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有这样一题：花园小学有一块长方形试验田（如图），求试验田的宽。
学生已经学习了等式的性质（2），初步掌握了解方程的一般步骤，因此我为学生提供了足够的自主探索空间，先结合现实情境引导学生根据长方形的面积公式列出方程，再尝试计算。从反馈来看，有这样两种方法：
第一种：40x=960 第二种：40x=960
x=960÷40 40x÷40=960÷40
x=24 x=24
依据： 四则运算之间的关系依据：等式的性质（2）
我主观上认为大多数学生会根据新学的等式性质（2）来解方程，但统计的结果却让我十分意外：全班78人，只有21人按照第二种方法来做。这是什么原因呢？
一、深入了解学生真实的思维活动
1.认知基础的“顽固性”
心理学研究表明，当人们熟练地掌握某种法则以后，往往就很难从另一种角度去思考问题，从而也就不容易顺利地实现由“过程”向“对象”的转变。在一至四年级，学生都是根据四则运算各部分之间的关系来做计算的，它既是学生十分熟悉的运算规律，同时又为新知的学习提供了合适的基础。方程是把已知和未知看做同等的地位，一样参与运算，从这个角度去看，当然也可以运用四则运算各部分之间的关系来做。而且，四则运算各部分之间的关系学生是先入为主、根深蒂固的，具有相对的“顽固性”，甚至在一定程度上会排斥新学的等式的性质，导致思维的“过早封闭”。因此，大多数学生这样做也就可以理解了。
2.两种方法形式上的相似引发学生思维的惰性
第一种方法书写较少，形式简单。第二种方法从表面看，显得烦琐、麻烦，而且方程左边的“40x÷40”可以直接简写成“x”，这样从表面上看就和第一种方法一样了。根据已有的经验已经能够正确地解方程了，何必又多此一举，再去理解、掌握等式的性质呢？学生形成思维惰性，就不会再去深究思路和观念的不同，更不会创新解法。
二、领会课程标准和教材编排意图，确认教材价值
建构主义认为：“知识并不能简单地由教师或其他人传授给学生，而只能由每个学生根据自身已有的知识、经验、方法在他人的帮助下主动地加以建构。”从这个角度来看，学生依据四则运算各部分之间的关系来解方程是不言而喻的事，而新教材却一改往日的“利用四则运算各部分之间的关系和相关运算律”的传统做法，运用等式的性质解方程，这在教师看来是层次清晰的推理过程，对于学生来说，不仅感觉很烦琐，而且由于认知上的障碍反而不易接受。看来不能以教师的思想去取代学生的思维。难道教材安排不够科学？再次比较两种思路：第一种方法是把未知数x优先从背景中筛选出来，依据四则运算各部分之间的关系求出x的值；第二种方法用“结构性观点”去看待方程，着眼于其所表明的等量关系，体现了方程思想的本质，较好地解决了中小学关于方程解法的衔接问题。《数学课程标准》也明确要求学生能“理解等式的性质，会利用等式的性质解简单的方程”。那么，教材编排的价值是不容置疑的，即不能因为学生思维的轻车熟路，而忽视新知的教学，忽视学生数学思想的进一步提升。
三、根据学生心理特点及已有知识经验，采取合理的教学措施
1.帮助学生获得必要的经验和预备知识，建立起“等号”的“结构性观点”
教师有意识地引导学生构造出下列等式：
4 5=2 （） 2×6=（）×（） 10÷2 1=（）-7
4 5=3×（） 2×6=50-（） 10÷2-（）=1×（）
问：你是怎么想的？为什么这样填？这些题有何共同点？
思考：设计此题不只是要学生给出答案，而主要是让学生感悟其中的等量关系，明白等式不应被认为具有唯一的方向（左边表示应做的运算，右边表示答案），等号的左边和右边相等，等号表示左、右双方的等价性。通过重新组织，唤起、激活学生的相关认知结构，为利用等式的性质解方程提供强有力的支撑，使学生学习新知处于良好的准备状态。
2.理解地“教”和“学”，实现由“过程性观点”向“结构性观点”的转化
奥苏泊尔认为:“影响学生学习新知最重要的因素是学生已经知道了什么。”利用四则运算各部分之间的关系来计算是学生耳熟能详的，而根据等式的性质解方程对于学生来说是一个新生事物，与学生已有的知识和经验不能很好地联系起来，这时就要通过必要的“强化”达到新的整合，对知识网络进行改造。
在“○”里填运算符号，在“（）”里填数：
x 5=8 x÷9=90 2.5×y = 10
x 5 ()=8 ()x÷ 9○()=90○( ) 2.5○（ ）-8=10-8
追问：你是怎么想的？每一题的答案都是唯一的吗？这三组题有什么共同点？
思考：心理学研究表明，抽象的概念需要通过熟悉很多的事物才得以形成。乍看这一题好像与上一题类似，其实是运用了心理学的变式原理，从不同的角度组织丰富的感性材料，变换等式的非本质特征，在各种表现形式中凸显等式的本质特征。让学生再次理解等式的性质，彻悟其中的等量关系，从而使学生对等式性质的理解达到越来越概括的程度，使其内化为学生知识网络的一部分，实现由“过程性观点”向“结构性观点”的转化。
3.抓住关键，巧妙突破难点，介绍教材编排意图
出示：
40x=960 x÷9=50 5 z=20 y-8=30 20
快速抢答：用什么方法使方程的一边只剩下未知数呢？
思考：学生的思维处于下意识状态，不由自主地从知识网络中检索出等式的性质，应用到解方程的过程中去（而不是被动的接受与机械的记忆），突破思维定势，使利用等式的性质解方程变得顺理成章、水到渠成。学生深刻认识到：利用等式的性质解方程，看似麻烦，实则简单，不须思考各部分之间的关系。这时，教师再适时介绍教材之所以这样编排是为了中小学方程解法的衔接，使学生认识到利用等式的性质解方程的必要性，观念得以更新、深化。
4.慎选反例，引导学生进行评价和调整，让思维走向深刻
先找出错误，再改正。
40x=960 2x=5 11=16=16÷2=8
40x÷40=960
x =960
思考：现代认知心理学表明，在解决问题的过程中，同时存在两种思维过程，即具体的认知过程和更高层次的元认知过程。在对反例辨别的过程中，学生会有意识地把自己心目中的“样例”抽取出来与之比较、分析，进而进行评价。在比较与思辨中，反衬和激生对用等式的性质解方程的认识，用“结构性观点”去看待方程，着眼于其所表明的等量关系，从而对自己已有的认知结构和认知策略进行评价和调整，使思维走向深刻。
5.巧解质疑，使全体学生都能有差异地得到发展
960÷x=40 80-y=16
在课的尾声，几只小手高高举起：“老师，例5列成960÷x=40，怎么解？”“如果未知数是减数或除数，怎么办？”（并举了上面的例子）教师教学用书上是这样说的：要告诉学生列这样的方程是可以的，但因为用我们现有的知识解这样的方程有些困难，所以一般也不要这样列。这样告诉学生就能解惑吗？牵强！ “想法只有当它们要来时才来，而不是我们要它们来就来。”学生能提出这样的问题说明学生有自己的思考，是聪明的。于是，我引导学生自主探索，不少学生集思广益，成功地解决了这一难题。面对一张张因激动而涨红的小脸，我如释重负。
（江苏省睢宁县实验小学 221200）
学生已经学习了等式的性质（2），初步掌握了解方程的一般步骤，因此我为学生提供了足够的自主探索空间，先结合现实情境引导学生根据长方形的面积公式列出方程，再尝试计算。从反馈来看，有这样两种方法：
第一种：40x=960 第二种：40x=960
x=960÷40 40x÷40=960÷40
x=24 x=24
依据： 四则运算之间的关系依据：等式的性质（2）
我主观上认为大多数学生会根据新学的等式性质（2）来解方程，但统计的结果却让我十分意外：全班78人，只有21人按照第二种方法来做。这是什么原因呢？
一、深入了解学生真实的思维活动
1.认知基础的“顽固性”
心理学研究表明，当人们熟练地掌握某种法则以后，往往就很难从另一种角度去思考问题，从而也就不容易顺利地实现由“过程”向“对象”的转变。在一至四年级，学生都是根据四则运算各部分之间的关系来做计算的，它既是学生十分熟悉的运算规律，同时又为新知的学习提供了合适的基础。方程是把已知和未知看做同等的地位，一样参与运算，从这个角度去看，当然也可以运用四则运算各部分之间的关系来做。而且，四则运算各部分之间的关系学生是先入为主、根深蒂固的，具有相对的“顽固性”，甚至在一定程度上会排斥新学的等式的性质，导致思维的“过早封闭”。因此，大多数学生这样做也就可以理解了。
2.两种方法形式上的相似引发学生思维的惰性
第一种方法书写较少，形式简单。第二种方法从表面看，显得烦琐、麻烦，而且方程左边的“40x÷40”可以直接简写成“x”，这样从表面上看就和第一种方法一样了。根据已有的经验已经能够正确地解方程了，何必又多此一举，再去理解、掌握等式的性质呢？学生形成思维惰性，就不会再去深究思路和观念的不同，更不会创新解法。
二、领会课程标准和教材编排意图，确认教材价值
建构主义认为：“知识并不能简单地由教师或其他人传授给学生，而只能由每个学生根据自身已有的知识、经验、方法在他人的帮助下主动地加以建构。”从这个角度来看，学生依据四则运算各部分之间的关系来解方程是不言而喻的事，而新教材却一改往日的“利用四则运算各部分之间的关系和相关运算律”的传统做法，运用等式的性质解方程，这在教师看来是层次清晰的推理过程，对于学生来说，不仅感觉很烦琐，而且由于认知上的障碍反而不易接受。看来不能以教师的思想去取代学生的思维。难道教材安排不够科学？再次比较两种思路：第一种方法是把未知数x优先从背景中筛选出来，依据四则运算各部分之间的关系求出x的值；第二种方法用“结构性观点”去看待方程，着眼于其所表明的等量关系，体现了方程思想的本质，较好地解决了中小学关于方程解法的衔接问题。《数学课程标准》也明确要求学生能“理解等式的性质，会利用等式的性质解简单的方程”。那么，教材编排的价值是不容置疑的，即不能因为学生思维的轻车熟路，而忽视新知的教学，忽视学生数学思想的进一步提升。
三、根据学生心理特点及已有知识经验，采取合理的教学措施
1.帮助学生获得必要的经验和预备知识，建立起“等号”的“结构性观点”
教师有意识地引导学生构造出下列等式：
4 5=2 （） 2×6=（）×（） 10÷2 1=（）-7
4 5=3×（） 2×6=50-（） 10÷2-（）=1×（）
问：你是怎么想的？为什么这样填？这些题有何共同点？
思考：设计此题不只是要学生给出答案，而主要是让学生感悟其中的等量关系，明白等式不应被认为具有唯一的方向（左边表示应做的运算，右边表示答案），等号的左边和右边相等，等号表示左、右双方的等价性。通过重新组织，唤起、激活学生的相关认知结构，为利用等式的性质解方程提供强有力的支撑，使学生学习新知处于良好的准备状态。
2.理解地“教”和“学”，实现由“过程性观点”向“结构性观点”的转化
奥苏泊尔认为:“影响学生学习新知最重要的因素是学生已经知道了什么。”利用四则运算各部分之间的关系来计算是学生耳熟能详的，而根据等式的性质解方程对于学生来说是一个新生事物，与学生已有的知识和经验不能很好地联系起来，这时就要通过必要的“强化”达到新的整合，对知识网络进行改造。
在“○”里填运算符号，在“（）”里填数：
x 5=8 x÷9=90 2.5×y = 10
x 5 ()=8 ()x÷ 9○()=90○( ) 2.5○（ ）-8=10-8
追问：你是怎么想的？每一题的答案都是唯一的吗？这三组题有什么共同点？
思考：心理学研究表明，抽象的概念需要通过熟悉很多的事物才得以形成。乍看这一题好像与上一题类似，其实是运用了心理学的变式原理，从不同的角度组织丰富的感性材料，变换等式的非本质特征，在各种表现形式中凸显等式的本质特征。让学生再次理解等式的性质，彻悟其中的等量关系，从而使学生对等式性质的理解达到越来越概括的程度，使其内化为学生知识网络的一部分，实现由“过程性观点”向“结构性观点”的转化。
3.抓住关键，巧妙突破难点，介绍教材编排意图
出示：
40x=960 x÷9=50 5 z=20 y-8=30 20
快速抢答：用什么方法使方程的一边只剩下未知数呢？
思考：学生的思维处于下意识状态，不由自主地从知识网络中检索出等式的性质，应用到解方程的过程中去（而不是被动的接受与机械的记忆），突破思维定势，使利用等式的性质解方程变得顺理成章、水到渠成。学生深刻认识到：利用等式的性质解方程，看似麻烦，实则简单，不须思考各部分之间的关系。这时，教师再适时介绍教材之所以这样编排是为了中小学方程解法的衔接，使学生认识到利用等式的性质解方程的必要性，观念得以更新、深化。
4.慎选反例，引导学生进行评价和调整，让思维走向深刻
先找出错误，再改正。
40x=960 2x=5 11=16=16÷2=8
40x÷40=960
x =960
思考：现代认知心理学表明，在解决问题的过程中，同时存在两种思维过程，即具体的认知过程和更高层次的元认知过程。在对反例辨别的过程中，学生会有意识地把自己心目中的“样例”抽取出来与之比较、分析，进而进行评价。在比较与思辨中，反衬和激生对用等式的性质解方程的认识，用“结构性观点”去看待方程，着眼于其所表明的等量关系，从而对自己已有的认知结构和认知策略进行评价和调整，使思维走向深刻。
5.巧解质疑，使全体学生都能有差异地得到发展
960÷x=40 80-y=16
在课的尾声，几只小手高高举起：“老师，例5列成960÷x=40，怎么解？”“如果未知数是减数或除数，怎么办？”（并举了上面的例子）教师教学用书上是这样说的：要告诉学生列这样的方程是可以的，但因为用我们现有的知识解这样的方程有些困难，所以一般也不要这样列。这样告诉学生就能解惑吗？牵强！ “想法只有当它们要来时才来，而不是我们要它们来就来。”学生能提出这样的问题说明学生有自己的思考，是聪明的。于是，我引导学生自主探索，不少学生集思广益，成功地解决了这一难题。面对一张张因激动而涨红的小脸，我如释重负。
（江苏省睢宁县实验小学 221200）