxf(x)cos2kxdx=f(x)cos2kxdx （5）
同理易得： (f(x)coskxdx)2≤(f(x)sinkxdx)2（6）
将（5）式与（6）式相加，从而（4）式得证。
Eg2:设在[a,b]上有连续的导函数f(x),且有f(a)=0,求证：
|f(x)f'(x)|dx≤((f'(x))2)dx
证明：令g(x)=|f'(x)|dx(a≤x≤b)则有：g'(x)=|f'(t)|，由f(a)=0知：|f(x)|=|f(x)-f(a)|=||f'(x)|dx|≤f'(t)dx=g(x)
从而得出：f(x)f'(x)dx≤g(x)g'(x)dx=g(x)(dg(x))=g2(x)|ab
=(|f'(t)dt|dt|2=(|f'(t)|dx|)2≤(12dx|f'(t)|2dt≤f'(t)|dx。
Cauchy-Schwarz不等式是二个非常重要的不等式，证明的方法和其运用远不至本文所例。同时由上述两例可见，在采用Cauchy-Schwarz不等式对所给不等式证明时，需对积分作适当的变形才能运用。以上是本人对Cauchy-Schwarz证法和运用的一点愚见，错误之处，敬请同仁指教。
参考文献：
[1]斐礼文.数学分析中的典型问题与方法[M].高等教育出版社,1993.
[2]李娟，崔文泉.Cauchy-Schwarz不等式的推广Extension of Cauchy-Schwarz Inequality[J].大学数学,2006,(06).