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摘要： 随着近年来中学数学教育改革的顺利进行，高等数学的思想理念逐渐渗透到中学的数学教学之中，并对中学数学起到一定的指导作用。用高等数学的理论和方法来分析和理解一些中学数学问题，不仅能够使问题更加的清晰和明确，同时还改变了学生传统思维方式，扩宽了中学数学解题思路。文章就此对积分在中学圆锥曲线中的应用进行了探讨，具体内容供大家参考和借鉴。
关键词： 积分；圆锥曲线；应用
【中图分类号】G633.6【文献标识码】A【文章编号】2236-1879（2018）01-0094-02
前言
高考就是为高等院校选拔学生的一个途径，一般高考的命题都是高校教师进行设定的，其为了考察学生继续深造的潜能，“试题在主体上考查中学数学知识的同时，体现了进一步学习高等数学的必要（性？）”是很自然的。近年的高考压轴题多次出现以拉格朗日中值定理、泰勒定理、积分型柯西不等式、琴生不等式、贝努利不等式、卡尔曼不等式、阿贝尔变换、伯恩斯坦多项式、不动点定理等高等数学中的定理为背景编制的题目。因此，中学数学教学过程中，也应该适当引用一些高等数学解题思路。
1导数在圆锥曲线中的应用
1.1求圆锥曲线的切线方程。
在求过曲线上点的切线方程的关键就是求该点处的切线斜率，而利用导数求函数图像的切线斜率已经成为中学数学中一种常用的方法。但是圆锥曲线所对应的方程并不是都能够组成函数，其中圆的切线方程用数形结合的方式可以较快解决，但是求圆锥曲线的切线方程，由于牵涉的知识面较广，解题中的技巧性较强，历来是中学数学中的一个难点。本文从隐函数的角度来展示利用高等数学求切线方程所带来的简便性。
引例：求圆C：x2+y2=1在点A（m，n）处的切线方程。
方法一：可以从x2+y2=1中解出y=±1-x2，然后利用复合函数的求导求解该问题，但大部分情况下该法的计算量都较大。
方法二：在使用的过程中需要用到隐函数，而隐函数则是由自由变量和因变量混合在一起的方程H（x，y）=0，在一定条件下也表示y与x之间的函数关系。
方程x2+y2=1在一定条件下（如y>0）可以表示为y与x之间的函数关系，因此可考虑用隐函数求导法。具体过程如下：
对方程两边关于变量x求导，得：
2x+2yy′=0
解得：y′=-xy
所以，所求的切线方程为：
y-n=-mn（x-m）
化简得到：m（x-m）+n（y-n）=0
1.2求中点弦。
运行几何画板我们可以得到以下结论：对于有心圆锥曲线的任一条弦，按比例缩小图形，则一定存在该曲线的位似曲线与弦AB相切且切于AB中点P。
以椭圆x2a2+y2b2=1（a>b>0）为例，此时的位似曲线方程为：
对位似曲线方程的两边同时求导，结果一致。这就说明y′x与位似比t无关，因此，利用导数求中点弦的斜率，就是求在y′x中点处的值。
2定积分在圆锥曲线中的应用
例：已知直线l：y=kx+b与抛物线C：相交于不同的两点M，N。直线l1，l2分别是抛物线C在点M，N处的切线，且l1∩l2。若l1，l2，分别交x轴于A，B两点，且|AB|=1。
第一，记点M，N的横坐标分别为m，n，试求出满足有关m，n的关系式；
第二，求证：ΔMNP的面积为定值。
2.1方法一。
以上问题中的第二问题涉及到三角形的面积问题，在解题过程中，我们可以采用求弦长的方法，求得点到直线的距离，然后再利用三角形面积公式来解几何问题。在新课改的数学教学标准中，已经初步了解到了定积分的概念以及其简单的应用，而在数学中的简单应用主要体现在会求简单曲边梯形的面积。由于三角形也是特殊的曲边梯形，基于此想法，此题若假定m 直线MN的方程为：y=（m+n）x-mn
切线l1的方程式为：y=2mx-m2，
切线l2的方程式为：y=2nx-n2
从中不难看出，如果学生对定积分的计算掌握的比较熟练，则计算此种类型的问题比较容易，并且同传统的解题方法相比较，此种方法有效避免了弦长和点到直线距离的计算。
2.2方法二。
定积分在中学数学教学中的主要应用在于求曲边梯形的面积，由下图在条件m-n=2，我们不妨来计算直线MN与抛物线围成的曲边梯形的面积，即阴影部分的面积如下：
从上式中得到的答案，我们不难看出，此阴影面积也是一个定值，并且这个式子的计算量较小。同传统的求三角形面积相比，这种求曲边梯形的面积采用定积分更具有优越性。再例如，若要求两切线与抛物线围成的曲边梯形的面积，直接用定积分计算的话需要进行分割，不妨采用间接的方法即利用ΔMNP的面積减去图中阴影部分的面积就可得到，即：
结束语
综上所述，在中学数学学习过程中，利用定积分的方法来求曲边梯形的面积，能够同圆锥曲线中特别是针对抛物线的相关问题相结合，从而产生一些意想不到的效果。总之，定积分作为新课改新教材添加进来的新内容，教师和学生一定要引起重视。这不仅能够扩宽学生们的解题思路，同时还能够提高学生们的综合数学素质。
参考文献
[1]展国培.在解题教学中深化核心概念的理解——以“切线的斜率”的教学为例[J].中小学数学（高中版），2015（Z2）：93-95.
[2]张秀蓉，张小蓉.微积分在圆锥曲线中的应用[J].语数外学习（高中数学教学），2014（03）：66.
[3]方胜乐，余必贵.定积分在圆锥曲线中的应用[J].语数外学习（高考数学），2011（11）：18-19.
关键词： 积分；圆锥曲线；应用
【中图分类号】G633.6【文献标识码】A【文章编号】2236-1879（2018）01-0094-02
前言
高考就是为高等院校选拔学生的一个途径，一般高考的命题都是高校教师进行设定的，其为了考察学生继续深造的潜能，“试题在主体上考查中学数学知识的同时，体现了进一步学习高等数学的必要（性？）”是很自然的。近年的高考压轴题多次出现以拉格朗日中值定理、泰勒定理、积分型柯西不等式、琴生不等式、贝努利不等式、卡尔曼不等式、阿贝尔变换、伯恩斯坦多项式、不动点定理等高等数学中的定理为背景编制的题目。因此，中学数学教学过程中，也应该适当引用一些高等数学解题思路。
1导数在圆锥曲线中的应用
1.1求圆锥曲线的切线方程。
在求过曲线上点的切线方程的关键就是求该点处的切线斜率，而利用导数求函数图像的切线斜率已经成为中学数学中一种常用的方法。但是圆锥曲线所对应的方程并不是都能够组成函数，其中圆的切线方程用数形结合的方式可以较快解决，但是求圆锥曲线的切线方程，由于牵涉的知识面较广，解题中的技巧性较强，历来是中学数学中的一个难点。本文从隐函数的角度来展示利用高等数学求切线方程所带来的简便性。
引例：求圆C：x2+y2=1在点A（m，n）处的切线方程。
方法一：可以从x2+y2=1中解出y=±1-x2，然后利用复合函数的求导求解该问题，但大部分情况下该法的计算量都较大。
方法二：在使用的过程中需要用到隐函数，而隐函数则是由自由变量和因变量混合在一起的方程H（x，y）=0，在一定条件下也表示y与x之间的函数关系。
方程x2+y2=1在一定条件下（如y>0）可以表示为y与x之间的函数关系，因此可考虑用隐函数求导法。具体过程如下：
对方程两边关于变量x求导，得：
2x+2yy′=0
解得：y′=-xy
所以，所求的切线方程为：
y-n=-mn（x-m）
化简得到：m（x-m）+n（y-n）=0
1.2求中点弦。
运行几何画板我们可以得到以下结论：对于有心圆锥曲线的任一条弦，按比例缩小图形，则一定存在该曲线的位似曲线与弦AB相切且切于AB中点P。
以椭圆x2a2+y2b2=1（a>b>0）为例，此时的位似曲线方程为：
对位似曲线方程的两边同时求导，结果一致。这就说明y′x与位似比t无关，因此，利用导数求中点弦的斜率，就是求在y′x中点处的值。
2定积分在圆锥曲线中的应用
例：已知直线l：y=kx+b与抛物线C：相交于不同的两点M，N。直线l1，l2分别是抛物线C在点M，N处的切线，且l1∩l2。若l1，l2，分别交x轴于A，B两点，且|AB|=1。
第一，记点M，N的横坐标分别为m，n，试求出满足有关m，n的关系式；
第二，求证：ΔMNP的面积为定值。
2.1方法一。
以上问题中的第二问题涉及到三角形的面积问题，在解题过程中，我们可以采用求弦长的方法，求得点到直线的距离，然后再利用三角形面积公式来解几何问题。在新课改的数学教学标准中，已经初步了解到了定积分的概念以及其简单的应用，而在数学中的简单应用主要体现在会求简单曲边梯形的面积。由于三角形也是特殊的曲边梯形，基于此想法，此题若假定m
切线l1的方程式为：y=2mx-m2，
切线l2的方程式为：y=2nx-n2
从中不难看出，如果学生对定积分的计算掌握的比较熟练，则计算此种类型的问题比较容易，并且同传统的解题方法相比较，此种方法有效避免了弦长和点到直线距离的计算。
2.2方法二。
定积分在中学数学教学中的主要应用在于求曲边梯形的面积，由下图在条件m-n=2，我们不妨来计算直线MN与抛物线围成的曲边梯形的面积，即阴影部分的面积如下：
从上式中得到的答案，我们不难看出，此阴影面积也是一个定值，并且这个式子的计算量较小。同传统的求三角形面积相比，这种求曲边梯形的面积采用定积分更具有优越性。再例如，若要求两切线与抛物线围成的曲边梯形的面积，直接用定积分计算的话需要进行分割，不妨采用间接的方法即利用ΔMNP的面積减去图中阴影部分的面积就可得到，即：
结束语
综上所述，在中学数学学习过程中，利用定积分的方法来求曲边梯形的面积，能够同圆锥曲线中特别是针对抛物线的相关问题相结合，从而产生一些意想不到的效果。总之，定积分作为新课改新教材添加进来的新内容，教师和学生一定要引起重视。这不仅能够扩宽学生们的解题思路，同时还能够提高学生们的综合数学素质。
参考文献
[1]展国培.在解题教学中深化核心概念的理解——以“切线的斜率”的教学为例[J].中小学数学（高中版），2015（Z2）：93-95.
[2]张秀蓉，张小蓉.微积分在圆锥曲线中的应用[J].语数外学习（高中数学教学），2014（03）：66.
[3]方胜乐，余必贵.定积分在圆锥曲线中的应用[J].语数外学习（高考数学），2011（11）：18-19.