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【摘要】 本文主要谈了中考中数学探索型问题的分类，解题的思路，以及选用近年来中考中出现的探索型问题来说明如何解答探索型问题.
【关键词】 中考数学；探索型问题；类型
近年来，中考试题中频频出现探索型问题，这类问题需要学生通过自己的观察、联想、分析、比较、归纳、概括来发现解题条件、结论或结论成立的条件. 这类问题有利于学生主体意识及主体能力的形成和发展，有利于培养学生形成独立的思维品质. 因此教师在平时的教学中，应从探索此类问题的基本题型入手，向学生阐明解决这类问题的基本思路.
通常情景中的 “探索” 型问题可以分为如下类型：
（１）条件探索型——结论明确，需探索发现使结论成立的条件的题目；
（２）规律探索型——在一定的条件状态下，需探索发现有关数学对象所具有的规律性或不变性的题目；
（３）存在探索型——在一定的条件下，需探索发现某种数学关系是否存在的题目.
解探索型问题主要应从以下几个角度考虑：
（１）利用特殊值进行归纳、 概括，从特殊到一般，从而得出规律.
（２）反证法，即假设结论成立，根据假设进行推理，看是推导出矛盾还是能与已知条件一致.
（３）分类讨论法，当命题的题设和结论不唯一确定，难以统一解答时，则需要按可能出现的情况做到既不重复也不遗漏，分门别类地加以讨论求解，将不同结论综合归纳得出正确结果.
（４）类比猜想法，即由一个问题的结论或解决方法类比猜想出另一个类似问题的结论或解决方法，并加以严密的论证.
一、条件探索型
例１ （２０１１北京）如图1，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y = -2x的图像与反比例函数y =的图像的一个交点为Ａ（－１，ｎ）． （１）求反比例函数y = 的解析式；（２）若P是坐标轴上一点，且满足PA = OA，直接写出点P的坐标.
探析 此题第（２）小题是一道条件探索型问题. 要使PA = OA，只要根据两点间距离公式判定，就能得出答案. 此题答案不唯一，如P在y轴正半轴时或x轴负半轴时均满足条件.
二、规律探索型
例2 （２０１１十堰）如图2，AB是半圆O的直径，点C为半径OB上一点，过点C作CD⊥AB交半圆O于点D，将△ACD沿DE折叠得到△AED，AE交半圆于点F，连接DF. （１）求证：DE是半圆的切线；（２）连接OD，当OC = BC时，判断四边形ODFA的形状，并证明你的结论.
探析 认真观察，不难发现，利用OC = BC的条件并结合圆的性质得到角与角、边与边之间的关系，经过推导，可最终得到结论.
例3 （２０１０北京）阅读下列材料：小贝遇到一个有趣的问题，在矩形ＡＢＣＤ中，ＡＤ ＝ ８ ｃｍ，ＡＢ ＝ ６ ｃｍ．现有一动点Ｐ按下列方式在矩形内运动：它从Ａ点出发，沿着与ＡＢ边夹角为４５°的方向作直线运动，每次碰到矩形的一边，就会改变运动方向，沿着与这条边夹角为４５°的方向作直线运动，并且它一直按照这种方式不停地运动，即当点Ｐ碰到ＢＣ边，沿着与ＢＣ边夹角为４５°的方向作直线运动，当点Ｐ碰到ＣＤ边时，再沿着与ＣＤ边夹角为４５°的方向作直线运动……如图3所示．问Ｐ点第一次与Ｄ点重合前与边相碰几次，Ｐ点第一次与Ｄ点重合时所经过的路径的总长是多少．
小贝的思考是这样开始的：如图4，将矩形ＡＢＣＤ沿直线ＣＤ折叠，得到矩形Ａ１Ｂ１ＣＤ．由轴对称的知识，发现Ｐ２Ｐ３ ＝ Ｐ２Ｅ，Ｐ１Ａ ＝ Ｐ１Ｅ．
请你参考小贝的思路解决下列问题：
（１）Ｐ点第一次与Ｄ点重合前与边相碰次，Ｐ点从Ａ点出发到第一次与Ｄ点重合时所经过的路径的总长是 ｃｍ.
（２）进一步探究：改变矩形ＡＢＣＤ中ＡＤ，ＡＢ的长，且满足ＡＤ ＞ ＡＢ．动点Ｐ从Ａ点出发，按照阅读材料中动点的运动方式，并满足前后连续两次与边相碰的位置在矩形ＡＢＣＤ相邻的两边上．若Ｐ点第一次与Ｂ点重合前与边相碰７次，则ＡＢ ∶ ＡＤ的值为 ．
探析 解题思路示意图如图5所示.
三、存在探索型
例4 （２０１１哈尔滨）手工课上，小名准备做一个形状是菱形的风筝，这个菱形的两条对角线长度之和恰好为６０ ｃｍ，菱形的面积Ｓ（单位：ｃｍ2）随其中一条对角线的长ｘ（单位：ｃｍ）的变化而变化. （１）请直接写出Ｓ与ｘ之间的函数关系式（不要求写出自变量ｘ的取值范围）；（２）当ｘ是多少时，菱形风筝的面积Ｓ最大？最大面积是多少？
探析 问题（２）是探索型问题，利用菱形面积与对角线间特殊的关系Ｓ ＝ ｘ（６０ － ｘ）和重要不等式的结论知，当ｘ ＝ ６０ － ｘ时Ｓ取到最大值，故得出结论ｘ ＝ ６０ － ｘ ＝ ３０（ｃｍ），此时Ｓ ＝ ４５０，即为结论.
解答探索型问题，必须在认真审题的基础上，通过归纳 、想象、猜想来进行规律的探索，需要解答者提出观点与看法，并利用旧知识的迁移、 类比发现解题方法，或从特殊、 简单的情况入手，寻找规律，找到解题方法. 此类问题有利于培养学生的发散思维，这也是数学综合应用的能力要求.
【关键词】 中考数学；探索型问题；类型
近年来，中考试题中频频出现探索型问题，这类问题需要学生通过自己的观察、联想、分析、比较、归纳、概括来发现解题条件、结论或结论成立的条件. 这类问题有利于学生主体意识及主体能力的形成和发展，有利于培养学生形成独立的思维品质. 因此教师在平时的教学中，应从探索此类问题的基本题型入手，向学生阐明解决这类问题的基本思路.
通常情景中的 “探索” 型问题可以分为如下类型：
（１）条件探索型——结论明确，需探索发现使结论成立的条件的题目；
（２）规律探索型——在一定的条件状态下，需探索发现有关数学对象所具有的规律性或不变性的题目；
（３）存在探索型——在一定的条件下，需探索发现某种数学关系是否存在的题目.
解探索型问题主要应从以下几个角度考虑：
（１）利用特殊值进行归纳、 概括，从特殊到一般，从而得出规律.
（２）反证法，即假设结论成立，根据假设进行推理，看是推导出矛盾还是能与已知条件一致.
（３）分类讨论法，当命题的题设和结论不唯一确定，难以统一解答时，则需要按可能出现的情况做到既不重复也不遗漏，分门别类地加以讨论求解，将不同结论综合归纳得出正确结果.
（４）类比猜想法，即由一个问题的结论或解决方法类比猜想出另一个类似问题的结论或解决方法，并加以严密的论证.
一、条件探索型
例１ （２０１１北京）如图1，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y = -2x的图像与反比例函数y =的图像的一个交点为Ａ（－１，ｎ）． （１）求反比例函数y = 的解析式；（２）若P是坐标轴上一点，且满足PA = OA，直接写出点P的坐标.
探析 此题第（２）小题是一道条件探索型问题. 要使PA = OA，只要根据两点间距离公式判定，就能得出答案. 此题答案不唯一，如P在y轴正半轴时或x轴负半轴时均满足条件.
二、规律探索型
例2 （２０１１十堰）如图2，AB是半圆O的直径，点C为半径OB上一点，过点C作CD⊥AB交半圆O于点D，将△ACD沿DE折叠得到△AED，AE交半圆于点F，连接DF. （１）求证：DE是半圆的切线；（２）连接OD，当OC = BC时，判断四边形ODFA的形状，并证明你的结论.
探析 认真观察，不难发现，利用OC = BC的条件并结合圆的性质得到角与角、边与边之间的关系，经过推导，可最终得到结论.
例3 （２０１０北京）阅读下列材料：小贝遇到一个有趣的问题，在矩形ＡＢＣＤ中，ＡＤ ＝ ８ ｃｍ，ＡＢ ＝ ６ ｃｍ．现有一动点Ｐ按下列方式在矩形内运动：它从Ａ点出发，沿着与ＡＢ边夹角为４５°的方向作直线运动，每次碰到矩形的一边，就会改变运动方向，沿着与这条边夹角为４５°的方向作直线运动，并且它一直按照这种方式不停地运动，即当点Ｐ碰到ＢＣ边，沿着与ＢＣ边夹角为４５°的方向作直线运动，当点Ｐ碰到ＣＤ边时，再沿着与ＣＤ边夹角为４５°的方向作直线运动……如图3所示．问Ｐ点第一次与Ｄ点重合前与边相碰几次，Ｐ点第一次与Ｄ点重合时所经过的路径的总长是多少．
小贝的思考是这样开始的：如图4，将矩形ＡＢＣＤ沿直线ＣＤ折叠，得到矩形Ａ１Ｂ１ＣＤ．由轴对称的知识，发现Ｐ２Ｐ３ ＝ Ｐ２Ｅ，Ｐ１Ａ ＝ Ｐ１Ｅ．
请你参考小贝的思路解决下列问题：
（１）Ｐ点第一次与Ｄ点重合前与边相碰次，Ｐ点从Ａ点出发到第一次与Ｄ点重合时所经过的路径的总长是 ｃｍ.
（２）进一步探究：改变矩形ＡＢＣＤ中ＡＤ，ＡＢ的长，且满足ＡＤ ＞ ＡＢ．动点Ｐ从Ａ点出发，按照阅读材料中动点的运动方式，并满足前后连续两次与边相碰的位置在矩形ＡＢＣＤ相邻的两边上．若Ｐ点第一次与Ｂ点重合前与边相碰７次，则ＡＢ ∶ ＡＤ的值为 ．
探析 解题思路示意图如图5所示.
三、存在探索型
例4 （２０１１哈尔滨）手工课上，小名准备做一个形状是菱形的风筝，这个菱形的两条对角线长度之和恰好为６０ ｃｍ，菱形的面积Ｓ（单位：ｃｍ2）随其中一条对角线的长ｘ（单位：ｃｍ）的变化而变化. （１）请直接写出Ｓ与ｘ之间的函数关系式（不要求写出自变量ｘ的取值范围）；（２）当ｘ是多少时，菱形风筝的面积Ｓ最大？最大面积是多少？
探析 问题（２）是探索型问题，利用菱形面积与对角线间特殊的关系Ｓ ＝ ｘ（６０ － ｘ）和重要不等式的结论知，当ｘ ＝ ６０ － ｘ时Ｓ取到最大值，故得出结论ｘ ＝ ６０ － ｘ ＝ ３０（ｃｍ），此时Ｓ ＝ ４５０，即为结论.
解答探索型问题，必须在认真审题的基础上，通过归纳 、想象、猜想来进行规律的探索，需要解答者提出观点与看法，并利用旧知识的迁移、 类比发现解题方法，或从特殊、 简单的情况入手，寻找规律，找到解题方法. 此类问题有利于培养学生的发散思维，这也是数学综合应用的能力要求.