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数学语言包含文字、符号、图形三种,是在数学思维中产生和发展的,又是数学思维不可缺少的重要工具。在一定意义上,“数学教学就是数学语言的教学”。圆锥曲线教学圆锥曲线(椭圆、双曲线、抛物线三种曲线)是中学数学的重要内容之一。作为语言的载体,圆锥曲线语言呈现出文字语言美、符号语言美、图形美三方面。
1.文字表述美
圆锥曲线中对概念、性质的表述,文字准确、简明,体现了数学的简洁美。如,椭圆的定义简练、严谨,内涵丰富,一字之差则情况相差万里。若无“在平面内”则形成一个椭球;而无“大于 ”则形成线段或作不出任何图形。每词、每句相互作用、联系,构成了其定义的完美描述,是数学的简洁美的充分体现。用凝练的语言概括出丰富的内容,外表简单而内在意义深远,这也是数学语言形式美与内在理性美的表现。
2.符号语言美
椭圆与双曲线的标准方程具有简单整齐之美,而抛物线标准方程则出现了奇异美(不是关于x,y的二次方程)。又如双曲线概念的集合语言表示为:
言简意赅,精炼准确。离心率 把三种圆锥曲线的几何共性统一起来,通过极坐标方程 将圆锥曲线的方程统一了起来,表现出外在形式的极为简洁性。
3.图形语言美
圆锥曲线的图形具有简明性、对称性、概括性和趣味性。三种曲线都可用实物操作得到,也可演示相关的课件,形象、直观,妙趣横生。比如,双曲线的渐进线宛如一双蝴蝶的翅膀从天边而来又飞向天边去—欲达而不能,这不知会激起多少学子的遐思迩想;此时再看椭圆和抛物线,又会让你心胸开阔,都关于坐标轴及原点对称,具有对称美,抛物线则只关于一条坐标轴对称,奇异美更显突兀。
4.方法美、逻辑美
圆锥曲线以坐标为出发点,以曲线的方程和方程的曲线为源泉,浇构了几何与代数紧密结合的解析几何的艺术精品,使学生进入到形中有数,数中有形的数学美境;其又以定义和性质为重点,以灵活应用为最终目的,知识脉络清晰,错落有致,系统有序,对问题的研究抓住重点,类比展开,终以 统摄全局,使圆锥曲线形成了不可分割的统一体,充分展现了其知识结构的和谐美、逻辑美。数学是客观世界经过人类精神加工的理性创造物。源于数学美的考虑,在求曲线的方程时,建立的坐标系都对称和谐,受数学美的驱使。在推导双曲线的方程时,首先得到:
,
这是双曲线的方程。但因为它不符合数学美的要求,因此,必须进一步简化,得到,①
将两边平方整理得: ,该式虽比前一式简洁多了,但还未能达到数学美的最高境界。故想到补美的思想,令 ,且b>0,则有:
同时,①式也可以变形为:
这样就把双曲线的两种定义联系起来了,体现了数学美的方法功能,反映出统一美和逻辑美,这也是人的本质力量的再现。可见,教学中善于挖掘数学美,积累数学美的素材,丰富学生数学美的体验和情感,具有优化教学、促进学生素质发展的重要教育价值。但这也对教师提出了很高的要求,教师必须加强美学修养,科学设计教学过程。如对椭圆标准方程的推导,从坐标系的建立到标准方程的形成,处处都闪耀着数学美的思想,这就需要通过过程教学,在过程中让学生体验、感受数学美的真谛。否则,学生面对方程只会感到是一些符号的堆积。
1.文字表述美
圆锥曲线中对概念、性质的表述,文字准确、简明,体现了数学的简洁美。如,椭圆的定义简练、严谨,内涵丰富,一字之差则情况相差万里。若无“在平面内”则形成一个椭球;而无“大于 ”则形成线段或作不出任何图形。每词、每句相互作用、联系,构成了其定义的完美描述,是数学的简洁美的充分体现。用凝练的语言概括出丰富的内容,外表简单而内在意义深远,这也是数学语言形式美与内在理性美的表现。
2.符号语言美
椭圆与双曲线的标准方程具有简单整齐之美,而抛物线标准方程则出现了奇异美(不是关于x,y的二次方程)。又如双曲线概念的集合语言表示为:
言简意赅,精炼准确。离心率 把三种圆锥曲线的几何共性统一起来,通过极坐标方程 将圆锥曲线的方程统一了起来,表现出外在形式的极为简洁性。
3.图形语言美
圆锥曲线的图形具有简明性、对称性、概括性和趣味性。三种曲线都可用实物操作得到,也可演示相关的课件,形象、直观,妙趣横生。比如,双曲线的渐进线宛如一双蝴蝶的翅膀从天边而来又飞向天边去—欲达而不能,这不知会激起多少学子的遐思迩想;此时再看椭圆和抛物线,又会让你心胸开阔,都关于坐标轴及原点对称,具有对称美,抛物线则只关于一条坐标轴对称,奇异美更显突兀。
4.方法美、逻辑美
圆锥曲线以坐标为出发点,以曲线的方程和方程的曲线为源泉,浇构了几何与代数紧密结合的解析几何的艺术精品,使学生进入到形中有数,数中有形的数学美境;其又以定义和性质为重点,以灵活应用为最终目的,知识脉络清晰,错落有致,系统有序,对问题的研究抓住重点,类比展开,终以 统摄全局,使圆锥曲线形成了不可分割的统一体,充分展现了其知识结构的和谐美、逻辑美。数学是客观世界经过人类精神加工的理性创造物。源于数学美的考虑,在求曲线的方程时,建立的坐标系都对称和谐,受数学美的驱使。在推导双曲线的方程时,首先得到:
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这是双曲线的方程。但因为它不符合数学美的要求,因此,必须进一步简化,得到,①
将两边平方整理得: ,该式虽比前一式简洁多了,但还未能达到数学美的最高境界。故想到补美的思想,令 ,且b>0,则有:
同时,①式也可以变形为:
这样就把双曲线的两种定义联系起来了,体现了数学美的方法功能,反映出统一美和逻辑美,这也是人的本质力量的再现。可见,教学中善于挖掘数学美,积累数学美的素材,丰富学生数学美的体验和情感,具有优化教学、促进学生素质发展的重要教育价值。但这也对教师提出了很高的要求,教师必须加强美学修养,科学设计教学过程。如对椭圆标准方程的推导,从坐标系的建立到标准方程的形成,处处都闪耀着数学美的思想,这就需要通过过程教学,在过程中让学生体验、感受数学美的真谛。否则,学生面对方程只会感到是一些符号的堆积。