摘 要:在立体几何中,椎体问题是学生们比较难懂的部分。但若把椎体放置在相应的柱体中,其点、线、面的位置关系就变得十分清晰,有助于问题的解决。
　　关键词:立体几何 椎体
　　【中图分类号】 G633.6 【文献标识码】 C 【文章编号】1671-8437(2010)03-00126-02
　　
　　立体几何中,解决锥体中某些问题时,常常比较困难、繁琐,点、线、面的位置关系模糊不易观察。相反,若把锥体恰当地放置在相应的柱中,点、线、面的位置关系变得清晰透明,有助于问题的解决。现举几例加以说明。
　　 例1、 已知四面体A-BCD中,AB=CD=5,AC=BD=,AD=BC= ,则四面体A-BCD外接球的半径为_________。
　　 分析:求此四面体外接球的半径,若仅仅思考四面体A-BCD,问题解决十分困难,仔细审题发现此四面体对棱长相等,可以认为是长方体面上的对角线构成的图形。如图1:
　　图1 图2
　　 解:将四面体A-BCD放入长方体中,如图2;
　　 设长方体长、宽、高分别为a、b、c,则
　　 解得,所以四面体A-BCD外接球的半径为=。
　　 例2、 若三棱锥P-ABC,PA⊥平面ABC,PA=AB=BC= , ∠ABC=900,则P-ABC外接球的体积为__________。
　　图3 图4
　　 解:因为PA⊥平面ABC,∠ABC=900,所以可以将三棱锥P-ABC补成正方体,如图4,PC为三棱锥P-ABC外接球的直径,PC=3,所以三棱锥P-ABC外接球的体积为π。
　　 点评:解决锥体外接球的半径、表面积、体积等问题时,我们如果能将锥体放入正方体或长方体中,问题就非常容易解决了。如例1中的锥体,学生往往不容易想到它们是长方体面上的对角线,所以解决此类问题较难,一旦放到长方体中解决问题就非常方便。例2中的锥体是正方体的一部分,将图形补充完整,结果就显现出来了。
　　 例3、 已知PD⊥平面ABCD,四边形ABCD为正方形,PD=AD=1,点C到平面PAB的距离为d1,点B到平面PAC的距离为d2,则( )
　　 A、1　　 分析:由已知条件PD、AD、DC两两互相垂直且棱长为1,将此四棱锥放入正方体中d1是C到平面PABC1、d2是点B到平面PAC的距离。如图6
　　图5 图6
　　 则d1=,d2=,所以选D
　　 例4、 三棱锥P-ABC中,AC=BC=2,∠ACB=900,AP=BP=AB,PC⊥AC
　　 (1)求二面角B-AP-C的余弦值。
　　 (2)求点C到平面APB的距离。
　　图7 图8
　　 分析:在△PAC与△PBC中,AP=BP,AC=BC,PC=PC, △PAC≌△PBC,所以 PC⊥BC,PC⊥平面ABC,所以三棱锥P-ABC可以放到正方体中,如图8
　　(1)二面角B-AP-C的余弦值cosα=
　　 (2)点C到平面APB的距离为
　　 点评:对于锥体点、线、面的距离的计算,我们如果能放入正方体中,利用正方体的性质解决就非常方便了。
　　 由此可见,对于有些锥体分析他们棱与棱之间的关系后,将它们嵌入到柱中,结果就显而易见了。