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【摘要】本研究通过在课前、课中、课后三个时间维度的教学设计，从课前的“觅题、设题、解题、诘题”、课中的“砭题、变题、辩题、编题”、课后的“孵题、鉴题、晒题、品题”等12个环节，围绕一个母题，依托一套动态的教学流程，促成了学生数学学习的“穷—变—通—达”的良性循环。
【关键词】动态生成;母题;变式;生态;良性循环
一、研究背景
（一）当前高三数学习题教学的“阵痛”
1、数学学习的“痛与困”。进入高三，数学课堂的题海战术成为学生在高考中取胜的秘诀。学生们往往是“被上课、被做题、被收获”，前者可谓是：课前搜肠刮肚、课中“讲台称霸”、课后心安理得;后者是：课前茫然失措、课中裹挟行进、课后不堪其重，这种以没有让学生充分参与认知过程为前提的一厢情愿式的习题教学，常使教师陷入“吃力不讨好”的痛，学生陷入“不堪一击”的“困”。
2、数学课堂的“沉与浮”。如果说高一、高二学习数学是生产“零部件”的过程，那么高三数学学习过程，正是“组装零件、产出成品、产出精品”的过程，也是检验新课程教学目标是否达成的“冲刺”阶段。但当前我们对高三数学教学的理解是“炒冷饭”，“教材”的概念等同于一本厚厚的习题册，“组装”的概念等同于旧有知识、方法、能力的条块“激活”，“成品”的概念等同于某一题目解题步骤的严密和答案的完全正确，整个过程是“鲜有成品，充其量只是产出了一部分成色较新的零部件”。这种教学模式，几乎没有创设良好的氛围，没有太多联系学生的生活，没有照顾学生的学习能力，浮于形式上的重要性和严肃性，却不自觉地偏离教学目标，学生收获无几，“将书读薄”也就成了口号。
3、习题教学的“高和低”。高三数学学习的主要任务既要积累一定的数学知识的基础，更要学会正确的思维方法和较强的解决问题能力，养成“学习、思考、实践、创新”的良好习惯。因此，就习题来说，其教学目标、教学重点、教学过程等环节，应立足于学生解决实际问题能力的培养。反观目前我们老师讲评习题现象，往往是就题论题，浅尝辄止，平均用力，这种讲评，目标不明确，重点不突出，思路不拓展，没有把握好习题教学的“高低”，终将陷入“星罗棋布却不见纲领，自成体系却作茧自缚，有意栽花却不发”的尴尬中。
（二）当前高三数学习题教学的“诉求”
1、习题“让高深走下圣坛”。数学中大量的公式、抽象的概念、隐藏的规律，对学生来说，往往置于无可企及、高深莫测的“圣坛”，如何让它们“走下圣坛”，与学生“亲密接触”，真正理解与掌握它们，则需要借助一定量的习题，架起数学与生活的桥梁，激活学生生活经验，在让他们感到“有用”的心理环境中不断激发他们作进一步理解的动力，从而真正实现识记概念与加深理解的统一。
2、习题“让教材增添姿色”。新课程强调了课程资源的开发与利用，数学大量鲜活的素材在于生活中，但如果将大量生活情境直接搬入教材，以此替代高三新课程资源开发的全部，这是不现实的，因为范围不着边，时间不允许，效果不保证。但如果我们把习题的动态式生成作为课程资源的开发的切口，无疑可以解决这个疑难，通过对同一问题的举一反三，来吸收、归纳、提炼高考复习教材的生动性、导向性和科学性。
3、习题“让学生伸出巧手”。完成习题的过程，往往需要调动学生相关的生活经验、新旧知识和方法等，在这过程中，学生不自觉地积累了解决实际问题的技能，独立思考的习惯，也发展了智力与创造力。因为解题的过程往往需要“举一反三”、“融会贯通”、“同题异构”，最终“花开两朵，各表一枝”。这个过程，较大程度地培养了学生思维的灵活性和思维品质的深刻性。长此以往，学生解决实际问题的能力定“水涨船高”。
二、研究的设计
所谓“动态生成式习题教学”是指教师依据特定的教学目标精心选择母题，并对母题进行一定的预设拓展，同时根据学生的已有经验和做题情况，随机应变，不断生发出既指向教学目标又拓展学生思维、发展学生解决实际问题能力的新的教学环节。总体设计如下：
动态生成式教学流程图
三、操作策略
（一）课前——“大海捞针”。
1、觅题。遵循以下原则：
（1）一“针”见血寻母题。母题的概念是“晴雨表”，要“一针见血”，这里“针”的理解，既要有指向性又要有刺痛感，具体来说，母题要具备课前预习的功能，能让学生透过母题明白下节课知识的重、难点（指向性），同时找到自己的困惑（刺痛感），并有效地启动学生进一步求知的内因，从而使学生在以后的学习过程中，学得更积极、更主动、更有效，真正发挥学生的主体作用，这对培养学生自学能力无疑有着决定性的意义。
（2）“绵”里藏“针”设陷阱。这里的“绵”，指作为母题，要“含而不露”，既貌似简单，实则“陷阱”多多。当然，设计“陷阱”的目的不是仅仅为了让学生误入其中，而是要让学生切实地体会到审题的重要性、知识的选择性、思维的缜密性等要求，从而让学生“在谦恭的、适度紧张的精神状态下求得高分高能”，而不是“在自负、过分放松的精神状态下拱手让分失能”。
（3）“针锋相对”融母题。这里“针锋相对”的理解，就是说母题，除了要具备直指教学重难点的“针”外，还要让学生在答题时感觉到母题的“锋芒毕露”，也就是说，作为母题，要具备一定的开放性。母题成为了多个知识点的汇聚处或多种思维方法的集合点。这样的题具备知识容量大、解题方法多、突显数学思想方法的运用以及要求学生具有一定的创新意识和创新能力等特点。学生在做题后往往可以巩固和领悟各部分知识规律，提高分析和解决问题的能力。 2、设题。根据以上找题的原则，搜索、改编、设计好母题。
【案例一】 如图一所示，计划用12m长的塑钢材料构建一个窗框，求：
图一
（1）窗框面积y与窗框长度x之间的函数关系;（2）窗框的长取多少时，能使窗框的采光面积最大;并求窗框的最大采光面积。（抛出此题，就是抛出了二次函数模型应用题这一重点题型。抛出此题，也就抛出了二次函数的配方变形、图像性质、函数模型等知识点，从而提供了一个让学生尝试从各个不同角度解决问题的机会。）
3、解题。将设计好的母题以作业的形式布置给学生，要求学生写出详细的解题过程和规范的解题步骤，并在一定的时间内完成，由课代表收齐后上交。◆做题举偶：
（学生作品1） （1）
;（2）配方得
则当x=3时，能使窗框的采光面积最大;（3）窗框的最大采光面积为6
.
（学生作品2） （1）
;（2）利用二次函数的顶点坐标：（
，
，
=
=6
（学生作品3）设宽为a，
，面积
，利用均值定理
，平方整理可得
，当且仅当
，即
时面积S的最大值为6
。 4、诘题。“诘”即反问。学生作业上交后，教师针对学生的答题状态进行批改分析。分析时应关注：（1）学生存在的问题有哪些？并将存在问题归类。（2）共性问题有吗？是什么？（3）这些不同类别的问题根结在哪里？为了详细全面了解这些情况，教师也可以挑选班中数学水平能力不同的几个学生进行面批，细致全面的了解学生由母题暴露出的知识水平能力方面的漏洞和缺憾。
（二）课中——“穷则思变”。具体流程如下：
1、砭题。“砭”原意指用石针扎皮肉治病。这里指，学生由于老师掌握了丰富翔实的反馈信息，教师在课堂上就可以针对学生现状进行“砭题”，帮助学生抓住题目“穴位”， 对学生的学习行为进行有效地“干预”，让学生恍然大悟，启迪思维。那么，“砭题”“砭”什么呢？
（1）“砭”在新旧知识联结之处。一道题的成功求解可能要运用多个知识点和规律，每个新的知识点或新的规律必然有与它相关的旧知识、旧规律。联结处就是新与旧的结合处，在新旧结合处点拨，便于引导学生由旧到新的过渡，促进知识的迁移。
（2）“砭”在新知关键之处。知识内容的关键处是学生学习、理解、掌握知识的最重要之处，是教材内容的重点、难点。在这些关键处适时进行点拨，有益于重、难点问题的突破，使学生对所学知识理解得深，理解得透，掌握得牢。
（3）“砭”在学生疑惑之处。在分析问题、解决问题的过程中，学生的思维有时会“拐弯”，有时会“分岔”，有时会“堵塞”，从而感到疑惑不解，厌倦困顿，这时就要求教师进行点拨引导，设计合适的坡度，架设过渡的桥梁，帮助学生寻找思维的突破口，排除疑难，解决困惑。
如：对于案例一的砭题如下：
（1）此题错因有二：此题建模过程不难，而运算较复杂，需要技巧。错因一，学生容易忽视基本不等式求最值的基本条件;错因二，部分学生忽视了x的范围。
（2）此题解题策略有三：策略1：利用二次函数的配方法，再结合开口方向求最值;策略2：直接利用公式法求顶点坐标; 策略3：转化成不等式问题求解，利用均值定理.
（3）此题反思：很多试题有多种解法，解题后要从多角度思考是否还有其他解法，通过寻找新方法可以开拓思路，防止思维定势，及时总结各类解题技巧，养成“从优，从快”的解题思维方式，从而使思维更具创造性。
2、变题。变题，变什么？主要是“改变题目的条件，以导出新结论;保留条件而改变题目的设问角度，又导出新结论;将条件作类似变换，将结论扩大到一般”等等。一题多变，意在挖掘例题的深度和广度，扩大习题的辐射面。
（1）新瓶装旧酒——提升思维维度。经过“砭题”，原来茫然无措的学生会有所感觉，原来不知甚解的学生会感叹“原来如此”。原来学生有所感觉但却“误入歧途”也终于“迷途知返”。但是，多数学生此时充其量还是处于“听懂”的程度，只是初步领会了题中所含的思维方法。如果就此省略了让学生继续思考和运用的过程，那么学生很容易陷入“上课一听就懂，下课一做就错”的怪圈。所以，要让学生既听懂、又学会，就必须为学生创造和安排“学以致用”的机会，“趁热打铁”设计一些思维方法不变，而若干条件情景有异的变式题。这样就把主动权交给学生，使学生在分析问题、解决问题的探索过程中，回顾所学的“方法”并作出相应的选择判断，进一步打开思路。从而轻松愉快地实现知识复习与能力提高，提高思维层次。
（2）旧瓶装新酒——拓宽思维广度。为了锻炼学生的发散思维能力，让学生知道“路的旁边还是路”，可以将母题题设情景做一些变动，将一些新的知识点和新思路融入其中，创造一种新的知识接收途径和气氛，打破学生的固定思维方式。这样可以一次复习多种数学模型或多个知识点，而且有利于学生在同一问题背景下纵横类比这些概念或模型，通过计算剖析，得出模型的同与不同，思路的变与不变，从而拓宽学生的思维宽度。
【案例二】如图二所示，计划用12m长的塑钢材料构建一个窗框，
问窗框长
取多少时能使窗框的采光面积最大。
（3）新瓶装新酒——开掘思维深度。继续设计新颖别致的情景进行启发提问，有利于多角度、多层次地突出主题，强化效果，进而开掘学生思维深度。
【案例三】如上图一所示，计划用塑钢材料构建一个窗框，若采光面积为
，要使材料最省时求窗框的长和材料的长度。
3、辩题。变题是否变到位，解题思路是否正确，还必须经过一番辩证，辩什么？辩清：通过变题，是否达到提升思维维度的目的？是否达到拓宽思维广度的目的？是否达到开掘思维深度的目的？
（1）教师自辩。老师要敏锐地调动自身的专业素质和经验，设计好 “变题”。老师首先要揣摩学生的解题思路，重新审视题给予的情境是否充分，问题提出的角度是否自然、有无歧义;其次要准确地估计习题难度。影响习题难度的因素很多，比如解答问题路径的复杂程度、回答问题需要的表达水平、以往解题经验等等。还要再三地读题，反复推敲问题情境是否交代清楚，表达是否简练、通俗易懂，是否符合学生的理解水平。要推敲习题有没有对素材的研究数据或研究过程断章取义而导致试题情境有歧义甚至出现科学性错误。（如上面的案例一设计。） （2）学生自辩。“变题”是否变到位？还要靠学生自辩，辩出认同感。课堂活动是一个动态生成的过程，学生在做题的过程中会有许多老师预设不了的“不速之客”生成，此时，“题”必须随着学生解题实况的变动而变动。当学生产生疑难“山穷水尽疑无路”时，将题肢解，设置梯度，细化为几个“扶手”式的小问题;当学生思路 狭窄“见山是山见水是水”时，将题拓展，链接类似情景，设计一些可以让学生将感性认识上升到理性思考的问题。这样的“辩题”，使题顺着学生的思路“再生新枝”。有了生成的疑难问题，有了生成的独特想法，有了生成的新鲜见解，老师或表扬鼓励，或组织讨论、或点拨引导，学生或批驳、或吸收、或完美。（如上面的案例三设计。）
（3）师生互辩。“变题”是否变到位？还要看师生的共鸣度。在对子题的解答中，师生双方形成了共同的观点，升华提炼，成为子题进一步延伸的原点。
4、编题。通过“砭题”、“变题”、“辩题”，通过不断地互动和生成，学生的认识不断提高，体验不断加深，情感也不断升华。此时，教师要因势利导，编出新的问题，编出有一定的思维难度和转折度的问题，让学生“耳目一新”而又“跃跃欲试”，激发学生研究和探索的欲望，也激发学生“翻身作主”自编子题的欲望，为课后的“孵题”打下铺垫。
【案例四】如右图所示，已知利用墙的一面（足够长），用总长为20m的篱笆围成一个矩形场地，求这块场地的长和宽各为多少米时场地面积最大？最大面积是多少？
（三）课后——“节外生枝”
1、孵题。“孵”的本义是用体温使卵内的胚胎发育成雏鸟。有了课堂上老师将母题生子题，子题又生子题的示范和学生在解决这些子题时的亲身体验，学生自我“孵题”的时机已成熟。老师布置课后作业，给学生足够的时间和空间，让学生根据母题，自己设计题目，自己寻找规律，促使学生不断“回首”和“内化”课堂所掌握和领悟的。通过这种“孵题”的训练，让学生在编题内容的迁移中培养对知识的联想和综合应用的能力。老师要对学生进行“孵题”方法指导。
2、鉴题。对学生的“成题”进行鉴定，鉴题的正确性、严密性、创新性、反思性。鉴的方式可以是以下几种。①学生自鉴。自鉴指解答自己出的题，同时说明出题的原因和依据，所用到的知识和方法。通过对自我作业的鉴别，激发学生的反思能力。②学生互鉴。让学生相互评价作业，着重鉴别的正确性和出题者解题思路的正确性，使学生相互学习，取长补短，共同进步。③教师质鉴。教师要针对不同学生的不同情况做出有意义的评价。如对学生的解题步骤进行细致化评价，找出题目设计的漏洞。对有创意反思性强的好题要肯定和赞赏。
3、晒题。“晒题”指的是将鉴定出来的好题用墙贴、用幻灯等方式展示出来。这些好题是一个非常好的学习资源，这个学习资源为学生量身定制而又风格各异。而展示就可让好题共享，还能激发学生的自信心，促进学生学习数学的热情和兴趣。
4、品题。建立“好题集”，将母题，老师“生”的子题，自己“生”的子题，同学“生”的子题整理在册。欣赏别人的精彩思路，领略多题一解，异形同解的妙趣，在品味的同时，启发自己的思维，借它山之石攻己之玉。 那么，“品题”，品什么呢？①品题目意思，首先是指读懂题目的言内之意，审清题意，弄清楚题目所要回答的是什么问题，在什么范围、方面、角度或条件下回答这一问题。其次是指关注题目的言外之意，即关注一些具体体现题意的关键性字词或句子，这样的字词句往往是“题眼”。 ②品命题意图，要明确这道题考查的是哪一部分的知识点，考查了哪些解题方法，考查了哪些数学能力，将反思所得进行小结，这样下次再遇到类似的题目或同一类型的题目就能迅速的找到解题思路。 ③品解题方法，“横看成岭侧成峰”，同一道题，从不同的角度去分析研究，可能会得到不同的启示，从而引出不同的解法。这样做的目的是通过不同的研究侧面，使思维的触角伸向不同的方向，不同的层次。在找到不同的解法时也要对这些解法进行总结，看看其他什么题型也能这样做，做到“一题多解”的同时也要“多题一解”。④品应用价值，有些题目本身可能很简单，但是它的结论却有很广泛的应用，如果仅仅只满足于解题本身，而忽视对结论的思考和探索，那就可能会“拣了芝麻，丢了西瓜”。所以通过这道题把题目所蕴涵的方法结论提炼出来，以便于以后解题直接利用。
四、收获与启示
1、由“条块分割”到“阡陌纵横”——生成一个和谐的生态教学系统。动态生成式习题让原本各自为阵的“课前”、“课中”、“课后”三个教学环节有机地整合成一个完整的系统，习题就像是这个系统的“食物链”，让彼此之间产生了相互关联的、相互交错的关系，使教学活动井然有序、持续发展。当然，作为生态的教学系统也是一个开放系统，为了维系自身的稳定，生态系统需要不断输入能量，否则就有崩溃的危险;而动态生成式习题不断开发的学习资源，不断生成的知识和问题，就像是不断为这一系统输入能量，使系统保持着强大活力。
2、由“作茧自缚”到“破茧化蝶”——生成一种交互的动态师生角色。在动态生成的习题教学中，教师不能仅仅停留在传授知识上，更多地转向扮演教学中的指导者、帮助者、促进者、组织者和合作者等多重角色，以此改善学生在学习中的弱势地位，使学生在教师指导、帮助、促进、引导下，从知识容器的畸形地位中解放出来，成为知识的探索者和加工者。学生在学习中的经验、基础、潜能、积极性和主动性成为了师生合作的可靠起点，学生在教师面前积累发表自己见解的勇气和技能，展现其学习才干和障碍，而把弥补学生的欠缺、不足和所要达到的发展目标作为合作的果实。
3、由“奄奄一息”到“生生不息”——生成一套科学的思维训练模式。动态生成式习题教学的过程，就是将杂乱无章的知识和技能具体化和系统化，它启示我们要注意探索多种题型转变的一般规律，揭示其本质特征，掌握同类题型的基本解题思路，以不变的办法应付多变的题型，变是为了不变。变的是题的情形、题的形式、题的条件、题的内容，不变的是解题的基本方法、解题的基本思维、解题的基本规律。
动态生成式习题教学从研究习题本体出发，为师生的“教与学”生成了一种科学的思维训练模式，这无疑为学生因搞“题海战术”而“奄奄一息”的死海中，注入了“强心剂”，使昏昏欲睡的高三数学课堂从此“鸟语花香，风生水起”。当然，学生的思维活动过程是一种隐蔽性的活动，看不见摸不着。学生思维的深度又对每个学生有着能力上的差异，所以思维的训练并不是一朝一夕能解决的，需要我们反复研究，反复实践，这也是本人不断追求和努力的方向。
参考文献：
[1]顾鑫盈：《从预设式教学到动态生成式教学》，《天津教育》.2004年02期
[2]张建：《一道应用题变式教学及反思》，《中学教研》，2010年10期
【关键词】动态生成;母题;变式;生态;良性循环
一、研究背景
（一）当前高三数学习题教学的“阵痛”
1、数学学习的“痛与困”。进入高三，数学课堂的题海战术成为学生在高考中取胜的秘诀。学生们往往是“被上课、被做题、被收获”，前者可谓是：课前搜肠刮肚、课中“讲台称霸”、课后心安理得;后者是：课前茫然失措、课中裹挟行进、课后不堪其重，这种以没有让学生充分参与认知过程为前提的一厢情愿式的习题教学，常使教师陷入“吃力不讨好”的痛，学生陷入“不堪一击”的“困”。
2、数学课堂的“沉与浮”。如果说高一、高二学习数学是生产“零部件”的过程，那么高三数学学习过程，正是“组装零件、产出成品、产出精品”的过程，也是检验新课程教学目标是否达成的“冲刺”阶段。但当前我们对高三数学教学的理解是“炒冷饭”，“教材”的概念等同于一本厚厚的习题册，“组装”的概念等同于旧有知识、方法、能力的条块“激活”，“成品”的概念等同于某一题目解题步骤的严密和答案的完全正确，整个过程是“鲜有成品，充其量只是产出了一部分成色较新的零部件”。这种教学模式，几乎没有创设良好的氛围，没有太多联系学生的生活，没有照顾学生的学习能力，浮于形式上的重要性和严肃性，却不自觉地偏离教学目标，学生收获无几，“将书读薄”也就成了口号。
3、习题教学的“高和低”。高三数学学习的主要任务既要积累一定的数学知识的基础，更要学会正确的思维方法和较强的解决问题能力，养成“学习、思考、实践、创新”的良好习惯。因此，就习题来说，其教学目标、教学重点、教学过程等环节，应立足于学生解决实际问题能力的培养。反观目前我们老师讲评习题现象，往往是就题论题，浅尝辄止，平均用力，这种讲评，目标不明确，重点不突出，思路不拓展，没有把握好习题教学的“高低”，终将陷入“星罗棋布却不见纲领，自成体系却作茧自缚，有意栽花却不发”的尴尬中。
（二）当前高三数学习题教学的“诉求”
1、习题“让高深走下圣坛”。数学中大量的公式、抽象的概念、隐藏的规律，对学生来说，往往置于无可企及、高深莫测的“圣坛”，如何让它们“走下圣坛”，与学生“亲密接触”，真正理解与掌握它们，则需要借助一定量的习题，架起数学与生活的桥梁，激活学生生活经验，在让他们感到“有用”的心理环境中不断激发他们作进一步理解的动力，从而真正实现识记概念与加深理解的统一。
2、习题“让教材增添姿色”。新课程强调了课程资源的开发与利用，数学大量鲜活的素材在于生活中，但如果将大量生活情境直接搬入教材，以此替代高三新课程资源开发的全部，这是不现实的，因为范围不着边，时间不允许，效果不保证。但如果我们把习题的动态式生成作为课程资源的开发的切口，无疑可以解决这个疑难，通过对同一问题的举一反三，来吸收、归纳、提炼高考复习教材的生动性、导向性和科学性。
3、习题“让学生伸出巧手”。完成习题的过程，往往需要调动学生相关的生活经验、新旧知识和方法等，在这过程中，学生不自觉地积累了解决实际问题的技能，独立思考的习惯，也发展了智力与创造力。因为解题的过程往往需要“举一反三”、“融会贯通”、“同题异构”，最终“花开两朵，各表一枝”。这个过程，较大程度地培养了学生思维的灵活性和思维品质的深刻性。长此以往，学生解决实际问题的能力定“水涨船高”。
二、研究的设计
所谓“动态生成式习题教学”是指教师依据特定的教学目标精心选择母题，并对母题进行一定的预设拓展，同时根据学生的已有经验和做题情况，随机应变，不断生发出既指向教学目标又拓展学生思维、发展学生解决实际问题能力的新的教学环节。总体设计如下：
动态生成式教学流程图
三、操作策略
（一）课前——“大海捞针”。
1、觅题。遵循以下原则：
（1）一“针”见血寻母题。母题的概念是“晴雨表”，要“一针见血”，这里“针”的理解，既要有指向性又要有刺痛感，具体来说，母题要具备课前预习的功能，能让学生透过母题明白下节课知识的重、难点（指向性），同时找到自己的困惑（刺痛感），并有效地启动学生进一步求知的内因，从而使学生在以后的学习过程中，学得更积极、更主动、更有效，真正发挥学生的主体作用，这对培养学生自学能力无疑有着决定性的意义。
（2）“绵”里藏“针”设陷阱。这里的“绵”，指作为母题，要“含而不露”，既貌似简单，实则“陷阱”多多。当然，设计“陷阱”的目的不是仅仅为了让学生误入其中，而是要让学生切实地体会到审题的重要性、知识的选择性、思维的缜密性等要求，从而让学生“在谦恭的、适度紧张的精神状态下求得高分高能”，而不是“在自负、过分放松的精神状态下拱手让分失能”。
（3）“针锋相对”融母题。这里“针锋相对”的理解，就是说母题，除了要具备直指教学重难点的“针”外，还要让学生在答题时感觉到母题的“锋芒毕露”，也就是说，作为母题，要具备一定的开放性。母题成为了多个知识点的汇聚处或多种思维方法的集合点。这样的题具备知识容量大、解题方法多、突显数学思想方法的运用以及要求学生具有一定的创新意识和创新能力等特点。学生在做题后往往可以巩固和领悟各部分知识规律，提高分析和解决问题的能力。 2、设题。根据以上找题的原则，搜索、改编、设计好母题。
【案例一】 如图一所示，计划用12m长的塑钢材料构建一个窗框，求：
图一
（1）窗框面积y与窗框长度x之间的函数关系;（2）窗框的长取多少时，能使窗框的采光面积最大;并求窗框的最大采光面积。（抛出此题，就是抛出了二次函数模型应用题这一重点题型。抛出此题，也就抛出了二次函数的配方变形、图像性质、函数模型等知识点，从而提供了一个让学生尝试从各个不同角度解决问题的机会。）
3、解题。将设计好的母题以作业的形式布置给学生，要求学生写出详细的解题过程和规范的解题步骤，并在一定的时间内完成，由课代表收齐后上交。◆做题举偶：
（学生作品1） （1）
;（2）配方得
则当x=3时，能使窗框的采光面积最大;（3）窗框的最大采光面积为6
.
（学生作品2） （1）
;（2）利用二次函数的顶点坐标：（
，
，
=
=6
（学生作品3）设宽为a，
，面积
，利用均值定理
，平方整理可得
，当且仅当
，即
时面积S的最大值为6
。 4、诘题。“诘”即反问。学生作业上交后，教师针对学生的答题状态进行批改分析。分析时应关注：（1）学生存在的问题有哪些？并将存在问题归类。（2）共性问题有吗？是什么？（3）这些不同类别的问题根结在哪里？为了详细全面了解这些情况，教师也可以挑选班中数学水平能力不同的几个学生进行面批，细致全面的了解学生由母题暴露出的知识水平能力方面的漏洞和缺憾。
（二）课中——“穷则思变”。具体流程如下：
1、砭题。“砭”原意指用石针扎皮肉治病。这里指，学生由于老师掌握了丰富翔实的反馈信息，教师在课堂上就可以针对学生现状进行“砭题”，帮助学生抓住题目“穴位”， 对学生的学习行为进行有效地“干预”，让学生恍然大悟，启迪思维。那么，“砭题”“砭”什么呢？
（1）“砭”在新旧知识联结之处。一道题的成功求解可能要运用多个知识点和规律，每个新的知识点或新的规律必然有与它相关的旧知识、旧规律。联结处就是新与旧的结合处，在新旧结合处点拨，便于引导学生由旧到新的过渡，促进知识的迁移。
（2）“砭”在新知关键之处。知识内容的关键处是学生学习、理解、掌握知识的最重要之处，是教材内容的重点、难点。在这些关键处适时进行点拨，有益于重、难点问题的突破，使学生对所学知识理解得深，理解得透，掌握得牢。
（3）“砭”在学生疑惑之处。在分析问题、解决问题的过程中，学生的思维有时会“拐弯”，有时会“分岔”，有时会“堵塞”，从而感到疑惑不解，厌倦困顿，这时就要求教师进行点拨引导，设计合适的坡度，架设过渡的桥梁，帮助学生寻找思维的突破口，排除疑难，解决困惑。
如：对于案例一的砭题如下：
（1）此题错因有二：此题建模过程不难，而运算较复杂，需要技巧。错因一，学生容易忽视基本不等式求最值的基本条件;错因二，部分学生忽视了x的范围。
（2）此题解题策略有三：策略1：利用二次函数的配方法，再结合开口方向求最值;策略2：直接利用公式法求顶点坐标; 策略3：转化成不等式问题求解，利用均值定理.
（3）此题反思：很多试题有多种解法，解题后要从多角度思考是否还有其他解法，通过寻找新方法可以开拓思路，防止思维定势，及时总结各类解题技巧，养成“从优，从快”的解题思维方式，从而使思维更具创造性。
2、变题。变题，变什么？主要是“改变题目的条件，以导出新结论;保留条件而改变题目的设问角度，又导出新结论;将条件作类似变换，将结论扩大到一般”等等。一题多变，意在挖掘例题的深度和广度，扩大习题的辐射面。
（1）新瓶装旧酒——提升思维维度。经过“砭题”，原来茫然无措的学生会有所感觉，原来不知甚解的学生会感叹“原来如此”。原来学生有所感觉但却“误入歧途”也终于“迷途知返”。但是，多数学生此时充其量还是处于“听懂”的程度，只是初步领会了题中所含的思维方法。如果就此省略了让学生继续思考和运用的过程，那么学生很容易陷入“上课一听就懂，下课一做就错”的怪圈。所以，要让学生既听懂、又学会，就必须为学生创造和安排“学以致用”的机会，“趁热打铁”设计一些思维方法不变，而若干条件情景有异的变式题。这样就把主动权交给学生，使学生在分析问题、解决问题的探索过程中，回顾所学的“方法”并作出相应的选择判断，进一步打开思路。从而轻松愉快地实现知识复习与能力提高，提高思维层次。
（2）旧瓶装新酒——拓宽思维广度。为了锻炼学生的发散思维能力，让学生知道“路的旁边还是路”，可以将母题题设情景做一些变动，将一些新的知识点和新思路融入其中，创造一种新的知识接收途径和气氛，打破学生的固定思维方式。这样可以一次复习多种数学模型或多个知识点，而且有利于学生在同一问题背景下纵横类比这些概念或模型，通过计算剖析，得出模型的同与不同，思路的变与不变，从而拓宽学生的思维宽度。
【案例二】如图二所示，计划用12m长的塑钢材料构建一个窗框，
问窗框长
取多少时能使窗框的采光面积最大。
（3）新瓶装新酒——开掘思维深度。继续设计新颖别致的情景进行启发提问，有利于多角度、多层次地突出主题，强化效果，进而开掘学生思维深度。
【案例三】如上图一所示，计划用塑钢材料构建一个窗框，若采光面积为
，要使材料最省时求窗框的长和材料的长度。
3、辩题。变题是否变到位，解题思路是否正确，还必须经过一番辩证，辩什么？辩清：通过变题，是否达到提升思维维度的目的？是否达到拓宽思维广度的目的？是否达到开掘思维深度的目的？
（1）教师自辩。老师要敏锐地调动自身的专业素质和经验，设计好 “变题”。老师首先要揣摩学生的解题思路，重新审视题给予的情境是否充分，问题提出的角度是否自然、有无歧义;其次要准确地估计习题难度。影响习题难度的因素很多，比如解答问题路径的复杂程度、回答问题需要的表达水平、以往解题经验等等。还要再三地读题，反复推敲问题情境是否交代清楚，表达是否简练、通俗易懂，是否符合学生的理解水平。要推敲习题有没有对素材的研究数据或研究过程断章取义而导致试题情境有歧义甚至出现科学性错误。（如上面的案例一设计。） （2）学生自辩。“变题”是否变到位？还要靠学生自辩，辩出认同感。课堂活动是一个动态生成的过程，学生在做题的过程中会有许多老师预设不了的“不速之客”生成，此时，“题”必须随着学生解题实况的变动而变动。当学生产生疑难“山穷水尽疑无路”时，将题肢解，设置梯度，细化为几个“扶手”式的小问题;当学生思路 狭窄“见山是山见水是水”时，将题拓展，链接类似情景，设计一些可以让学生将感性认识上升到理性思考的问题。这样的“辩题”，使题顺着学生的思路“再生新枝”。有了生成的疑难问题，有了生成的独特想法，有了生成的新鲜见解，老师或表扬鼓励，或组织讨论、或点拨引导，学生或批驳、或吸收、或完美。（如上面的案例三设计。）
（3）师生互辩。“变题”是否变到位？还要看师生的共鸣度。在对子题的解答中，师生双方形成了共同的观点，升华提炼，成为子题进一步延伸的原点。
4、编题。通过“砭题”、“变题”、“辩题”，通过不断地互动和生成，学生的认识不断提高，体验不断加深，情感也不断升华。此时，教师要因势利导，编出新的问题，编出有一定的思维难度和转折度的问题，让学生“耳目一新”而又“跃跃欲试”，激发学生研究和探索的欲望，也激发学生“翻身作主”自编子题的欲望，为课后的“孵题”打下铺垫。
【案例四】如右图所示，已知利用墙的一面（足够长），用总长为20m的篱笆围成一个矩形场地，求这块场地的长和宽各为多少米时场地面积最大？最大面积是多少？
（三）课后——“节外生枝”
1、孵题。“孵”的本义是用体温使卵内的胚胎发育成雏鸟。有了课堂上老师将母题生子题，子题又生子题的示范和学生在解决这些子题时的亲身体验，学生自我“孵题”的时机已成熟。老师布置课后作业，给学生足够的时间和空间，让学生根据母题，自己设计题目，自己寻找规律，促使学生不断“回首”和“内化”课堂所掌握和领悟的。通过这种“孵题”的训练，让学生在编题内容的迁移中培养对知识的联想和综合应用的能力。老师要对学生进行“孵题”方法指导。
2、鉴题。对学生的“成题”进行鉴定，鉴题的正确性、严密性、创新性、反思性。鉴的方式可以是以下几种。①学生自鉴。自鉴指解答自己出的题，同时说明出题的原因和依据，所用到的知识和方法。通过对自我作业的鉴别，激发学生的反思能力。②学生互鉴。让学生相互评价作业，着重鉴别的正确性和出题者解题思路的正确性，使学生相互学习，取长补短，共同进步。③教师质鉴。教师要针对不同学生的不同情况做出有意义的评价。如对学生的解题步骤进行细致化评价，找出题目设计的漏洞。对有创意反思性强的好题要肯定和赞赏。
3、晒题。“晒题”指的是将鉴定出来的好题用墙贴、用幻灯等方式展示出来。这些好题是一个非常好的学习资源，这个学习资源为学生量身定制而又风格各异。而展示就可让好题共享，还能激发学生的自信心，促进学生学习数学的热情和兴趣。
4、品题。建立“好题集”，将母题，老师“生”的子题，自己“生”的子题，同学“生”的子题整理在册。欣赏别人的精彩思路，领略多题一解，异形同解的妙趣，在品味的同时，启发自己的思维，借它山之石攻己之玉。 那么，“品题”，品什么呢？①品题目意思，首先是指读懂题目的言内之意，审清题意，弄清楚题目所要回答的是什么问题，在什么范围、方面、角度或条件下回答这一问题。其次是指关注题目的言外之意，即关注一些具体体现题意的关键性字词或句子，这样的字词句往往是“题眼”。 ②品命题意图，要明确这道题考查的是哪一部分的知识点，考查了哪些解题方法，考查了哪些数学能力，将反思所得进行小结，这样下次再遇到类似的题目或同一类型的题目就能迅速的找到解题思路。 ③品解题方法，“横看成岭侧成峰”，同一道题，从不同的角度去分析研究，可能会得到不同的启示，从而引出不同的解法。这样做的目的是通过不同的研究侧面，使思维的触角伸向不同的方向，不同的层次。在找到不同的解法时也要对这些解法进行总结，看看其他什么题型也能这样做，做到“一题多解”的同时也要“多题一解”。④品应用价值，有些题目本身可能很简单，但是它的结论却有很广泛的应用，如果仅仅只满足于解题本身，而忽视对结论的思考和探索，那就可能会“拣了芝麻，丢了西瓜”。所以通过这道题把题目所蕴涵的方法结论提炼出来，以便于以后解题直接利用。
四、收获与启示
1、由“条块分割”到“阡陌纵横”——生成一个和谐的生态教学系统。动态生成式习题让原本各自为阵的“课前”、“课中”、“课后”三个教学环节有机地整合成一个完整的系统，习题就像是这个系统的“食物链”，让彼此之间产生了相互关联的、相互交错的关系，使教学活动井然有序、持续发展。当然，作为生态的教学系统也是一个开放系统，为了维系自身的稳定，生态系统需要不断输入能量，否则就有崩溃的危险;而动态生成式习题不断开发的学习资源，不断生成的知识和问题，就像是不断为这一系统输入能量，使系统保持着强大活力。
2、由“作茧自缚”到“破茧化蝶”——生成一种交互的动态师生角色。在动态生成的习题教学中，教师不能仅仅停留在传授知识上，更多地转向扮演教学中的指导者、帮助者、促进者、组织者和合作者等多重角色，以此改善学生在学习中的弱势地位，使学生在教师指导、帮助、促进、引导下，从知识容器的畸形地位中解放出来，成为知识的探索者和加工者。学生在学习中的经验、基础、潜能、积极性和主动性成为了师生合作的可靠起点，学生在教师面前积累发表自己见解的勇气和技能，展现其学习才干和障碍，而把弥补学生的欠缺、不足和所要达到的发展目标作为合作的果实。
3、由“奄奄一息”到“生生不息”——生成一套科学的思维训练模式。动态生成式习题教学的过程，就是将杂乱无章的知识和技能具体化和系统化，它启示我们要注意探索多种题型转变的一般规律，揭示其本质特征，掌握同类题型的基本解题思路，以不变的办法应付多变的题型，变是为了不变。变的是题的情形、题的形式、题的条件、题的内容，不变的是解题的基本方法、解题的基本思维、解题的基本规律。
动态生成式习题教学从研究习题本体出发，为师生的“教与学”生成了一种科学的思维训练模式，这无疑为学生因搞“题海战术”而“奄奄一息”的死海中，注入了“强心剂”，使昏昏欲睡的高三数学课堂从此“鸟语花香，风生水起”。当然，学生的思维活动过程是一种隐蔽性的活动，看不见摸不着。学生思维的深度又对每个学生有着能力上的差异，所以思维的训练并不是一朝一夕能解决的，需要我们反复研究，反复实践，这也是本人不断追求和努力的方向。
参考文献：
[1]顾鑫盈：《从预设式教学到动态生成式教学》，《天津教育》.2004年02期
[2]张建：《一道应用题变式教学及反思》，《中学教研》，2010年10期