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摘要：三阶累积量对角切片谱可以识别二次相位耦合关系，抑制不存在耦合的频率成分，由于此优良的性质，对角切片谱在信号分析领域得到了广泛的应用。然而，二次相位耦合的定义要求原始信号同时满足频率耦合和相位耦合的关系，这样的信号在实际中几乎不存在，很多文献把取得较好分析效果的原因归结于对角切片谱具有识别二次相位耦合的能力，这是不严谨的。提出的二次频率耦合的概念，相比于二次相位耦合，二次频率耦合对信号的相位没有要求。通过理论推导证明了对角切片谱能够识别仅存在频率耦合关系的信号，从而提升了二次相位耦合理论的实用性。最后，通过分析具有内圈故障的滚动轴承振动信号，对提出的二次频率耦合理论进行了验证。
关键词：信号分析；二次相位耦合；二次频率耦合；对角切片谱；变阶累积量
中图分类号：TN911.6
文献标志码：A
文章编号：1004-4523（2017）01-0135-05
DOI：10.16385/j.cnki.issn.1004-4523.2017.01.018
引言
数十年来，一阶统计量（如均值、方差）和二阶统计量（如自相关函数、功率谱）被广泛应用于机械振动信号的分析，但这些方法理论上只适用于分析线性和高斯信号。在实际应用中，需要从更高的阶次上反映信号特征。相比于一、二阶统计量，高阶统计量具有能够抑制高斯噪声、辨识非最小相位系统、检验信号非线性等优点。然而，高阶统计量分析的缺点也较为鲜明，其计算量较大，且计算量随阶数的增加进一步增大，难以实现较大数据量的实时计算。为此，出现了累积量切片的方法，常见的切片包括水平方向切片、垂直方向切片、对角方向切片等。在累积量切片中，使用得最多的是三阶累积量对角切片，它既显著地减小了三阶累积量的计算量，又保留了三阶统计量的诸多优点，这些优点可概括如下：
（1）若x（t）为一高斯信号，那么它的三阶累积量对角切片谱Sx（ω）=0。这表明对角切片谱可抑制高斯噪声。
（2）若x（t）的概率密度函数服从对称分布，那么它的三阶累积量对角切片谱Sx（ω）=0。这说明对角切片谱可以抑制对称分布的噪声。
（3）若x（t）=p（t）+q（t），p（t）和g（t）相互独立，q（t）为高斯信号，那么Sz（ω）=Sp（ω）。这意味着对角切片谱可以用来分离加性非高斯信号与高斯噪声。
（4）对角切片谱能够识别二次相位耦合关系、抑制独立频率分量。
相对于正常工作状态，当机械系统出现故障时，会产生一种特殊的非线性现象，最常见的表现为：两个频率成分相互作用，产生一个和频和（或）一个差频，与此同时，对应的相位也满足这种和或差的关系。这一现象被称为二次相位耦合。简单地说，信号中含有三个成分，其频率和相位分别为fk和φk（k=1，2，3），如果同時满足f3=f1+f2和s=φ1+φ2，或同时满足f3=f1-f2和φ3=φ1-φ2，就称为二次相位耦合。
二次相位耦合的定义要求信号同时满足频率和相位的关系，但在实测的机械振动信号中，能满足这种要求的信号非常罕见。文献[8-11]将成功实现特征提取、故障识别归因于优点（4），这种结论是不合理的。本文研究发现，在实际的应用中对相位进行限制是没有必要的，相位的取值并不会对对角切片谱的识别能力造成影响，为此本文提出二次频率耦
对图2（a）所示信号进行数学形态学滤波[16-18]，其滤波结果和对应的频谱如图3所示。滤波后信号的三阶累积量对角切片如图4（a）所示，对角切片谱如图4（b）所示。从对角切片谱中可以看转频（fr）及其2倍频（2fr），内圈故障频率（BPFI）及其2倍频（2BPFI），还有一些边频，如：BPFI-2fr，BPF1+2fr，2BPFI-2fr，2BPFI+2fr和2BPFI+fr，这些频率清晰的表明轴承内圈存在故障。需要指出的是，上述频率（29，58，100，158，216，258，345，374Hz）之间均存在耦合关系，如158=100+58，216=158+58，等等。而不存在频率耦合关系的成分完全被清除，使得图4（b）的对角切片谱显得非常“干净”，故障特征突出。对比图4（b）和图3（b）可知，图4（b）结果中所展示的良好的特征频率提取效果与对角切片谱能够有效识别二次频率耦合的能力密切相关。
通过计算可得上述特征频率位置的相位，如表1所示。可见，在这些发生频率耦合的地方，对应的相位并不存在耦合关系。这再次证明，对角切片谱可以识别仅具有二次频率耦合的信号，且对角切片谱中的幅值也较为明显，并未受到相位的影响。根据表1，对角切片谱“干净”的重要原因并不是文[8-11]中所称的二次相位耦合，而是二次频率耦合。
5.结论
二次相位耦合要求信号同时满足频率耦合和相位耦合的条件，但在实际的机械振动信号中，这样苛刻的条件很难满足，几乎无法找到如此特殊信号。因此，二次相位耦合的理论难以得到实际的应用。而本文提出的二次频率耦合理论对信号的相位不作要求，只需满足频率上的耦合关系。通过理论推导证明了对角切片谱能够识别二次频率耦合关系、抑制独立频率分量，且幅值的差异不会影响分析判断。最后通过对具有内圈故障的滚动轴承的分析，证明了在相位不满足耦合关系时，对角切片谱依然能提取故障特征。
关键词：信号分析；二次相位耦合；二次频率耦合；对角切片谱；变阶累积量
中图分类号：TN911.6
文献标志码：A
文章编号：1004-4523（2017）01-0135-05
DOI：10.16385/j.cnki.issn.1004-4523.2017.01.018
引言
数十年来，一阶统计量（如均值、方差）和二阶统计量（如自相关函数、功率谱）被广泛应用于机械振动信号的分析，但这些方法理论上只适用于分析线性和高斯信号。在实际应用中，需要从更高的阶次上反映信号特征。相比于一、二阶统计量，高阶统计量具有能够抑制高斯噪声、辨识非最小相位系统、检验信号非线性等优点。然而，高阶统计量分析的缺点也较为鲜明，其计算量较大，且计算量随阶数的增加进一步增大，难以实现较大数据量的实时计算。为此，出现了累积量切片的方法，常见的切片包括水平方向切片、垂直方向切片、对角方向切片等。在累积量切片中，使用得最多的是三阶累积量对角切片，它既显著地减小了三阶累积量的计算量，又保留了三阶统计量的诸多优点，这些优点可概括如下：
（1）若x（t）为一高斯信号，那么它的三阶累积量对角切片谱Sx（ω）=0。这表明对角切片谱可抑制高斯噪声。
（2）若x（t）的概率密度函数服从对称分布，那么它的三阶累积量对角切片谱Sx（ω）=0。这说明对角切片谱可以抑制对称分布的噪声。
（3）若x（t）=p（t）+q（t），p（t）和g（t）相互独立，q（t）为高斯信号，那么Sz（ω）=Sp（ω）。这意味着对角切片谱可以用来分离加性非高斯信号与高斯噪声。
（4）对角切片谱能够识别二次相位耦合关系、抑制独立频率分量。
相对于正常工作状态，当机械系统出现故障时，会产生一种特殊的非线性现象，最常见的表现为：两个频率成分相互作用，产生一个和频和（或）一个差频，与此同时，对应的相位也满足这种和或差的关系。这一现象被称为二次相位耦合。简单地说，信号中含有三个成分，其频率和相位分别为fk和φk（k=1，2，3），如果同時满足f3=f1+f2和s=φ1+φ2，或同时满足f3=f1-f2和φ3=φ1-φ2，就称为二次相位耦合。
二次相位耦合的定义要求信号同时满足频率和相位的关系，但在实测的机械振动信号中，能满足这种要求的信号非常罕见。文献[8-11]将成功实现特征提取、故障识别归因于优点（4），这种结论是不合理的。本文研究发现，在实际的应用中对相位进行限制是没有必要的，相位的取值并不会对对角切片谱的识别能力造成影响，为此本文提出二次频率耦
对图2（a）所示信号进行数学形态学滤波[16-18]，其滤波结果和对应的频谱如图3所示。滤波后信号的三阶累积量对角切片如图4（a）所示，对角切片谱如图4（b）所示。从对角切片谱中可以看转频（fr）及其2倍频（2fr），内圈故障频率（BPFI）及其2倍频（2BPFI），还有一些边频，如：BPFI-2fr，BPF1+2fr，2BPFI-2fr，2BPFI+2fr和2BPFI+fr，这些频率清晰的表明轴承内圈存在故障。需要指出的是，上述频率（29，58，100，158，216，258，345，374Hz）之间均存在耦合关系，如158=100+58，216=158+58，等等。而不存在频率耦合关系的成分完全被清除，使得图4（b）的对角切片谱显得非常“干净”，故障特征突出。对比图4（b）和图3（b）可知，图4（b）结果中所展示的良好的特征频率提取效果与对角切片谱能够有效识别二次频率耦合的能力密切相关。
通过计算可得上述特征频率位置的相位，如表1所示。可见，在这些发生频率耦合的地方，对应的相位并不存在耦合关系。这再次证明，对角切片谱可以识别仅具有二次频率耦合的信号，且对角切片谱中的幅值也较为明显，并未受到相位的影响。根据表1，对角切片谱“干净”的重要原因并不是文[8-11]中所称的二次相位耦合，而是二次频率耦合。
5.结论
二次相位耦合要求信号同时满足频率耦合和相位耦合的条件，但在实际的机械振动信号中，这样苛刻的条件很难满足，几乎无法找到如此特殊信号。因此，二次相位耦合的理论难以得到实际的应用。而本文提出的二次频率耦合理论对信号的相位不作要求，只需满足频率上的耦合关系。通过理论推导证明了对角切片谱能够识别二次频率耦合关系、抑制独立频率分量，且幅值的差异不会影响分析判断。最后通过对具有内圈故障的滚动轴承的分析，证明了在相位不满足耦合关系时，对角切片谱依然能提取故障特征。