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摘要：从圆形区域匀强磁场边界上同一点入射的带电粒子束，经圆形匀强磁场偏转后转变为平行的带电粒子束，该现象的逆过程就是通常所说的磁聚焦.文章首先运用中学数学知识推导出射角的余弦随入射角变化的函数表达式.根据该表达式讨论得出：粒子做匀速圆周运动的半径r与圆形磁场区域半径不相等时出射角α的范围，两半径相等时出射角为90°的结论.目的在于使人们认识到磁聚焦及其逆过程只是磁偏转在某些条件下的特定结果，提升对这一问题的认识.
关键词：圆形区域匀强磁场；入射角；出射角；入射速度；出射速度
1一般性分析
在半径为R的圆形区域内，存在垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度为B，从磁场边界上的点O向各个方向发射完全相同的带电粒子，粒子质量为m，电荷量为q，粒子速度的大小均为v.为方便起见，以O为坐标原点，通过O点圆形磁场区域，直径OA方向为x轴正方向建立直角坐标系.从O点沿任意方向发射的一个带电粒子，速度方向与x轴正向成θ角为入射角，圆形磁场区域和粒子的运动轨迹如图1所示，粒子做匀速圆周运动的半径为r，磁场区域圆心和粒子做匀速圆周运动轨迹的圆心分别为O1、O2，出射点为B，出射速度的反向延长线与x轴交于C点 ，出磁场速度方向与x正向成α角为出射角，∠BOC=β，∠OBC=r.粒子受洛伦兹力作用做匀速圆周运动，有
Bqv=mv2r
解得r=mvBq
由图1可知：
OB=2Rcosβ
OB=2rcos（90°-θ-β）=2rsin（θ β）
由此可得：
2Rcosβ=2rsin（θ β）
运用两角和的正弦公式，得
2Rcosβ=2r（sinθcosβ cosθsinβ）
两边同除以2cosβ，解得
tanβ=R-rsinθrcosθ
又由图看出：
γ=90°-（90°-θ-β）=θ β
所以，出射速度与x轴正向成的角
α=β γ=θ 2β
根据三角函数中的万能公式，得
sin2β=2tanβ1 tan2β=2R-rsinθrcosθ1 R-rsinθrcosθ2
=2rcosθ（R-rsinθ）r2 R2-2Rrsinθ（1）
cos2β=1-tan2θ1 tan2θ=
r2cos2θ-R2-r2sin2θ 2Rrsinθr2 R2-2Rrsinθ（2）
根据两角和的余弦公式，得
cosα=cos（θ 2β）=cosθcos2β-sinθsin2β（3）
将（1）、（2）两式代入（3）式，得
cosα=cosθr2cos2θ-R2-r2sin2θ 2Rrsinθr2 R2-2Rrsinθ
-sinθ2rcosθ（R-rsinθ）r2 R2-2Rrsinθ
对上式化简，得
cosα=（r2-R2）cosθR2 r2-2Rrsinθ（4）
将cosα对θ角求导数，得
（cosα）′θ=（r2-R2）（-sinθ）（R2 r2-2Rrsinθ）（R2 r2-2Rrsinθ）2
-（r2-R2）cosθ（-2Rrcosθ）（R2 r2-2Rrsinθ）2
化简，得
（cosα）′θ=（r2-R2）[2Rr-（R2 r2）sinθ]（R2 r2-2Rrsinθ）2（5）
粒子进入磁场的入射角θ的范围：-90°≤θ≤90°.
由（4）式可以看出：当r≠R时，出射角α随入射角θ的变化而变化，入射角θ不同的粒子，出射方向不同，带电粒子离开磁场时仍是沿各方向运动的，不过由于粒子做匀速圆周运动轨迹半径r的不同出射角α所在的范围不同，下面分情况讨论.
11r﹤R的情况
当r0，（cosα）′θ<0，随θ角的增大，cosα减小，出射角α增大；当sinθ>2RrR2 r2时，2Rr-（R2 r2）sinθ<0，（cosα）′θ>0，随θ角的增大，cosα增大，α减小.
12r>R的情况
当r>R时，根据（4）式，无论入射角θ多大，因为R2 r2-2Rrsinθ>0，cosθ≥0得到cosα≥0，α≤90°，粒子在磁场边界上向右上方射出.根据（5）式，当sinθ<2RrR2 r2时，2Rr-（R2 r2）sinθ>0，（cosα）′θ>0，随θ角的增大，cosα增大，出射角α减小；当sinθ>2RrR2 r2时，2Rr-（R2 r2）sinθ<0，（cosα）′θ<0， 随θ角的增大，cosα减小，α增大.
r=R的情况完全不同于前面两种情形.
2非常有意思的r=R的特殊情况
r=R也就是带电粒子做匀速圆周运动的轨迹半径等于圆形匀强磁场区域的半径时，由（4）式可以知道： 无论入射角θ多大，因为r=R，总有cosα=0，于是α=90°，这说明所有的带电粒子到达磁场边界时出射角都相同，都垂直于圆形磁场区域过入射点的直径，发散的带电粒子束通过磁场偏转转变为平行的带电粒子束，但入射角θ不同的粒子出磁场时速度方向的偏转角仍然是不相同的.
这种情况如图2所示.证明如下：∵ r=R，∴ OO1=O1B=O2B=OO2=R，因而四边形OO1BO2是菱形，出射速度V垂直于粒子匀速圆周运动轨迹半径O2B，而O2B∥OA，出射速度V當然也就垂直x轴了.
同样地，一束完全相同的带电粒子平行入射到一个圆形匀强磁场区域的边界上，各粒子速度的大小相同，粒子受洛伦兹力做匀速圆周运动发生偏转，如果粒子做圆周运动的轨迹半径r等于圆形磁场区域半径R，所有粒子偏转后的轨迹将通过磁场边界上的同一点.这一问题是上面的问题的逆过程.
关键词：圆形区域匀强磁场；入射角；出射角；入射速度；出射速度
1一般性分析
在半径为R的圆形区域内，存在垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度为B，从磁场边界上的点O向各个方向发射完全相同的带电粒子，粒子质量为m，电荷量为q，粒子速度的大小均为v.为方便起见，以O为坐标原点，通过O点圆形磁场区域，直径OA方向为x轴正方向建立直角坐标系.从O点沿任意方向发射的一个带电粒子，速度方向与x轴正向成θ角为入射角，圆形磁场区域和粒子的运动轨迹如图1所示，粒子做匀速圆周运动的半径为r，磁场区域圆心和粒子做匀速圆周运动轨迹的圆心分别为O1、O2，出射点为B，出射速度的反向延长线与x轴交于C点 ，出磁场速度方向与x正向成α角为出射角，∠BOC=β，∠OBC=r.粒子受洛伦兹力作用做匀速圆周运动，有
Bqv=mv2r
解得r=mvBq
由图1可知：
OB=2Rcosβ
OB=2rcos（90°-θ-β）=2rsin（θ β）
由此可得：
2Rcosβ=2rsin（θ β）
运用两角和的正弦公式，得
2Rcosβ=2r（sinθcosβ cosθsinβ）
两边同除以2cosβ，解得
tanβ=R-rsinθrcosθ
又由图看出：
γ=90°-（90°-θ-β）=θ β
所以，出射速度与x轴正向成的角
α=β γ=θ 2β
根据三角函数中的万能公式，得
sin2β=2tanβ1 tan2β=2R-rsinθrcosθ1 R-rsinθrcosθ2
=2rcosθ（R-rsinθ）r2 R2-2Rrsinθ（1）
cos2β=1-tan2θ1 tan2θ=
r2cos2θ-R2-r2sin2θ 2Rrsinθr2 R2-2Rrsinθ（2）
根据两角和的余弦公式，得
cosα=cos（θ 2β）=cosθcos2β-sinθsin2β（3）
将（1）、（2）两式代入（3）式，得
cosα=cosθr2cos2θ-R2-r2sin2θ 2Rrsinθr2 R2-2Rrsinθ
-sinθ2rcosθ（R-rsinθ）r2 R2-2Rrsinθ
对上式化简，得
cosα=（r2-R2）cosθR2 r2-2Rrsinθ（4）
将cosα对θ角求导数，得
（cosα）′θ=（r2-R2）（-sinθ）（R2 r2-2Rrsinθ）（R2 r2-2Rrsinθ）2
-（r2-R2）cosθ（-2Rrcosθ）（R2 r2-2Rrsinθ）2
化简，得
（cosα）′θ=（r2-R2）[2Rr-（R2 r2）sinθ]（R2 r2-2Rrsinθ）2（5）
粒子进入磁场的入射角θ的范围：-90°≤θ≤90°.
由（4）式可以看出：当r≠R时，出射角α随入射角θ的变化而变化，入射角θ不同的粒子，出射方向不同，带电粒子离开磁场时仍是沿各方向运动的，不过由于粒子做匀速圆周运动轨迹半径r的不同出射角α所在的范围不同，下面分情况讨论.
11r﹤R的情况
当r
12r>R的情况
当r>R时，根据（4）式，无论入射角θ多大，因为R2 r2-2Rrsinθ>0，cosθ≥0得到cosα≥0，α≤90°，粒子在磁场边界上向右上方射出.根据（5）式，当sinθ<2RrR2 r2时，2Rr-（R2 r2）sinθ>0，（cosα）′θ>0，随θ角的增大，cosα增大，出射角α减小；当sinθ>2RrR2 r2时，2Rr-（R2 r2）sinθ<0，（cosα）′θ<0， 随θ角的增大，cosα减小，α增大.
r=R的情况完全不同于前面两种情形.
2非常有意思的r=R的特殊情况
r=R也就是带电粒子做匀速圆周运动的轨迹半径等于圆形匀强磁场区域的半径时，由（4）式可以知道： 无论入射角θ多大，因为r=R，总有cosα=0，于是α=90°，这说明所有的带电粒子到达磁场边界时出射角都相同，都垂直于圆形磁场区域过入射点的直径，发散的带电粒子束通过磁场偏转转变为平行的带电粒子束，但入射角θ不同的粒子出磁场时速度方向的偏转角仍然是不相同的.
这种情况如图2所示.证明如下：∵ r=R，∴ OO1=O1B=O2B=OO2=R，因而四边形OO1BO2是菱形，出射速度V垂直于粒子匀速圆周运动轨迹半径O2B，而O2B∥OA，出射速度V當然也就垂直x轴了.
同样地，一束完全相同的带电粒子平行入射到一个圆形匀强磁场区域的边界上，各粒子速度的大小相同，粒子受洛伦兹力做匀速圆周运动发生偏转，如果粒子做圆周运动的轨迹半径r等于圆形磁场区域半径R，所有粒子偏转后的轨迹将通过磁场边界上的同一点.这一问题是上面的问题的逆过程.