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摘 要： 提高学生综合分析能力是帮助学生解答应用题的重要教学手段。作为巩固环节的作业，教师在设计上要转变观念，以学生为本，精心设计新颖、多样的题型；注重学习与生活的结合，学以致用；使学生的知识得以巩固，思维得到锻炼；让学生在丰富多彩的作业中感受到学习的乐趣，合作的愉快，成功的喜悦。
关键词： 初中数学练习 一题多问 一题多解 一题多变
数学作业设计，就是以培养学生的分析能力、思维能力、创新能力为目标，通过设计针对性强的数学作业，帮助学生真正理解和掌握数学知识与技能、思想和方法，获得广泛的数学活动经验.
一、一题多问，让学生各有所思
一题多问是就相同条件，启发学生通过联想，提出不同问题，以此培养学生思维的灵活性.
例1：已知：如图1，⊙A与y轴交于C、D两点，圆心A的坐标为（1，0），⊙A的半径为，过C作⊙A的切线交x轴于点B.（1）求切线BC的解析式.（2）若点P是第一象限内⊙A上的一点，过点P作⊙A的切线与直线BC相交于点G，且∠CGP=120°，求点G的坐标.（3）向左移动⊙A（圆心A始终保持在x轴上），与直线BC交于E、F，在移动过程中是否存在点A，使△AEF是直角三角形？若存在，求出点A的坐标；若不存在，请说明理由.
分析：（1）连接AC，由勾股定理可求出OC的长，进而得出C点坐标，同理，由切线的性质及勾股定理即可得出OB的长，进而求出B点坐标，再用待定系数法即可求出过BC两点的直线解析式.
解答：（1）连接AC，则OC==2，故点C的坐标为（0，2），∵BC为⊙O的切线，∴AC⊥BC.在Rt△ABC中，（OB+OA）=BC+AC，即（OB+1）2=BC+5①.在Rt△OBC中，BC=OB+OC，即OC=OB+4②，①②联立，得OB=4.∴点B的坐标为（-4，0），∴直线BC的解析式为y=x+2.
这是一道探究型数学题，三个问题、三个阶梯，适合三种层次的学生，同时也有利于学生循序渐进，逐步探索.
二、一题多解，让学生各尽所能
一题多解主要指根据实际情况，从不同角度启发诱导学生得到新的解题思路和解题方法，沟通解与解之间的内在联系，选出最佳解题方案，从而培养了思维的灵活性.
例如，例1的（2）（3）小题都有两种解法.
分析：（2）过G点作x轴垂线，垂足为H，连接AG，设G（x， y），在Rt△ACG中利用锐角三角函数的定义可求出CG的长，由勾股定理可得出BC的长，由OC∥GH可得出=，进而可求出G点坐标.
（3）假设△AEF为直角三角形，由AE=AF可判断出△AEF为等腰三角形，可得出∠EAF=90°，过A作AM⊥BC于M，在Rt△AEF中利用勾股定理可求出EF的长度，证出△BOC∽△BMA，由相似三角形的性质可得出A点坐标；当圆心A在点B的左侧时，设圆心为A′，过A′作A′M′⊥BC于M′，可得△A′M′B′≌△AMB，由全等三角形的性质可得出A′点的坐标.
（2）解法一：如图2：过G点作x轴垂线，垂足为H，连接AG，设G（x，y），
在Rt△ACG中，∠AGC=60°，AC=，求得CG=，又∵OB=4，∴BC==2.∵OC∥GH，∴=，则OH=，即x=.又∵点G在直线BC上，∴y=×+2=+2，∴G点坐标为（，+2）.
解法二：过G点作y轴垂线，垂足为H，连接AG.
在Rt△ACG中，∠AGC=60°，AC=，求得CG=，由△BCO∽△GCH，得==，即GH=2CH，在Rt△CHG中，CG=，GH=2CH，得CH=，HG=，∴G（，+2）.
在移动过程中，存在点A，使△AEF为直角三角形.若△AEF为直角三角形，∵AE=AF，∴△AEF为等腰三角形，∴∠AEF=∠AFE≠90°，∴∠EAF=90°，过A作AM⊥BC于M，在Rt△AEF中，EF===，AM=EF=，证出△BOC∽△BMA，得=，而BC===2，OC=2，可得AB=，∴OA=4-，∴A（-4+，0）.
当圆心A在点B的左侧时，设圆心为A′，过A′作A′M′⊥BC于M′，可得△A′M′B′≌△AMB，∴A′B=AB=，∴OA′=OB+A′B=4+，∴A′（-4-，0），∴A坐标为（-4+，0）或A′坐标为（-4-，0）.
本题考查的是切线的性质及相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质，待定系数法求一次函数的解析式，涉及面较广，难度较大.
三、一题多变，让学生各有所获
这种练习，有助于启发引导学生分析比较其异同点，抓住问题的实质，考虑各种因素，对问题本质特征，形成正确的认识，进而更深刻地理解所学知识，促进学生思维的发展.
例2：如图4，D、E分别为△ABC的边AB、AC上的点，BE与CD相交于O点.现有四个条件：①AB＝AC；②OB＝OC；③∠ABE＝∠ACD；④∠ABC＝∠ACB.
（1）请你选出两个条件作为题设，余下的两个作为结论，写出一个正确的命题.
命题的条件是①和②，命题的结论是③和④（均填序号）.
（2）证明你写出的命题.
已知：△ABC中，AB＝AC，BE与CD相交于O点，OB＝OC.
求证：∠ABE＝∠ACD，BE＝CD.
证明：∵OB＝OC，∴∠OBC＝∠OCB，∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，
∴∠ABC－∠OBC＝∠ACB－∠OCB，∴∠ABE＝∠ACD.
又∵AB=AC，∠A=∠A，∴△ABE≌△ACD，∴BE＝CD.
学生还可以通过条件和结论的变化，多角度地思考解答题目，从而不断地加深对数量关系的理解，使思维从具体不断地向抽象过渡，发展了逻辑思维，提高了分析、解答应用题的能力.
总之，精心设计数学练习，能培养学生从不同方向去分析、思考问题，克服思维定势的不利因素，开拓思路，运用知识的迁移，使学生能正确、灵活地解答千变万化的数学题.不仅能调动学生浓厚的学习兴趣，而且能沟通知识间的内在联系，使知识深化，达到以点带面、举一反三、触类旁通的目的.
关键词： 初中数学练习 一题多问 一题多解 一题多变
数学作业设计，就是以培养学生的分析能力、思维能力、创新能力为目标，通过设计针对性强的数学作业，帮助学生真正理解和掌握数学知识与技能、思想和方法，获得广泛的数学活动经验.
一、一题多问，让学生各有所思
一题多问是就相同条件，启发学生通过联想，提出不同问题，以此培养学生思维的灵活性.
例1：已知：如图1，⊙A与y轴交于C、D两点，圆心A的坐标为（1，0），⊙A的半径为，过C作⊙A的切线交x轴于点B.（1）求切线BC的解析式.（2）若点P是第一象限内⊙A上的一点，过点P作⊙A的切线与直线BC相交于点G，且∠CGP=120°，求点G的坐标.（3）向左移动⊙A（圆心A始终保持在x轴上），与直线BC交于E、F，在移动过程中是否存在点A，使△AEF是直角三角形？若存在，求出点A的坐标；若不存在，请说明理由.
分析：（1）连接AC，由勾股定理可求出OC的长，进而得出C点坐标，同理，由切线的性质及勾股定理即可得出OB的长，进而求出B点坐标，再用待定系数法即可求出过BC两点的直线解析式.
解答：（1）连接AC，则OC==2，故点C的坐标为（0，2），∵BC为⊙O的切线，∴AC⊥BC.在Rt△ABC中，（OB+OA）=BC+AC，即（OB+1）2=BC+5①.在Rt△OBC中，BC=OB+OC，即OC=OB+4②，①②联立，得OB=4.∴点B的坐标为（-4，0），∴直线BC的解析式为y=x+2.
这是一道探究型数学题，三个问题、三个阶梯，适合三种层次的学生，同时也有利于学生循序渐进，逐步探索.
二、一题多解，让学生各尽所能
一题多解主要指根据实际情况，从不同角度启发诱导学生得到新的解题思路和解题方法，沟通解与解之间的内在联系，选出最佳解题方案，从而培养了思维的灵活性.
例如，例1的（2）（3）小题都有两种解法.
分析：（2）过G点作x轴垂线，垂足为H，连接AG，设G（x， y），在Rt△ACG中利用锐角三角函数的定义可求出CG的长，由勾股定理可得出BC的长，由OC∥GH可得出=，进而可求出G点坐标.
（3）假设△AEF为直角三角形，由AE=AF可判断出△AEF为等腰三角形，可得出∠EAF=90°，过A作AM⊥BC于M，在Rt△AEF中利用勾股定理可求出EF的长度，证出△BOC∽△BMA，由相似三角形的性质可得出A点坐标；当圆心A在点B的左侧时，设圆心为A′，过A′作A′M′⊥BC于M′，可得△A′M′B′≌△AMB，由全等三角形的性质可得出A′点的坐标.
（2）解法一：如图2：过G点作x轴垂线，垂足为H，连接AG，设G（x，y），
在Rt△ACG中，∠AGC=60°，AC=，求得CG=，又∵OB=4，∴BC==2.∵OC∥GH，∴=，则OH=，即x=.又∵点G在直线BC上，∴y=×+2=+2，∴G点坐标为（，+2）.
解法二：过G点作y轴垂线，垂足为H，连接AG.
在Rt△ACG中，∠AGC=60°，AC=，求得CG=，由△BCO∽△GCH，得==，即GH=2CH，在Rt△CHG中，CG=，GH=2CH，得CH=，HG=，∴G（，+2）.
在移动过程中，存在点A，使△AEF为直角三角形.若△AEF为直角三角形，∵AE=AF，∴△AEF为等腰三角形，∴∠AEF=∠AFE≠90°，∴∠EAF=90°，过A作AM⊥BC于M，在Rt△AEF中，EF===，AM=EF=，证出△BOC∽△BMA，得=，而BC===2，OC=2，可得AB=，∴OA=4-，∴A（-4+，0）.
当圆心A在点B的左侧时，设圆心为A′，过A′作A′M′⊥BC于M′，可得△A′M′B′≌△AMB，∴A′B=AB=，∴OA′=OB+A′B=4+，∴A′（-4-，0），∴A坐标为（-4+，0）或A′坐标为（-4-，0）.
本题考查的是切线的性质及相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质，待定系数法求一次函数的解析式，涉及面较广，难度较大.
三、一题多变，让学生各有所获
这种练习，有助于启发引导学生分析比较其异同点，抓住问题的实质，考虑各种因素，对问题本质特征，形成正确的认识，进而更深刻地理解所学知识，促进学生思维的发展.
例2：如图4，D、E分别为△ABC的边AB、AC上的点，BE与CD相交于O点.现有四个条件：①AB＝AC；②OB＝OC；③∠ABE＝∠ACD；④∠ABC＝∠ACB.
（1）请你选出两个条件作为题设，余下的两个作为结论，写出一个正确的命题.
命题的条件是①和②，命题的结论是③和④（均填序号）.
（2）证明你写出的命题.
已知：△ABC中，AB＝AC，BE与CD相交于O点，OB＝OC.
求证：∠ABE＝∠ACD，BE＝CD.
证明：∵OB＝OC，∴∠OBC＝∠OCB，∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，
∴∠ABC－∠OBC＝∠ACB－∠OCB，∴∠ABE＝∠ACD.
又∵AB=AC，∠A=∠A，∴△ABE≌△ACD，∴BE＝CD.
学生还可以通过条件和结论的变化，多角度地思考解答题目，从而不断地加深对数量关系的理解，使思维从具体不断地向抽象过渡，发展了逻辑思维，提高了分析、解答应用题的能力.
总之，精心设计数学练习，能培养学生从不同方向去分析、思考问题，克服思维定势的不利因素，开拓思路，运用知识的迁移，使学生能正确、灵活地解答千变万化的数学题.不仅能调动学生浓厚的学习兴趣，而且能沟通知识间的内在联系，使知识深化，达到以点带面、举一反三、触类旁通的目的.