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摘 要：教学绝对不是一种简单的告诉，教学应该是一种过程的经历，一种体验，一种感悟.在新课程背景下，教学设计主要关注学生，以学生的学为中心.
关键词：高中数学；课例研究；教学设计
杜威曾经说过：“教学绝对不是一种简单的告诉，教学应该是一种过程的经历，一种体验，一种感悟.” 对于教师来说，我们每天所从事的编写教案、练习题或测试题等都可以被认为是教学设计. 在传统教学中，教学设计主要关注教师，以教师的教为核心.在新课程背景下，教学设计主要关注学生，以学生的学为中心.
对于新课程中的数学教学设计，笔者有如下一些思考.
■主体设计需要换位思考吗
案例1 苏教版高中数学必修1函数专题复习（3）一节课的教学设计片段.
例 二次函数g（t）=at2+t+1，t∈（0，2]，当a为何值时g（t）>0恒成立？
学生板演：采用了分类讨论的思想.解：t=-■，a>0时，函数在（0，2]上为增函数，所以只要f（0）≥0，f（2）>0；a<0时，同理可得.
教师讲述：a>0时，f（2）>0不要写；建议高一学生少写同理. 另外，对于a<0的情况，结合图象知只需要g（2）>0且g（0）≥0. 此题锻炼我们求解二次函数在规定区间上的最值问题.变式：设f（x）=lg■，如果当x∈（-∞，1]时，f（x）有意义，求实数a的取值范围.
学生思考：本题即转化为当x∈（-∞，1]时，1+2x+4xa>0恒成立，求实数a的取值范围. 很多学生都想到令2x=t，转化为求at2+t+1>0恒成立，其中t∈（0，2].
教师提问：二次函数能避免吗？
学生回答：分离变量.
教师提问：若没有想到分离变量怎么办？
学生感到困惑.教师讲述：
可令t=■■，x∈（-∞，1]，得t2+t+a>0，t∈■，+∞，转化为g（t）=t2+t+a，t∈■，+∞恒大于0，求实数a的取值范围. 由数形结合知，只要g■>0，求得a>-■.
教师讲述：本题的第二种方法实在太妙了，它正巧利用了4x>0，我们每一项同时除以4x，不等式不改变方向. 我们在平时的学习中，一定要多想、多悟、多总结、多发现，有这种将问题优化的意识. 当然，本题还有第三种方法：分离变量.1+2x+4xa>0，移项4xa>-1-2x，即a>-■-■■在（-∞，1]上恒成立. 此法避免了讨论.下面只要求g（x）=-■■-■，x∈（-∞，1]的最大值. 当然，在求函数的最大值时，我们首选方法不是换元，而是函数的单调性.
教学反思：这节课虽然教师引导得很好，但还是感觉老师讲得太多，学生动得偏少. 课堂的容量很大，思考的时间偏少.我们教师在设计这节课的时候，有没有换位思考一下，如果你是学生，能在短时间内想到这三种解法吗？再比如，讲到求g（x）=-■■-■，x∈（-∞，1]的最大值时，教师说“在求函数的最大值时，我们首选方法不是换元，而是函数的单调性”. 对这一结论的得出，教师是否也可以换位思考，如果我是学生，我对于这类求函数最值得题目到底先想到什么方法？为什么得出这个结论？这结论怎么出来的？我自己要是没有去尝试，能得出这个结论吗？因此笔者觉得本节课教学设计强调教师教的内容，学生主体有些弱化，教学设计的出发点是教材，是教师的主观愿望，忽略了学生的感性经验和个性差异. 教学设计主观地认为学生任何目标都能达成，对于题目的任何解读都可以接受. 针对这些问题，笔者觉得教学设计中应增加学生的差异性教学设计、教学内容的分层次教学设计等，留给学生足够的思考空间和时间.
■课堂需要一题多解、多题一解吗
案例2 苏教版高中数学不等式的一节复习课. 以下是部分内容.
例2 求解x■≥0.
学生 解：（法一）1-x2≥0，所以-1≤x≤1，
原不等式可化为■≥0，x≥0？圯0≤x≤1或■=0，所以x=±1，
所以{x0≤x≤1或x=-1}.
师生：（法二）x■>0或x■=0，所以0 教学反思：这道题貌似简单却很容易做错，教师很注重选题，注重引导学生思考，从而找到解决此题的多种方法，并对形如f（x）■≥0的不等式解法进行了总结. 让听者不仅知其然，还知其所以然；不仅解决这一道题目，同时发现这一类题目的解法. 让学生从一道题就能举一反三，不要在同种类型题目上做重复劳动. 节约了学生的学习时间，减少了学生的负担，效果非常好.笔者自己在平时的教学中，有时会总结但总结得还不够. 没有对每一道题进行严格的删选，没有对每一道题进行反复的研究. 作为教师，我们一定要为学生考虑，注重典型例题，并且引导学生总结出一类问题的解法. 我们有时总会埋怨学生怎么这么笨啊，这么简单的题都不会，不就是我哪天讲过的题型吗. 这到底是学生真的笨还是我们自己没有讲透彻，没有讲到位呢？
？摇接着教师给出了例3：求y=x■（0≤x≤1）的最大值.
？摇和刚才的例2有点联系. 对于函数的最值问题，学生最熟悉的莫过于二次函数了. 因为这题含有根号，所以很多学生都想到了去根号，对两边同时平方得：y2=x2（1-x2），从而令x2=t，t∈[0，1]，所以g（t）=t（1-t），t∈[0，1]，所以g（t）≤■. 以上是解法一. 转化成二次函数在区间上的最值问题.在教师的引导下，学生又想出了其他解法.
解法二：令x=cosθ，θ∈0，■，y=cosθsinθ=cosθsinθ=■sin2θ≤■，当且仅当θ=■时函数取到最大值■.
解法三：y=■≤■=■，当且仅当x2=1-x2即x=■时，函数取到最大值■. 接着教师又给出了例3的变式. 变式1：若将x∈[0，1]，改成x∈0，■，求函数最大值.
变式2：求y=x■（0≤x≤2）的最大值.
变式3：将一根圆柱形树干加工成截面为矩形的柱子，设已知截面圆的直径为1，问怎样取法可使废弃的木料最少.
教学反思：太精彩了，一道题目竟能有这么多解法，又能产生这么多的变式题，而它们之间又有或多或少的联系. 变式3不正是变式2在实际生活中的模型吗？实在值得学习. 机会总是垂青有准备的人，作为我们青年教师，我们要注重专业知识的培养. 我们莫做知识浅薄的“严师”，一味的严，让学生怕你并不代表自己就是一个好老师. 应树立新的知识观，坚持自主学习，读书、读书、再读书. 如果我们教师都能坚持认真读书，多思考、多总结每节课的得与失、成与败，多引导学生一题多解、多题一解，学生一定会从内心被教师感化，一定会慢慢感受到数学的神奇和美.
■问题设计需要结合学生认知吗
最近，笔者有幸听了“市高中数学基本功比赛获奖选手展示课”. 几位选手都上的是苏教版高中数学必修4三角函数的图象和性质第一节课，风格各异，各有所长，但也有共性，几乎都设计了五六个母问题，从而层层推进，完成本节课.
案例3 教师从生活中的摩天轮动画引例，提出问题1：当t=■分钟时，求点P到平台所在平面的相对高度h.
结合图形和已知的角速度1弧度∕分，学生很容易知道此时h=■. 由于当天的学生并不是四星级学校学生，教师顺便问若t=■呢？学生也很明确. 教师因势利导，很自然地给出了问题2：求经过t（t>0）分钟后，P到平台所在平面的相对高度h与t的关系. 由于有前面问题的铺垫，学生也容易得出一般情况h=sint. 学生在不知不觉中，步入了正弦函数y=sinx（x∈R）的学习. 问题3：如何作出正弦函数y=sinx（x∈R）的图象？根据以往作函数图象的经验，学生很容易知道是列表、描点、连线. 如果将定义域限制在 [0，2π]，我们怎么列表呢？自然是选取我们熟悉的特殊角. 教师让一组学生回答了特殊角的三角函数值. 然后描点连线.在操作代数描点法的时候，我们有什么困难吗？学生通过尝试发现找点比较困难，找不准. 问题4：你能更精确地在坐标系中描出点■，sin■吗？对于这个问题，学生比较难以回答. 教师引导学生借助单位圆，在单位圆中，怎么表示■？怎么表示sin■？学生发现可以等分圆找到■角，但怎样找出横坐标为■，纵坐标为sin■的点呢？教师让学生回忆并观察图形中还有哪一个是■，学生想到弧长. 那怎样将曲线转化成直线呢？可以将曲线拉长. 这样横坐标便确定了，而纵坐标利用三角函数线再平移，学生在教师的引导下还是比较能发现的. 解决了问题4，也就解决了本节课的一个难点. 以下是另一个教师的教学片断.
案例4 问题1：如何作出■的正弦线？
学生对于问题1是比较容易回答的，可以在单位圆中找到■角，利用有向线段MP.
问题2：如何作出点■，sin■？
因为当天面对的学生基础一般，这个问题给出以后，教室有点静. 学生静静思考了一会，教师让一位学生演示，结果画错了. 学生将刚才问题1中单位圆与■角的终边的交点P点的坐标写成■，sin■. 教师也可能早有准备，慢慢引导，花了10多分钟解决了这个难题.
教学反思：在案例3中，教师从大家生活中比较熟悉的摩天轮出发，给出问题1，问题1只要结合给出的图，很容易就能回答，t=■时学生模仿就可得，于是很自然的问题2便不知不觉中就能被解决. 得到了正弦函数，那它的图象是怎样的？你能画吗？教师在设计这节课的时候，结合了学生的认知规律，从学生的角度来考虑问题怎么设置，所以教学时我们根本听不出来当天学生基础较差. 在老师的引导下，学生很容易想到并解决老师给的问题. 也许，真的没有教不好的学生，只有不会教的老师. 教学，是需要结合学生的认知规律的，教学，是需要艺术的. 在案例4中，教师从大的问题出发，特别是问题2，学生是比较难回答的，也是本节课的难点. 教师能够给学生足够的思考时间，能够静静地让学生思考，给学生展示的空间，让我们看到了真实的课堂，这点是值得学习的. 当然对于这两个案例，两位教师有一个共同的问题是作出点■，sin■，为什么一定要作出这个点呢？能不能不作这个点？能不能作其他点呢？应该是可以的. 案例3从实际问题引入，更贴近学生的认知，所以课进展得比较顺利；案例4中教师的问题没有太多的铺垫，因为学生基础不是很好，加上很多教师听课，也许紧张，所以学生答不上也是在情理之中的. 问题2涉及以下几个问题：（1）怎么表示一个点？必须先有平面直角坐标系.（2）横坐标为■怎么表示？■角怎么得到？这个确实很难办到，将曲线化成直线的思想我们教师讲得轻松，实际上学生真的不容易想到，具体操作其实我们也很难画准确. （3）纵坐标为sin■点怎么表示等等. 因此要回答出问题2真的挺难.
■总结设计能够推陈出新吗
案例5 接上述案例3，教师在小结归纳时问：你能总结这节课学到哪些知识吗？
教学反思：笔者承认案例3中老师的课上得很好，但每次听课，上课教师好像都是这么总结的. 小结，可以说是一堂课的点睛之笔. 千篇一律的方法也不能说一定不好，但总觉乏味. 一堂课，我们能否有点创新之处，是否可以出现一个亮点，哪怕它并不璀璨. 笔者经常在想，我们能不能想到其他一些总结的方式？当然，不能教师自己总结，得体现学生的主体地位，让学生来完成这件事.比如是否可以这样设计：
请你列举本节课主要的重难点以及你采用何种方法解决这些重难点内容，你掌握的程度怎样？
■
（备注：本文为江苏省教育科学“十二五”规划课题“中学数学片断教学的自然设计研究”的相关成果.）
关键词：高中数学；课例研究；教学设计
杜威曾经说过：“教学绝对不是一种简单的告诉，教学应该是一种过程的经历，一种体验，一种感悟.” 对于教师来说，我们每天所从事的编写教案、练习题或测试题等都可以被认为是教学设计. 在传统教学中，教学设计主要关注教师，以教师的教为核心.在新课程背景下，教学设计主要关注学生，以学生的学为中心.
对于新课程中的数学教学设计，笔者有如下一些思考.
■主体设计需要换位思考吗
案例1 苏教版高中数学必修1函数专题复习（3）一节课的教学设计片段.
例 二次函数g（t）=at2+t+1，t∈（0，2]，当a为何值时g（t）>0恒成立？
学生板演：采用了分类讨论的思想.解：t=-■，a>0时，函数在（0，2]上为增函数，所以只要f（0）≥0，f（2）>0；a<0时，同理可得.
教师讲述：a>0时，f（2）>0不要写；建议高一学生少写同理. 另外，对于a<0的情况，结合图象知只需要g（2）>0且g（0）≥0. 此题锻炼我们求解二次函数在规定区间上的最值问题.变式：设f（x）=lg■，如果当x∈（-∞，1]时，f（x）有意义，求实数a的取值范围.
学生思考：本题即转化为当x∈（-∞，1]时，1+2x+4xa>0恒成立，求实数a的取值范围. 很多学生都想到令2x=t，转化为求at2+t+1>0恒成立，其中t∈（0，2].
教师提问：二次函数能避免吗？
学生回答：分离变量.
教师提问：若没有想到分离变量怎么办？
学生感到困惑.教师讲述：
可令t=■■，x∈（-∞，1]，得t2+t+a>0，t∈■，+∞，转化为g（t）=t2+t+a，t∈■，+∞恒大于0，求实数a的取值范围. 由数形结合知，只要g■>0，求得a>-■.
教师讲述：本题的第二种方法实在太妙了，它正巧利用了4x>0，我们每一项同时除以4x，不等式不改变方向. 我们在平时的学习中，一定要多想、多悟、多总结、多发现，有这种将问题优化的意识. 当然，本题还有第三种方法：分离变量.1+2x+4xa>0，移项4xa>-1-2x，即a>-■-■■在（-∞，1]上恒成立. 此法避免了讨论.下面只要求g（x）=-■■-■，x∈（-∞，1]的最大值. 当然，在求函数的最大值时，我们首选方法不是换元，而是函数的单调性.
教学反思：这节课虽然教师引导得很好，但还是感觉老师讲得太多，学生动得偏少. 课堂的容量很大，思考的时间偏少.我们教师在设计这节课的时候，有没有换位思考一下，如果你是学生，能在短时间内想到这三种解法吗？再比如，讲到求g（x）=-■■-■，x∈（-∞，1]的最大值时，教师说“在求函数的最大值时，我们首选方法不是换元，而是函数的单调性”. 对这一结论的得出，教师是否也可以换位思考，如果我是学生，我对于这类求函数最值得题目到底先想到什么方法？为什么得出这个结论？这结论怎么出来的？我自己要是没有去尝试，能得出这个结论吗？因此笔者觉得本节课教学设计强调教师教的内容，学生主体有些弱化，教学设计的出发点是教材，是教师的主观愿望，忽略了学生的感性经验和个性差异. 教学设计主观地认为学生任何目标都能达成，对于题目的任何解读都可以接受. 针对这些问题，笔者觉得教学设计中应增加学生的差异性教学设计、教学内容的分层次教学设计等，留给学生足够的思考空间和时间.
■课堂需要一题多解、多题一解吗
案例2 苏教版高中数学不等式的一节复习课. 以下是部分内容.
例2 求解x■≥0.
学生 解：（法一）1-x2≥0，所以-1≤x≤1，
原不等式可化为■≥0，x≥0？圯0≤x≤1或■=0，所以x=±1，
所以{x0≤x≤1或x=-1}.
师生：（法二）x■>0或x■=0，所以0
？摇接着教师给出了例3：求y=x■（0≤x≤1）的最大值.
？摇和刚才的例2有点联系. 对于函数的最值问题，学生最熟悉的莫过于二次函数了. 因为这题含有根号，所以很多学生都想到了去根号，对两边同时平方得：y2=x2（1-x2），从而令x2=t，t∈[0，1]，所以g（t）=t（1-t），t∈[0，1]，所以g（t）≤■. 以上是解法一. 转化成二次函数在区间上的最值问题.在教师的引导下，学生又想出了其他解法.
解法二：令x=cosθ，θ∈0，■，y=cosθsinθ=cosθsinθ=■sin2θ≤■，当且仅当θ=■时函数取到最大值■.
解法三：y=■≤■=■，当且仅当x2=1-x2即x=■时，函数取到最大值■. 接着教师又给出了例3的变式. 变式1：若将x∈[0，1]，改成x∈0，■，求函数最大值.
变式2：求y=x■（0≤x≤2）的最大值.
变式3：将一根圆柱形树干加工成截面为矩形的柱子，设已知截面圆的直径为1，问怎样取法可使废弃的木料最少.
教学反思：太精彩了，一道题目竟能有这么多解法，又能产生这么多的变式题，而它们之间又有或多或少的联系. 变式3不正是变式2在实际生活中的模型吗？实在值得学习. 机会总是垂青有准备的人，作为我们青年教师，我们要注重专业知识的培养. 我们莫做知识浅薄的“严师”，一味的严，让学生怕你并不代表自己就是一个好老师. 应树立新的知识观，坚持自主学习，读书、读书、再读书. 如果我们教师都能坚持认真读书，多思考、多总结每节课的得与失、成与败，多引导学生一题多解、多题一解，学生一定会从内心被教师感化，一定会慢慢感受到数学的神奇和美.
■问题设计需要结合学生认知吗
最近，笔者有幸听了“市高中数学基本功比赛获奖选手展示课”. 几位选手都上的是苏教版高中数学必修4三角函数的图象和性质第一节课，风格各异，各有所长，但也有共性，几乎都设计了五六个母问题，从而层层推进，完成本节课.
案例3 教师从生活中的摩天轮动画引例，提出问题1：当t=■分钟时，求点P到平台所在平面的相对高度h.
结合图形和已知的角速度1弧度∕分，学生很容易知道此时h=■. 由于当天的学生并不是四星级学校学生，教师顺便问若t=■呢？学生也很明确. 教师因势利导，很自然地给出了问题2：求经过t（t>0）分钟后，P到平台所在平面的相对高度h与t的关系. 由于有前面问题的铺垫，学生也容易得出一般情况h=sint. 学生在不知不觉中，步入了正弦函数y=sinx（x∈R）的学习. 问题3：如何作出正弦函数y=sinx（x∈R）的图象？根据以往作函数图象的经验，学生很容易知道是列表、描点、连线. 如果将定义域限制在 [0，2π]，我们怎么列表呢？自然是选取我们熟悉的特殊角. 教师让一组学生回答了特殊角的三角函数值. 然后描点连线.在操作代数描点法的时候，我们有什么困难吗？学生通过尝试发现找点比较困难，找不准. 问题4：你能更精确地在坐标系中描出点■，sin■吗？对于这个问题，学生比较难以回答. 教师引导学生借助单位圆，在单位圆中，怎么表示■？怎么表示sin■？学生发现可以等分圆找到■角，但怎样找出横坐标为■，纵坐标为sin■的点呢？教师让学生回忆并观察图形中还有哪一个是■，学生想到弧长. 那怎样将曲线转化成直线呢？可以将曲线拉长. 这样横坐标便确定了，而纵坐标利用三角函数线再平移，学生在教师的引导下还是比较能发现的. 解决了问题4，也就解决了本节课的一个难点. 以下是另一个教师的教学片断.
案例4 问题1：如何作出■的正弦线？
学生对于问题1是比较容易回答的，可以在单位圆中找到■角，利用有向线段MP.
问题2：如何作出点■，sin■？
因为当天面对的学生基础一般，这个问题给出以后，教室有点静. 学生静静思考了一会，教师让一位学生演示，结果画错了. 学生将刚才问题1中单位圆与■角的终边的交点P点的坐标写成■，sin■. 教师也可能早有准备，慢慢引导，花了10多分钟解决了这个难题.
教学反思：在案例3中，教师从大家生活中比较熟悉的摩天轮出发，给出问题1，问题1只要结合给出的图，很容易就能回答，t=■时学生模仿就可得，于是很自然的问题2便不知不觉中就能被解决. 得到了正弦函数，那它的图象是怎样的？你能画吗？教师在设计这节课的时候，结合了学生的认知规律，从学生的角度来考虑问题怎么设置，所以教学时我们根本听不出来当天学生基础较差. 在老师的引导下，学生很容易想到并解决老师给的问题. 也许，真的没有教不好的学生，只有不会教的老师. 教学，是需要结合学生的认知规律的，教学，是需要艺术的. 在案例4中，教师从大的问题出发，特别是问题2，学生是比较难回答的，也是本节课的难点. 教师能够给学生足够的思考时间，能够静静地让学生思考，给学生展示的空间，让我们看到了真实的课堂，这点是值得学习的. 当然对于这两个案例，两位教师有一个共同的问题是作出点■，sin■，为什么一定要作出这个点呢？能不能不作这个点？能不能作其他点呢？应该是可以的. 案例3从实际问题引入，更贴近学生的认知，所以课进展得比较顺利；案例4中教师的问题没有太多的铺垫，因为学生基础不是很好，加上很多教师听课，也许紧张，所以学生答不上也是在情理之中的. 问题2涉及以下几个问题：（1）怎么表示一个点？必须先有平面直角坐标系.（2）横坐标为■怎么表示？■角怎么得到？这个确实很难办到，将曲线化成直线的思想我们教师讲得轻松，实际上学生真的不容易想到，具体操作其实我们也很难画准确. （3）纵坐标为sin■点怎么表示等等. 因此要回答出问题2真的挺难.
■总结设计能够推陈出新吗
案例5 接上述案例3，教师在小结归纳时问：你能总结这节课学到哪些知识吗？
教学反思：笔者承认案例3中老师的课上得很好，但每次听课，上课教师好像都是这么总结的. 小结，可以说是一堂课的点睛之笔. 千篇一律的方法也不能说一定不好，但总觉乏味. 一堂课，我们能否有点创新之处，是否可以出现一个亮点，哪怕它并不璀璨. 笔者经常在想，我们能不能想到其他一些总结的方式？当然，不能教师自己总结，得体现学生的主体地位，让学生来完成这件事.比如是否可以这样设计：
请你列举本节课主要的重难点以及你采用何种方法解决这些重难点内容，你掌握的程度怎样？
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（备注：本文为江苏省教育科学“十二五”规划课题“中学数学片断教学的自然设计研究”的相关成果.）