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图1泰州2013中考数学卷第25题：如图1，矩形ABCD中，点P在边CD上，且与C、D不重合，过点A作AP的垂线与CB的延长线相交于点Q，连接PQ，M为PQ的中点.
（1）求证：△ADP∽△ABQ；
（2）若AD=10，AB=20，点P在边CD上运动，设DP=x，BM2=y，求y与x的函数关系式，并求线段BM长的最小值；
（3）若AD=10，AB=a，DP=8，随着a的大小的变化，点M的位置也在变化.当点M落在矩形ABCD外部时，求a的取值范围.
1试题的形成
这道题的最初素材来源于课本上的一道练习题：如图3，E为正方形边CD上的动点，将△ADE绕A点顺时针旋转90°，得△ABF，问△AEF是什么三角形？
图2图3对这道题，取EF的中点G，改编成下面这道题：如图2，E为正方形边CD上的动点，将△ADE绕A点顺时针旋转90度，得△ABF，G为EF中点.下列结论：（1）G在△ABF的外接圆上；（2）EC=2BG；（3）B、G、D三点共线；⑷若S四边形BGEC=114S正方形ABCD，那么E为DC的黄金分割点.正确的有.
后来命题组觉得这道题比较好，又决定将它改编为压轴题.将正方形改为长方形，原来的第（2）小题是这样的：若AD=10，AB=20，点P在边CD上运动，当DP等于多少时？PC1BM=24113.由于这个问题比较难，又改掉了，最终就形成了第25题.
2试题的特色
中考后，这道题收到师生的广泛好评，普遍认为这道题具有鲜明的特色.
特色1：简洁明快，突出课标理念
本题是一道以三角形、矩形为载体的几何说理题，重点考查了三角形相似、三角形中位线、直角三角形斜边的中线、勾股定理、二次函数等知识，通过线段取值的变化、点的运动将零散的知识点串联，摆脱了对知识的单一考查，呈现形式突破常规，不落俗套，既尊重学生数学水平的差异，又有区分度，体现了“人人学有价值的数学，人人都能获得必需的数学”的基本理念.三角形、矩形“联姻”是传统图型，学生在熟悉的背景中舒缓紧张情绪，彰显了命题者的人文关怀，体现了命题者深入挖掘教材的智慧.
特色2：推陈出新，考查心理素质
中考命题应根据教材，推陈出新，似曾相识又有不同.此题的图形在苏科版初中数学教材中有多处熟悉的踪影.（1）八年级下册第P102第6题，P130“数学实验室”；（2）九年级上册P1例4，P27第12题.此题第1问证明相似，学生很容易入手，第2问笔锋一转，出现一张陌生面孔“BM2=y”，一些学生失去了思考的方向，花了很长时间，也没有找到突破口；另一些学生从容淡定，由“BM2”联想开去，想到三角形相似，发现题中无公共边，此路不通，迅速调整思路，将BM2与勾股定理联系一起，即可作出辅助线MN⊥QC于N，从而轻松解题.第3问的难度远远低于第2问，但（2）问解答不好，有的学生就直接放弃了（3）问，甚是可惜.中考，是知识、能力与心理素质的较量，此题有这样的鉴别功能，值得师生回味.
特色3：变通思维，考查符号意识
数学符号是数学的语言，是人们用数学解决问题的工具.本题的关键是将BM、BN、MN用x的代数式来表示.即将自然语言转换为数学符号语言，也就是“数学化”.但与考生交流时发现，学生往往没有这种“转换”的意识.其实，在不少几何计算题中都是用符号来表示相关的线段.本题考查的就是用不同语言表达问题的转换能力.
特色4：夯实基础，检查运算能力
“培养学生的运算能力”是数学新课标提出的教学目标之一.本题在找出解题思路后，要在（1）问的基础上，根据“AD、AB的长度，DP=x，BM2=y”等已知条件，用x、y的代数式表示线段“BQ、QN、BN”，再根据勾股定理列出二元二次方程（即二次函数解析式）.据了解，学生思路正确，计算失误的不在少数.解答本题需要学生有清晰的目标意识，扎实的基本功，才能提高计算的正确性.
特色5：形式新颖，突出对教与学的导向功能
（1）引导学生主动思考，积累经验
新课程改革给教学带来的最大变化就是教与学方式的改变.但在复习教学中，很多教师把数学复习等同于做题目，把大量时间花在解题与讲题上，用操练经验代替理性思考，导致学生善于模仿而疲于思考，一遇到陌生的问题就一筹莫展.本题让学生处在熟悉又陌生的情境中，不能依靠简单的知识、现成的模式来解决问题，需要从已知条件出发，通过转化等途径才能找到解题思路.因此，数学教学中要让学生经历新知识的展开、深入、运用的过程，感悟数学思想和方法，积累数学活动经验.同时，要以知识为载体，把分析、思考、交流的时空留给学生，培养学生积极主动的探索精神、不怕困难的品质和勇于挑战的勇气，让学生在掌握基础知识和基本技能的基础上提高数学素养.
（2）重视学生计算能力的培养
目前，中学生运算能力的状况很差，不少老师埋怨：“学生连简单的运算都过不了关，甚至数学基础好的学生运算结果也常出差错.”这些状况的出现原因是多方面的.有的学生不明算理，对提高运算能力缺乏足够的重视，他们总是把“粗心”“马虎”作为借口，误认为“反正会做，考试时细心一点就行了”；有相当多的教师注重解题方法和思路的引导，而忽视运算过程的合理性、简捷性的必要指导.这样不仅影响了学生思维能力的发展，也影响教学质量的提高.培养学生的运算能力重在渗透，贵在坚持，要从解题的准确性，解题的速度，运算的技巧、灵活性，以及如何克服运算中的心理障碍等方面使学生领悟运算能力的实质，从而提高运算能力.
（3）及时体悟，提高效益
“学习数学就是学习解题”.学数学要练，但未必做得越多越好，每次练习后都必须及时反思总结，反思解题过程的来龙去脉，并有意识地归纳提炼一些基本的解题方法与策略等.例如，在解决本题时，可以提出：此题难在哪里？与BM2相关的问题是什么？应抓住什么核心知识？此路可行吗？解题也要大将风范，要懂得“中断是为了切换”，坚持“弄清问题”、“拟定计划”、“实现计划”和“回顾”四大步骤的训练.长期如此，便能激活思维活跃度，优化知识框与问题解决的途径.
总之，在平时的教与学中，加强通法研究，不断积累经验，做解题过程中的“有心人”，勤于反思，慧眼识题，善于从不寻常的题型中发现、运用核心知识，从而“入宝山而不空返”，提升思维能力.
作者简介朱月红，女，1970年10月生，江苏泰州人，在职教育硕士，中学高级教师.江苏省优秀教师，泰州市学科带头人，高港区中学数学名师工作室领衔人，主要从事数学教学有效性和数学实验的研究.
（1）求证：△ADP∽△ABQ；
（2）若AD=10，AB=20，点P在边CD上运动，设DP=x，BM2=y，求y与x的函数关系式，并求线段BM长的最小值；
（3）若AD=10，AB=a，DP=8，随着a的大小的变化，点M的位置也在变化.当点M落在矩形ABCD外部时，求a的取值范围.
1试题的形成
这道题的最初素材来源于课本上的一道练习题：如图3，E为正方形边CD上的动点，将△ADE绕A点顺时针旋转90°，得△ABF，问△AEF是什么三角形？
图2图3对这道题，取EF的中点G，改编成下面这道题：如图2，E为正方形边CD上的动点，将△ADE绕A点顺时针旋转90度，得△ABF，G为EF中点.下列结论：（1）G在△ABF的外接圆上；（2）EC=2BG；（3）B、G、D三点共线；⑷若S四边形BGEC=114S正方形ABCD，那么E为DC的黄金分割点.正确的有.
后来命题组觉得这道题比较好，又决定将它改编为压轴题.将正方形改为长方形，原来的第（2）小题是这样的：若AD=10，AB=20，点P在边CD上运动，当DP等于多少时？PC1BM=24113.由于这个问题比较难，又改掉了，最终就形成了第25题.
2试题的特色
中考后，这道题收到师生的广泛好评，普遍认为这道题具有鲜明的特色.
特色1：简洁明快，突出课标理念
本题是一道以三角形、矩形为载体的几何说理题，重点考查了三角形相似、三角形中位线、直角三角形斜边的中线、勾股定理、二次函数等知识，通过线段取值的变化、点的运动将零散的知识点串联，摆脱了对知识的单一考查，呈现形式突破常规，不落俗套，既尊重学生数学水平的差异，又有区分度，体现了“人人学有价值的数学，人人都能获得必需的数学”的基本理念.三角形、矩形“联姻”是传统图型，学生在熟悉的背景中舒缓紧张情绪，彰显了命题者的人文关怀，体现了命题者深入挖掘教材的智慧.
特色2：推陈出新，考查心理素质
中考命题应根据教材，推陈出新，似曾相识又有不同.此题的图形在苏科版初中数学教材中有多处熟悉的踪影.（1）八年级下册第P102第6题，P130“数学实验室”；（2）九年级上册P1例4，P27第12题.此题第1问证明相似，学生很容易入手，第2问笔锋一转，出现一张陌生面孔“BM2=y”，一些学生失去了思考的方向，花了很长时间，也没有找到突破口；另一些学生从容淡定，由“BM2”联想开去，想到三角形相似，发现题中无公共边，此路不通，迅速调整思路，将BM2与勾股定理联系一起，即可作出辅助线MN⊥QC于N，从而轻松解题.第3问的难度远远低于第2问，但（2）问解答不好，有的学生就直接放弃了（3）问，甚是可惜.中考，是知识、能力与心理素质的较量，此题有这样的鉴别功能，值得师生回味.
特色3：变通思维，考查符号意识
数学符号是数学的语言，是人们用数学解决问题的工具.本题的关键是将BM、BN、MN用x的代数式来表示.即将自然语言转换为数学符号语言，也就是“数学化”.但与考生交流时发现，学生往往没有这种“转换”的意识.其实，在不少几何计算题中都是用符号来表示相关的线段.本题考查的就是用不同语言表达问题的转换能力.
特色4：夯实基础，检查运算能力
“培养学生的运算能力”是数学新课标提出的教学目标之一.本题在找出解题思路后，要在（1）问的基础上，根据“AD、AB的长度，DP=x，BM2=y”等已知条件，用x、y的代数式表示线段“BQ、QN、BN”，再根据勾股定理列出二元二次方程（即二次函数解析式）.据了解，学生思路正确，计算失误的不在少数.解答本题需要学生有清晰的目标意识，扎实的基本功，才能提高计算的正确性.
特色5：形式新颖，突出对教与学的导向功能
（1）引导学生主动思考，积累经验
新课程改革给教学带来的最大变化就是教与学方式的改变.但在复习教学中，很多教师把数学复习等同于做题目，把大量时间花在解题与讲题上，用操练经验代替理性思考，导致学生善于模仿而疲于思考，一遇到陌生的问题就一筹莫展.本题让学生处在熟悉又陌生的情境中，不能依靠简单的知识、现成的模式来解决问题，需要从已知条件出发，通过转化等途径才能找到解题思路.因此，数学教学中要让学生经历新知识的展开、深入、运用的过程，感悟数学思想和方法，积累数学活动经验.同时，要以知识为载体，把分析、思考、交流的时空留给学生，培养学生积极主动的探索精神、不怕困难的品质和勇于挑战的勇气，让学生在掌握基础知识和基本技能的基础上提高数学素养.
（2）重视学生计算能力的培养
目前，中学生运算能力的状况很差，不少老师埋怨：“学生连简单的运算都过不了关，甚至数学基础好的学生运算结果也常出差错.”这些状况的出现原因是多方面的.有的学生不明算理，对提高运算能力缺乏足够的重视，他们总是把“粗心”“马虎”作为借口，误认为“反正会做，考试时细心一点就行了”；有相当多的教师注重解题方法和思路的引导，而忽视运算过程的合理性、简捷性的必要指导.这样不仅影响了学生思维能力的发展，也影响教学质量的提高.培养学生的运算能力重在渗透，贵在坚持，要从解题的准确性，解题的速度，运算的技巧、灵活性，以及如何克服运算中的心理障碍等方面使学生领悟运算能力的实质，从而提高运算能力.
（3）及时体悟，提高效益
“学习数学就是学习解题”.学数学要练，但未必做得越多越好，每次练习后都必须及时反思总结，反思解题过程的来龙去脉，并有意识地归纳提炼一些基本的解题方法与策略等.例如，在解决本题时，可以提出：此题难在哪里？与BM2相关的问题是什么？应抓住什么核心知识？此路可行吗？解题也要大将风范，要懂得“中断是为了切换”，坚持“弄清问题”、“拟定计划”、“实现计划”和“回顾”四大步骤的训练.长期如此，便能激活思维活跃度，优化知识框与问题解决的途径.
总之，在平时的教与学中，加强通法研究，不断积累经验，做解题过程中的“有心人”，勤于反思，慧眼识题，善于从不寻常的题型中发现、运用核心知识，从而“入宝山而不空返”，提升思维能力.
作者简介朱月红，女，1970年10月生，江苏泰州人，在职教育硕士，中学高级教师.江苏省优秀教师，泰州市学科带头人，高港区中学数学名师工作室领衔人，主要从事数学教学有效性和数学实验的研究.