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摘 要:数学课程应注意提高学生的数学思维能力,这是数学教育的基本目标之一. 那么教学中如何培养学生的思维能力?本文结合数学学科特点,从师生共同探究、广泛联想、积极反思三个方面做出探讨.
关键词:思维能力;再创造;共同探究;广泛联想;反思
新课标提出“关注学生的学习问题,关注学生的思维发展”,因此数学教学的一个主要目的是培养学生的思维能力. 而数学教学往往是通过解题来开展,以课堂练习为载体,以问题发现为主要突破口. 目前高中数学教学内容繁多而且时间紧迫,每一节课的每一分钟都弥足珍贵. 为了追求效率,教师在课前往往认真备课,找到各种各样的资料进行仔细梳理,对问题进行归类,然后在课堂上把尽量多的题型对应的解题方法教给学生,让学生记住这些解题方法,并对号入座的解题. 也有的教师在教学过程中点滴式地启发学生,详细引导学生解答问题,整个过程似乎十分流畅,而实际教学效果不尽如人意. 这样的教学模式常常存在,也充分展示了教师的思维,但没有让学生整体地面对问题,全局地思考问题,探究问题,学生的思维能力没有得到实质性的提高. 长时间如此,学生只会模仿解题,学生被培养成依样画葫芦的能手,甚至连学生探究知识的热情也会被扼杀,学生的思维培养就流于空谈了.
荷兰数学家弗赖登塔尔提出:“学生学习数学是一个再创造的过程,把前人已经创造过的数学知识重新创造一遍”. 因此在教学中,要根据新课标的精神,倡导学生主动参与,乐于探究,勤于动手,进而培养各种思维能力. 具体教学中应该重点注意以下三个方面.
师生共同探究
在教学过程中,经常会遇到一些意料之外的事,有时学生所想的与教师事先的教学设计不吻合. 教师通常会有两种选择:一是调整学生思路,使其回到预设的轨道上来;二是教师放弃原有的教学设计,让学生思维的种子萌芽、成长. 笔者曾在一节数列课中给出了一道很常规的例题:在等差数列{an}中,Sn是其前n项和,已知S100=10,S10=100,求S110. 笔者原计划是给学生回顾基本的数列公式,但题目一给出,讲解时学生提出了很多不同的解法. 看到这种情况,笔者调整计划,按一题多解的上课思路,放开学生的思维,和学生共同总结四种解题的方法.
方法一:利用求和公式先求出a1,d,再求S110.
方法二:先设Sn=an2+bn(a≠0),求出a,b,再求S110.
方法三:将数列依原有的顺序每10项分为一组,每组的和作为一项构造新数列.
方法四:根据等差数列的性质“m,n,p,q∈N*,且m+n=p+q,则am+an=ap+aq”,再将其作为一个整体代入,灵活又简便.
在完成这些仅利用数列知识解决问题的方法后,笔者准备总结时,有一个学生提出新的看法,笔者让他在黑板上写出了如下解法:因为Sn=na1+,所以=a1+(n-1)d是关于n的一次函数,所以点10,,100,,110,共线,则=,解得S110=-110. 这方法虽然不是很简单,但思路很好,能利用数形结合,将其转化为解析几何问题,进行了知识的交叉、迁移,进一步拓展了学生的思维.
这节课事先设想的教学设计未能实施,但学生获得了自主探究的机会,让他们感受到了成功的喜悦,也激发了他们的思考热情,课堂教学也收到了很好的效果. 因此我们在教学中要发扬民主,给学生提供平等交流的机会,师生共同探究,不要让学生在教师的框框下模仿.
广泛联想
数学问题的解决本质上就是寻求命题的条件与结论之间的逻辑联系. 解题的思维推理过程实质上就是一系列广泛联想的过程. 苏联著名数学家C·A·雅诺夫斯卡娅在一次演讲中说:解题就是把题归结为已经解过的题. 联想就是从旧方法到发现新方法的中介,因此在教学中引导学生进行联想,也锻炼学生的思维. 联想有很多种方式,比如有相似性联想、特殊性联想、整体性联想,也可以跨学科联想.
例1 设函数f(x)是R上的非零函数,且对于任意实数x1,x2,总有f(x1+x2)+f(x1-x2)=2f(x1)f(x2)成立,又f=0,问f(x)是否为周期函数?
分析:由于f(x)为抽象函数,故尝试寻求实例支撑. 由函数关系式的结构去观察、联想,发现函数f(x)与y=cosx具有相似的性质. 如cos(x+y)+cos(x-y)=2cos(x)cos(y). 于是猜想f(x)是以2π为一个周期的函数.
解:由题设函数关系式得f(x1+x2)=2f(x1)f(x2)-f(x1-x2),又因为f=0,所以f(x+2π)=fx++=2fx+·f-fx+-=-f(x+π)=-fx++=-2fx+f+fx+-=f(x),即f(x+2π)=f(x),故f(x)是以2π为一个周期的周期函数.
这题用了相似性联想,这种联想往往从性质相似、形式相似的同类内容想起.
例2 在等比数列{an}中,a5+a6=a(a≠0),a15+a16=b,则a25+a26的值为( )
A. B. C. D.
分析:这题用数列的性质不难得出正确选项,但如果能跨学科联想到物理学科的量纲分析法,会有更巧妙的解法,我们设想这个等比数列的各项具有一定的实际背景,比如都是长度(设其单位为m),则公比是无单位的量,而a,b单位都应为m,对照选项,只有C可选.
运用联想常常能获得出人意料的巧思妙解,能使学生的眼界更加开阔,洞察能力更为深刻. 当然,要合理运用联想成功解决问题并不简单,这取决于知识结构多维化的程度和是否善于运用联想的规律. 联想是一种重要的思维活动,我们不能因为他难于驾驭,而束缚学生的联想翅膀,采用填鸭式教学. 教学中教师不一定要学生一举解决问题,但一定要把学生培养成头脑敏捷、思维活跃的创新人才.
积极反思
反思能促使学生从不同方面多角度观察事物并寻求不同思路,善于在学习中质疑问题,解决问题时不满足常规的思考方法,这样有利于学生思维的培养、创新能力的形成. 因此,在教学中教师一定要引导学生学会反思,积极反思. 可以引导学生反思解题过程,以培养思维的严谨性;反思思维定式,以培养思维的灵活性;反思解题方法,培养学生的独创性,等等.
例3 已知两个等差数列{an}和{bn}的前n项和分别为An和Bn,且=,则使得为整数的正整数n的个数是( )
A. 3 B. 4 C. 5 D. 无数个
分析:这题主要考查等差数列的前n项和与第n项之间的联系.正确选项是C. 如果不反思解题过程,可能有学生歪打正着得出C选项,其解题思路可能是这样的:===7+,当n=1,3,5,9,21时,为整数,故选C. 这种解法显然是错误的. 也可能有这样的错误解法:设An=k(7n+45),Bn=k(n+3)(k是与n无关的常数),则an=An-An-1=7k,bn=Bn-Bn-1=k,从而=7,故使得为整数的正整数n的个数有无数个,选D. 如果不仔细反思解题的过程,很容易就以为是正确的解法. 在等差数列{an}中,设其前n项和为Sn,则S2n-1==(2n-1)an,故an=,所以对第一种解题思路,正确的是:===7+,当n=1,2,3,5,11时,为整数,故选C. 第二种解法错在没有弄清等差数列的前n项和Sn是关于n的二次式,并且不含常数项. 因此若设成An=kn(7n+45),Bn=kn(n+3),再求出的表达式来解,则是正确的.
像以上通过对一些解题方法、思路的反思,可以优化知识结构,提高学习效率,能使学生的解题能力和思维能力向更高的层次升华. 所以在教学中教师要不失时机地引导学生进行反思,使学生养成良好的反思习惯.
当前教师不再是课堂教学的主导者,而是组织者和引导者,要组织我们的学生积极主动地投入到各项教学活动中来. 在教学活动中,教师要引导学生展开联想,积极反思. 若教师在传授知识的同时,也培养了学生思维,那学生不仅可以学会教师教授的数学知识,还可以在自己的思维实践中学到教师没有讲授的知识,甚至创造新知识.
关键词:思维能力;再创造;共同探究;广泛联想;反思
新课标提出“关注学生的学习问题,关注学生的思维发展”,因此数学教学的一个主要目的是培养学生的思维能力. 而数学教学往往是通过解题来开展,以课堂练习为载体,以问题发现为主要突破口. 目前高中数学教学内容繁多而且时间紧迫,每一节课的每一分钟都弥足珍贵. 为了追求效率,教师在课前往往认真备课,找到各种各样的资料进行仔细梳理,对问题进行归类,然后在课堂上把尽量多的题型对应的解题方法教给学生,让学生记住这些解题方法,并对号入座的解题. 也有的教师在教学过程中点滴式地启发学生,详细引导学生解答问题,整个过程似乎十分流畅,而实际教学效果不尽如人意. 这样的教学模式常常存在,也充分展示了教师的思维,但没有让学生整体地面对问题,全局地思考问题,探究问题,学生的思维能力没有得到实质性的提高. 长时间如此,学生只会模仿解题,学生被培养成依样画葫芦的能手,甚至连学生探究知识的热情也会被扼杀,学生的思维培养就流于空谈了.
荷兰数学家弗赖登塔尔提出:“学生学习数学是一个再创造的过程,把前人已经创造过的数学知识重新创造一遍”. 因此在教学中,要根据新课标的精神,倡导学生主动参与,乐于探究,勤于动手,进而培养各种思维能力. 具体教学中应该重点注意以下三个方面.
师生共同探究
在教学过程中,经常会遇到一些意料之外的事,有时学生所想的与教师事先的教学设计不吻合. 教师通常会有两种选择:一是调整学生思路,使其回到预设的轨道上来;二是教师放弃原有的教学设计,让学生思维的种子萌芽、成长. 笔者曾在一节数列课中给出了一道很常规的例题:在等差数列{an}中,Sn是其前n项和,已知S100=10,S10=100,求S110. 笔者原计划是给学生回顾基本的数列公式,但题目一给出,讲解时学生提出了很多不同的解法. 看到这种情况,笔者调整计划,按一题多解的上课思路,放开学生的思维,和学生共同总结四种解题的方法.
方法一:利用求和公式先求出a1,d,再求S110.
方法二:先设Sn=an2+bn(a≠0),求出a,b,再求S110.
方法三:将数列依原有的顺序每10项分为一组,每组的和作为一项构造新数列.
方法四:根据等差数列的性质“m,n,p,q∈N*,且m+n=p+q,则am+an=ap+aq”,再将其作为一个整体代入,灵活又简便.
在完成这些仅利用数列知识解决问题的方法后,笔者准备总结时,有一个学生提出新的看法,笔者让他在黑板上写出了如下解法:因为Sn=na1+,所以=a1+(n-1)d是关于n的一次函数,所以点10,,100,,110,共线,则=,解得S110=-110. 这方法虽然不是很简单,但思路很好,能利用数形结合,将其转化为解析几何问题,进行了知识的交叉、迁移,进一步拓展了学生的思维.
这节课事先设想的教学设计未能实施,但学生获得了自主探究的机会,让他们感受到了成功的喜悦,也激发了他们的思考热情,课堂教学也收到了很好的效果. 因此我们在教学中要发扬民主,给学生提供平等交流的机会,师生共同探究,不要让学生在教师的框框下模仿.
广泛联想
数学问题的解决本质上就是寻求命题的条件与结论之间的逻辑联系. 解题的思维推理过程实质上就是一系列广泛联想的过程. 苏联著名数学家C·A·雅诺夫斯卡娅在一次演讲中说:解题就是把题归结为已经解过的题. 联想就是从旧方法到发现新方法的中介,因此在教学中引导学生进行联想,也锻炼学生的思维. 联想有很多种方式,比如有相似性联想、特殊性联想、整体性联想,也可以跨学科联想.
例1 设函数f(x)是R上的非零函数,且对于任意实数x1,x2,总有f(x1+x2)+f(x1-x2)=2f(x1)f(x2)成立,又f=0,问f(x)是否为周期函数?
分析:由于f(x)为抽象函数,故尝试寻求实例支撑. 由函数关系式的结构去观察、联想,发现函数f(x)与y=cosx具有相似的性质. 如cos(x+y)+cos(x-y)=2cos(x)cos(y). 于是猜想f(x)是以2π为一个周期的函数.
解:由题设函数关系式得f(x1+x2)=2f(x1)f(x2)-f(x1-x2),又因为f=0,所以f(x+2π)=fx++=2fx+·f-fx+-=-f(x+π)=-fx++=-2fx+f+fx+-=f(x),即f(x+2π)=f(x),故f(x)是以2π为一个周期的周期函数.
这题用了相似性联想,这种联想往往从性质相似、形式相似的同类内容想起.
例2 在等比数列{an}中,a5+a6=a(a≠0),a15+a16=b,则a25+a26的值为( )
A. B. C. D.
分析:这题用数列的性质不难得出正确选项,但如果能跨学科联想到物理学科的量纲分析法,会有更巧妙的解法,我们设想这个等比数列的各项具有一定的实际背景,比如都是长度(设其单位为m),则公比是无单位的量,而a,b单位都应为m,对照选项,只有C可选.
运用联想常常能获得出人意料的巧思妙解,能使学生的眼界更加开阔,洞察能力更为深刻. 当然,要合理运用联想成功解决问题并不简单,这取决于知识结构多维化的程度和是否善于运用联想的规律. 联想是一种重要的思维活动,我们不能因为他难于驾驭,而束缚学生的联想翅膀,采用填鸭式教学. 教学中教师不一定要学生一举解决问题,但一定要把学生培养成头脑敏捷、思维活跃的创新人才.
积极反思
反思能促使学生从不同方面多角度观察事物并寻求不同思路,善于在学习中质疑问题,解决问题时不满足常规的思考方法,这样有利于学生思维的培养、创新能力的形成. 因此,在教学中教师一定要引导学生学会反思,积极反思. 可以引导学生反思解题过程,以培养思维的严谨性;反思思维定式,以培养思维的灵活性;反思解题方法,培养学生的独创性,等等.
例3 已知两个等差数列{an}和{bn}的前n项和分别为An和Bn,且=,则使得为整数的正整数n的个数是( )
A. 3 B. 4 C. 5 D. 无数个
分析:这题主要考查等差数列的前n项和与第n项之间的联系.正确选项是C. 如果不反思解题过程,可能有学生歪打正着得出C选项,其解题思路可能是这样的:===7+,当n=1,3,5,9,21时,为整数,故选C. 这种解法显然是错误的. 也可能有这样的错误解法:设An=k(7n+45),Bn=k(n+3)(k是与n无关的常数),则an=An-An-1=7k,bn=Bn-Bn-1=k,从而=7,故使得为整数的正整数n的个数有无数个,选D. 如果不仔细反思解题的过程,很容易就以为是正确的解法. 在等差数列{an}中,设其前n项和为Sn,则S2n-1==(2n-1)an,故an=,所以对第一种解题思路,正确的是:===7+,当n=1,2,3,5,11时,为整数,故选C. 第二种解法错在没有弄清等差数列的前n项和Sn是关于n的二次式,并且不含常数项. 因此若设成An=kn(7n+45),Bn=kn(n+3),再求出的表达式来解,则是正确的.
像以上通过对一些解题方法、思路的反思,可以优化知识结构,提高学习效率,能使学生的解题能力和思维能力向更高的层次升华. 所以在教学中教师要不失时机地引导学生进行反思,使学生养成良好的反思习惯.
当前教师不再是课堂教学的主导者,而是组织者和引导者,要组织我们的学生积极主动地投入到各项教学活动中来. 在教学活动中,教师要引导学生展开联想,积极反思. 若教师在传授知识的同时,也培养了学生思维,那学生不仅可以学会教师教授的数学知识,还可以在自己的思维实践中学到教师没有讲授的知识,甚至创造新知识.