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摘 要:在初中知识结构的基础上,用方程的思想研究圆的切线的图形特征。
关键词:圆的切线;四点共圆
在初中数学中,对于圆的切线问题已经有了初步的认识,知道过圆上一点有且只有一条切线,过圆外一点有两条切线,并且两条切线长相等.高中数学解析几何模块中,把四种圆锥曲线放在平面直角坐标系下,借助坐标,用方程的思想研究圆的切线的特征.
一、过圆上一点的切线方程
1.定理一:过圆O:[x2+y2=r2]上一点[M(x0,y0)]的切线方程是[x0x+y0y=r2].
分析:要证直线[x0x+y0y=r2]是圆O:[x2+y2=r2]的切线,只需证明直线[x0x+y0y=r2]过点[M(x0,y0)],并且圆心O到直线的距离是r.
证明:由已知,点[M(x0,y0)]在圆O:[x2+y2=r2]上,所以[x02+y02=r2],点[M(x0,y0)]代入直线[x0x+y0y=r2],等式成立,所以点[M(x0,y0)]在直线[x0x+y0y=r2]上.圆心O到直线的距离[d=r2x20+y20=r].[∴]直线[x0x+y0y=r2]与圆O:[x2+y2=r2]切于点[M(x0,y0)].
2.定理二:过圆C:[(x-a)2+(y-b)2=r2]上一点[M(x0,y0)]的切线方程是[(x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)=r2].
证明:由已知,点[M(x0,y0)]在圆C:[(x-a)2+(y-b)2=r2]上,则[(x0-a)2+(y0-b)2=r2],[∴]点[M(x0,y0)]在直线[(x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)=r2]上.又[∵kCM=y0-bx0-a],直线的斜率[k=-x0-ay0-b].[∴k?kCM=-1],
即直线[(x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)=r2]与圆C:[(x-a)2+(y-b)2=r2]切于点[M(x0,y0)].
二、过圆外一点的切线方程
过圆C:[(x-a)2+(y-b)2=r2]外一点[M(x0,y0)]的切线方程.
如图1,过点[M(x0,y0)]作圆C的切线,切点分别为A、B,则
(1)[|MA|=|MB|];
(2)[MA⊥AC,MB⊥BC];
(3)点M、A、B、C在以线段MC为直径的圆上,且点[M(x0,y0)],点[C(a,b)],所以,该圆的方程为[(x-x0)(x-a)+][(y-y0)(y-b)=0];
⑷若令[|MC|=|d],则[|AB|=|AM?r|d=r?1-r2d2];
⑸方程[][(x-x0)(x-a)+(y-y0)(y-b)=0]與方程[(x-a)2+(y-b)2=r2]相减,得到直线AB的方程.
例.已知抛物线E:[y2=2px(p>0)]的准线与x轴交于点M,过点M作圆C:[(x-2)2+y2=1]的两条切线,切点分别为A、B,[|AB|=423].
⑴求抛物线E的标准方程.
⑵过抛物线E的点N作圆C的两条切线,切点分别为P、Q,若P、Q、O三点共线,求点N的坐标.
解析:⑴解答过程略,抛物线E的标准方程是[y2=4x].
⑵分析:利用N、P、Q、C四点共圆,得到圆的方程,直线PQ是两圆的公共弦所在的直线,所以,再把两圆想减,得到直线PQ的方程, 由直线过原点得点N的坐标.
解:设点[N(y204,y0)],点C(2,0),由已知,N、P、Q、C四点在以CN为直径的圆上,该圆的方程为:[(x-y204)(x-2)+y(y-y0)=0],变形得:[x2+y2-(y204+2)x-y0y+y202=0],圆C:[(x-2)2+y2=1]变形为:
[x2+y2-4x+3=0],两式相减得,直线PQ的方程为:[(y204-2)x+y0y+3-y202=0],点O(0,0)代入得:[y0=±6],[∴N(32,6)]或[(32,-6)].
一道数学题,经过一番艰辛与苦思冥想解出答案后,我们应认真进行如下探索:命题的意图是什么;考核哪些方面的知识和能力;验证解题结论是否合理,命题所提供条件的应用是否完备;求解论证过程是否判断有据,严密完善;本题有无其他解法;众多解法哪一种最简捷;把本题的解法和结论进一步推广,能否得到普遍性结论,解此题的思路方法是什么等。
反思的目的在于深化对知识的理解,促进知识结构的不断分解组合,使思维有一个正确可靠的基础.长期进行反思,还可培养学生对试题的鉴赏能力,对那些知识容量大,各知识间结构联系巧妙的试题产生美感,引起兴趣。
关键词:圆的切线;四点共圆
在初中数学中,对于圆的切线问题已经有了初步的认识,知道过圆上一点有且只有一条切线,过圆外一点有两条切线,并且两条切线长相等.高中数学解析几何模块中,把四种圆锥曲线放在平面直角坐标系下,借助坐标,用方程的思想研究圆的切线的特征.
一、过圆上一点的切线方程
1.定理一:过圆O:[x2+y2=r2]上一点[M(x0,y0)]的切线方程是[x0x+y0y=r2].
分析:要证直线[x0x+y0y=r2]是圆O:[x2+y2=r2]的切线,只需证明直线[x0x+y0y=r2]过点[M(x0,y0)],并且圆心O到直线的距离是r.
证明:由已知,点[M(x0,y0)]在圆O:[x2+y2=r2]上,所以[x02+y02=r2],点[M(x0,y0)]代入直线[x0x+y0y=r2],等式成立,所以点[M(x0,y0)]在直线[x0x+y0y=r2]上.圆心O到直线的距离[d=r2x20+y20=r].[∴]直线[x0x+y0y=r2]与圆O:[x2+y2=r2]切于点[M(x0,y0)].
2.定理二:过圆C:[(x-a)2+(y-b)2=r2]上一点[M(x0,y0)]的切线方程是[(x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)=r2].
证明:由已知,点[M(x0,y0)]在圆C:[(x-a)2+(y-b)2=r2]上,则[(x0-a)2+(y0-b)2=r2],[∴]点[M(x0,y0)]在直线[(x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)=r2]上.又[∵kCM=y0-bx0-a],直线的斜率[k=-x0-ay0-b].[∴k?kCM=-1],
即直线[(x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)=r2]与圆C:[(x-a)2+(y-b)2=r2]切于点[M(x0,y0)].
二、过圆外一点的切线方程
过圆C:[(x-a)2+(y-b)2=r2]外一点[M(x0,y0)]的切线方程.
如图1,过点[M(x0,y0)]作圆C的切线,切点分别为A、B,则
(1)[|MA|=|MB|];
(2)[MA⊥AC,MB⊥BC];
(3)点M、A、B、C在以线段MC为直径的圆上,且点[M(x0,y0)],点[C(a,b)],所以,该圆的方程为[(x-x0)(x-a)+][(y-y0)(y-b)=0];
⑷若令[|MC|=|d],则[|AB|=|AM?r|d=r?1-r2d2];
⑸方程[][(x-x0)(x-a)+(y-y0)(y-b)=0]與方程[(x-a)2+(y-b)2=r2]相减,得到直线AB的方程.
例.已知抛物线E:[y2=2px(p>0)]的准线与x轴交于点M,过点M作圆C:[(x-2)2+y2=1]的两条切线,切点分别为A、B,[|AB|=423].
⑴求抛物线E的标准方程.
⑵过抛物线E的点N作圆C的两条切线,切点分别为P、Q,若P、Q、O三点共线,求点N的坐标.
解析:⑴解答过程略,抛物线E的标准方程是[y2=4x].
⑵分析:利用N、P、Q、C四点共圆,得到圆的方程,直线PQ是两圆的公共弦所在的直线,所以,再把两圆想减,得到直线PQ的方程, 由直线过原点得点N的坐标.
解:设点[N(y204,y0)],点C(2,0),由已知,N、P、Q、C四点在以CN为直径的圆上,该圆的方程为:[(x-y204)(x-2)+y(y-y0)=0],变形得:[x2+y2-(y204+2)x-y0y+y202=0],圆C:[(x-2)2+y2=1]变形为:
[x2+y2-4x+3=0],两式相减得,直线PQ的方程为:[(y204-2)x+y0y+3-y202=0],点O(0,0)代入得:[y0=±6],[∴N(32,6)]或[(32,-6)].
一道数学题,经过一番艰辛与苦思冥想解出答案后,我们应认真进行如下探索:命题的意图是什么;考核哪些方面的知识和能力;验证解题结论是否合理,命题所提供条件的应用是否完备;求解论证过程是否判断有据,严密完善;本题有无其他解法;众多解法哪一种最简捷;把本题的解法和结论进一步推广,能否得到普遍性结论,解此题的思路方法是什么等。
反思的目的在于深化对知识的理解,促进知识结构的不断分解组合,使思维有一个正确可靠的基础.长期进行反思,还可培养学生对试题的鉴赏能力,对那些知识容量大,各知识间结构联系巧妙的试题产生美感,引起兴趣。