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目前很多老师在感慨如今的数学教学就是在不停地做题！老师忙、学生苦，到头来学生题目做了不少，但成绩却未得到明显提高，不会做的题目依然不会做，会做的题目也仅局限于做过的题目，甚至有的同学连做过的题目改个条件换个背景就束手无策了。究其原因，笔者认为学生和老师都是就题论题，没有停下来反思、总结，弄些变式搞些研究．解题教学是高中教学的重心，我们不能仅仅满足得到了结果，教学中应注意适时引导学生作深入研究，找到解题规律，掌握规律才能走出题海，提高应变能力。如何在紧张有限的高三复习时间里真正实现做一题会一类，达到举一反三、触类旁通的高效的复习效果，值得我们深思。下面举两例与正在高三紧张复习进行中的师生们共同探讨。
例1 已知点O是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足 ， ，则P的轨迹一定通过 的…………………( )
A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心
解法一 设 为 上的单位向量， 为 上的单位向量，则 的方向为 的角平分线 的方向．又 ，∴ 的方向与 方向相同．
而 ，∴点P在 上移动．∴P的轨迹一定通过 的内心，选B．
解法二 由于P点轨迹通过 内一定点且该点与O点位置和 的形状无关，故取O点与A点重合，由平行四边形法则，很容易看出P点在 的平分线上，故选B．
解法三 设 ， ，则 ，易知P点在 的平分线上，轨迹通过内心，故选B．
评注 本题的题眼是 以及向量合成的几何意义，抓住这两点，问题迎刃而解．若 将条件 适当变形，笔者与学生一起研究探讨得到了意外的收获．
变式一 已知点O是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足 ， ，则P的轨迹一定通过 的 心．
答案：重心．
变式二 已知点O是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足 ， ，则P的轨迹一定通过 的 心．
答案：内心．
变式三 已知点O是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足 ， ，则P的轨迹一定通过 的 心．
答案：重心．
变式四 已知点O是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足 ， ，则P的轨迹一定通过 的 心．
答案：垂心．
．
∴ ，从而点P的轨迹一定通过 的垂心．
评注 通过变式教学，拓展了学生思维，使学生深刻理解了数学问题发生、发展和演变的过程，学生看到了问题的本质，对提高学生学习数学兴趣、增强学好数学的信心有极大的帮助．
例2 将全体正整数排成一个三角形数阵（如图1）：
按照以上排列的规律，第n 行（ n≥3）从左向右的第3个数为 ．
方法一 前n-1 行共有正整数 个，即 个．
因此第n 行（ n≥3）从左向右的第3个数是全体正整数中第 个，即为 ．
方法二 解决这类问题的关键是找到通项，设第 n 行按排列规律的最后一个数为 an，
则
所以，第 n-1行按排列规律最后一个数为
因此第 n行（n≥3 ）从左向右的第3个数是 ．
评注 把一些形状看起来类似，而实际所应用的知识、解法、思维等都不同题目放在一起，让学生进行思辨，避免思维定势．
变式一 已知等差数列 的通项公式为 ，现将数列 的每项排成一个三角形数阵（如图2），按照此排列的规律，第10行（ n≥3 ）从左向右的第3个数为 ．
分析 研究图2的数阵中每一个数的下标发现其排列规律与图1类似，
所以第10行（ n≥3 ）从左向右的第3个数为
变式二 将全体正整数排成一个三角“蛇形”数阵（如图3）：按照以上排列的规律，2011排在该数阵中第 行，第 列．（行是从上往下数，列是从左往右数）
分析 根据数阵中各数的排列规律发现，偶数行是从左到右排列，奇数行是从右到左排列．
但第n 行按排列规律结束时的数字依然为 ，所以2011排在第63行第6列．
变式三 图4给出一个“直角三角形数阵”：每一列成等差数列，从第三行起，每一行的数成等比数列，且每一行的公比相等，记第i 行第j 列的数为 ，则 ．
分析 第i 行第一个数由第一列成等差数列可知，即
又第i 行为等比数列，公比 ，所以 ．
问：(1)第一组到第k组共有几个数？
(2)第k组中的首数和尾数各是什么？
(3)求第k组各数之和及前k组各数之和．
分析 (1)∵第k组中有k个数，∴第一组到第k组共有：1＋2＋…＋k＝■个数．
(2)第k组的第一个数是 ，最后一个数是 ．
(3)第k组中各数之和为：
∴前k组各数之和为：
变式不是一撮而就，而是通过缜密思考，细心揣摩，慢慢品味．从简单的问题入手，创设问题情景，在知识的交汇点、在知识的生长点上设置问题，引导学生不断去发现问题、探究问题、解决问题．这需要我们在平时的学习过程中注意收集整理，以不变应万变．通过变式能够让学生开阔视野，活跃思维，也会逐渐培养学生对数学学习的兴趣和热情．若此，岂不悠哉、乐哉！
例1 已知点O是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足 ， ，则P的轨迹一定通过 的…………………( )
A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心
解法一 设 为 上的单位向量， 为 上的单位向量，则 的方向为 的角平分线 的方向．又 ，∴ 的方向与 方向相同．
而 ，∴点P在 上移动．∴P的轨迹一定通过 的内心，选B．
解法二 由于P点轨迹通过 内一定点且该点与O点位置和 的形状无关，故取O点与A点重合，由平行四边形法则，很容易看出P点在 的平分线上，故选B．
解法三 设 ， ，则 ，易知P点在 的平分线上，轨迹通过内心，故选B．
评注 本题的题眼是 以及向量合成的几何意义，抓住这两点，问题迎刃而解．若 将条件 适当变形，笔者与学生一起研究探讨得到了意外的收获．
变式一 已知点O是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足 ， ，则P的轨迹一定通过 的 心．
答案：重心．
变式二 已知点O是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足 ， ，则P的轨迹一定通过 的 心．
答案：内心．
变式三 已知点O是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足 ， ，则P的轨迹一定通过 的 心．
答案：重心．
变式四 已知点O是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足 ， ，则P的轨迹一定通过 的 心．
答案：垂心．
．
∴ ，从而点P的轨迹一定通过 的垂心．
评注 通过变式教学，拓展了学生思维，使学生深刻理解了数学问题发生、发展和演变的过程，学生看到了问题的本质，对提高学生学习数学兴趣、增强学好数学的信心有极大的帮助．
例2 将全体正整数排成一个三角形数阵（如图1）：
按照以上排列的规律，第n 行（ n≥3）从左向右的第3个数为 ．
方法一 前n-1 行共有正整数 个，即 个．
因此第n 行（ n≥3）从左向右的第3个数是全体正整数中第 个，即为 ．
方法二 解决这类问题的关键是找到通项，设第 n 行按排列规律的最后一个数为 an，
则
所以，第 n-1行按排列规律最后一个数为
因此第 n行（n≥3 ）从左向右的第3个数是 ．
评注 把一些形状看起来类似，而实际所应用的知识、解法、思维等都不同题目放在一起，让学生进行思辨，避免思维定势．
变式一 已知等差数列 的通项公式为 ，现将数列 的每项排成一个三角形数阵（如图2），按照此排列的规律，第10行（ n≥3 ）从左向右的第3个数为 ．
分析 研究图2的数阵中每一个数的下标发现其排列规律与图1类似，
所以第10行（ n≥3 ）从左向右的第3个数为
变式二 将全体正整数排成一个三角“蛇形”数阵（如图3）：按照以上排列的规律，2011排在该数阵中第 行，第 列．（行是从上往下数，列是从左往右数）
分析 根据数阵中各数的排列规律发现，偶数行是从左到右排列，奇数行是从右到左排列．
但第n 行按排列规律结束时的数字依然为 ，所以2011排在第63行第6列．
变式三 图4给出一个“直角三角形数阵”：每一列成等差数列，从第三行起，每一行的数成等比数列，且每一行的公比相等，记第i 行第j 列的数为 ，则 ．
分析 第i 行第一个数由第一列成等差数列可知，即
又第i 行为等比数列，公比 ，所以 ．
问：(1)第一组到第k组共有几个数？
(2)第k组中的首数和尾数各是什么？
(3)求第k组各数之和及前k组各数之和．
分析 (1)∵第k组中有k个数，∴第一组到第k组共有：1＋2＋…＋k＝■个数．
(2)第k组的第一个数是 ，最后一个数是 ．
(3)第k组中各数之和为：
∴前k组各数之和为：
变式不是一撮而就，而是通过缜密思考，细心揣摩，慢慢品味．从简单的问题入手，创设问题情景，在知识的交汇点、在知识的生长点上设置问题，引导学生不断去发现问题、探究问题、解决问题．这需要我们在平时的学习过程中注意收集整理，以不变应万变．通过变式能够让学生开阔视野，活跃思维，也会逐渐培养学生对数学学习的兴趣和热情．若此，岂不悠哉、乐哉！