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培养和发展学生深度思维，成为现代教学的核心价值和教学目标追求。《数学课程标准》指出：数学教学要让学生初步学会用数学的思维方式去观察、分析现实社会，去解决日常其他学科中的问题。数学深度思维能力是指发生在数学活动中的较高认知水平层次上的心智活动或认知能力，它在数学教学目标中主要表现为分析、评价和创造。如今的部分数学习惯于死板的听讲，低级的模仿，缺乏发现问题和解决问题的意识和能力，培养学生的质疑意识与习惯，让他们敢于质疑，敢于创新，成为当务之急。下面笔者就复习课"运动路径问题"，探寻如何用"问题"引领学生深度思维。
一、适时设问 引领学生自主探究
教学片断1如图，在等腰直角三角形ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=2，点D为线段BC上一动点，从B运动到C，以AD为直角边且在AD的右侧作等腰直角三角形ADE，∠DAE=90°，AD=AE.求出点E运动的路径长。
学生运用动点路径问题的通性通法，先确定起点、过程点和终点的位置，探索出点E的大致形状，从而求出点E运动的路径长为2[2]。教师设问：大家有没有疑惑的地方？
学生1：怎么来说明点E的运动路径是线段？
学生2：可以运用“SAS”证明△ABD≌△ACE。
学生3：根据全等三角形性质得出∠ACE=∠ABD=45°，因为线段AC固定，而∠ACE始终等于45°，即E点沿着线段运动。
学生4： 可以通过瓜豆原理来理解，主动点是D，从动点是E，点E是点D绕A逆时针旋转90°得到，点D的运动路径是线段BC，所以点E的运动路径就是线段BC绕A逆时针旋转90°得到的线段，它的路径长就等于线段BC的长。
教师适时设疑，学生们你一言，我一语，引发学生自主释疑，让学生对运动路径的感性认知上升为理性认识。学生之间的思维方式更接近，对知识的本质的理解更容易接受，从而营造全员参与、主动探究的课堂氛围，唤醒学生的自主意识，促进学生的认知情感，由消極被动状态转向积极主动状态。
二、适时合作 引领学生多维探究
教学片断2 如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，点D是BC边上一定点，且CD=1，点E是线段DB上一动点，连接AE，以AE为斜边在AE的右侧作等腰直角△AEF.当点E从点D出发运动至点B停止时，点F的运动的路径长为____。
学生分组交流后发现，问题的关键又聚焦到如何说明点E的运动路径是线段。
方法1：全等变换
如图，连接CF，作FM⊥BC于M，FN⊥AC于N.先证明△FNA≌△FME（AAS），可得FM=FM，AN=EM，又由四边形CMFN是正方形，可知∠FCN=45°是一个定角，再加上定线段CA，所以点F沿线段运动，从而求得点F的运动的路径长为[322]。
方法2：相似变换
先确定起始位置[△ADF1]和运动过程中任一位置△AEF，连结 [F1]F，先证明△ADE和△A[F1]F相似，故∠A[F1]F=∠ADE，而∠ADE是 定角，从而∠A[F1]F是定角，再加上定线段[F1]A，所以点F的运动路径是线段。
方法3：组合变换
本题是一个双动点问题，主动点E的运动路径是线段DB，从动点F是绕A逆时针旋转45°，再以A为位似中心，按位似比[2]：1缩小得到，所以点F的运动路径就是：线段BD绕A逆时针旋转45°，并缩小到原来的[2]分之一，从而求得点F的运动的路径长为[322]。
通过小组释疑，灵活运用几何性质确定图形运动过程中不变的几何量，从全等变换、相似变换、四点共圆、函数思想、组合变换等多种角度，去审视题目的本质，从而判定出轨迹的几何特征，潜移默化中，学生的问题意识和质疑能力得以提升。
三、适时延伸 引领学生深度探究
教学片断3 如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（2，0），点B的坐标为（5，0），点P为线段AB外一动点，且PA=2，PM=PB，∠BPM=90°，点M的运动路径长为_____。
借助轨迹思想，学生先抓牢题中的不变量，很明显平面直角坐标系、点A（2，0）与点B（5，0）是本题中的不变元素;题中涉及两个动点P和M，其中主动点是点P，从动点是点M，它随着动点P的运动而运动。
主动点P的轨迹是：以定点A为圆心，2为半径的⊙A，即动点P的轨迹是一个整圆⊙A，如图1所示。
每给定一个点P，从动点P就绕点B顺时针旋转45度，再以定点B为位似中心，按位似比1：[2]放大，得到点M，如图2和图3所示，从而得到点M的运动路径依然是一整圆。
我们先确定点M所在圆的圆心，把⊙A的圆心A绕点B顺时针旋转45度，再以B为位似中心，按位似比1：[2]放大（先旋转，后位似——捆绑变换），得到M所在的圆的圆心，记为C，则圆心C的坐标
为（2，3）;再确定半径，半径是⊙A的半径的[2]倍，故⊙C的半径长为2[2]。从而点M的运动路径是：以点C为圆心，以2[2]为半径的圆，如图4所示，最后求得其运动路径长为4[2]π。
通过本题的拓展延伸，有利于巩固运动轨迹问题的通解通法，更重要的是能提炼问题本质，深化数学思想。在此过程中，学生学会发现、学会创造，从而培养了学生的科学探究能力。
四、教学启示
关于学生探究的重要性，温伯格曾言：最好的学生与次好的学生的区别不在于知识的多少，而在于对未知领域的探究能力。这就要求我们摒弃从前灌输式的固化教学形式，合理设计问题，适时质疑，驱动学生主动探究、深入探究，感悟数学思维过程，积累数学活动经验，提升数学核心素养，发展数学创新能力。让质疑成为一种能力，成为一种习惯，在主动探究的数学课堂中，享受教学相长的快乐。
一、适时设问 引领学生自主探究
教学片断1如图，在等腰直角三角形ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=2，点D为线段BC上一动点，从B运动到C，以AD为直角边且在AD的右侧作等腰直角三角形ADE，∠DAE=90°，AD=AE.求出点E运动的路径长。
学生运用动点路径问题的通性通法，先确定起点、过程点和终点的位置，探索出点E的大致形状，从而求出点E运动的路径长为2[2]。教师设问：大家有没有疑惑的地方？
学生1：怎么来说明点E的运动路径是线段？
学生2：可以运用“SAS”证明△ABD≌△ACE。
学生3：根据全等三角形性质得出∠ACE=∠ABD=45°，因为线段AC固定，而∠ACE始终等于45°，即E点沿着线段运动。
学生4： 可以通过瓜豆原理来理解，主动点是D，从动点是E，点E是点D绕A逆时针旋转90°得到，点D的运动路径是线段BC，所以点E的运动路径就是线段BC绕A逆时针旋转90°得到的线段，它的路径长就等于线段BC的长。
教师适时设疑，学生们你一言，我一语，引发学生自主释疑，让学生对运动路径的感性认知上升为理性认识。学生之间的思维方式更接近，对知识的本质的理解更容易接受，从而营造全员参与、主动探究的课堂氛围，唤醒学生的自主意识，促进学生的认知情感，由消極被动状态转向积极主动状态。
二、适时合作 引领学生多维探究
教学片断2 如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，点D是BC边上一定点，且CD=1，点E是线段DB上一动点，连接AE，以AE为斜边在AE的右侧作等腰直角△AEF.当点E从点D出发运动至点B停止时，点F的运动的路径长为____。
学生分组交流后发现，问题的关键又聚焦到如何说明点E的运动路径是线段。
方法1：全等变换
如图，连接CF，作FM⊥BC于M，FN⊥AC于N.先证明△FNA≌△FME（AAS），可得FM=FM，AN=EM，又由四边形CMFN是正方形，可知∠FCN=45°是一个定角，再加上定线段CA，所以点F沿线段运动，从而求得点F的运动的路径长为[322]。
方法2：相似变换
先确定起始位置[△ADF1]和运动过程中任一位置△AEF，连结 [F1]F，先证明△ADE和△A[F1]F相似，故∠A[F1]F=∠ADE，而∠ADE是 定角，从而∠A[F1]F是定角，再加上定线段[F1]A，所以点F的运动路径是线段。
方法3：组合变换
本题是一个双动点问题，主动点E的运动路径是线段DB，从动点F是绕A逆时针旋转45°，再以A为位似中心，按位似比[2]：1缩小得到，所以点F的运动路径就是：线段BD绕A逆时针旋转45°，并缩小到原来的[2]分之一，从而求得点F的运动的路径长为[322]。
通过小组释疑，灵活运用几何性质确定图形运动过程中不变的几何量，从全等变换、相似变换、四点共圆、函数思想、组合变换等多种角度，去审视题目的本质，从而判定出轨迹的几何特征，潜移默化中，学生的问题意识和质疑能力得以提升。
三、适时延伸 引领学生深度探究
教学片断3 如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（2，0），点B的坐标为（5，0），点P为线段AB外一动点，且PA=2，PM=PB，∠BPM=90°，点M的运动路径长为_____。
借助轨迹思想，学生先抓牢题中的不变量，很明显平面直角坐标系、点A（2，0）与点B（5，0）是本题中的不变元素;题中涉及两个动点P和M，其中主动点是点P，从动点是点M，它随着动点P的运动而运动。
主动点P的轨迹是：以定点A为圆心，2为半径的⊙A，即动点P的轨迹是一个整圆⊙A，如图1所示。
每给定一个点P，从动点P就绕点B顺时针旋转45度，再以定点B为位似中心，按位似比1：[2]放大，得到点M，如图2和图3所示，从而得到点M的运动路径依然是一整圆。
我们先确定点M所在圆的圆心，把⊙A的圆心A绕点B顺时针旋转45度，再以B为位似中心，按位似比1：[2]放大（先旋转，后位似——捆绑变换），得到M所在的圆的圆心，记为C，则圆心C的坐标
为（2，3）;再确定半径，半径是⊙A的半径的[2]倍，故⊙C的半径长为2[2]。从而点M的运动路径是：以点C为圆心，以2[2]为半径的圆，如图4所示，最后求得其运动路径长为4[2]π。
通过本题的拓展延伸，有利于巩固运动轨迹问题的通解通法，更重要的是能提炼问题本质，深化数学思想。在此过程中，学生学会发现、学会创造，从而培养了学生的科学探究能力。
四、教学启示
关于学生探究的重要性，温伯格曾言：最好的学生与次好的学生的区别不在于知识的多少，而在于对未知领域的探究能力。这就要求我们摒弃从前灌输式的固化教学形式，合理设计问题，适时质疑，驱动学生主动探究、深入探究，感悟数学思维过程，积累数学活动经验，提升数学核心素养，发展数学创新能力。让质疑成为一种能力，成为一种习惯，在主动探究的数学课堂中，享受教学相长的快乐。