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摘 要：数学课程应注意提高学生的数学思维能力，这是数学教育的基本目标之一. 那么教学中如何培养学生的思维能力？本文结合数学学科特点，从师生共同探究、广泛联想、积极反思三个方面做出探讨.
关键词：思维能力；再创造；共同探究；广泛联想；反思
新课标提出“关注学生的学习问题，关注学生的思维发展”，因此数学教学的一个主要目的是培养学生的思维能力. 而数学教学往往是通过解题来开展，以课堂练习为载体，以问题发现为主要突破口. 目前高中数学教学内容繁多而且时间紧迫，每一节课的每一分钟都弥足珍贵. 为了追求效率，教师在课前往往认真备课，找到各种各样的资料进行仔细梳理，对问题进行归类，然后在课堂上把尽量多的题型对应的解题方法教给学生，让学生记住这些解题方法，并对号入座的解题. 也有的教师在教学过程中点滴式地启发学生，详细引导学生解答问题，整个过程似乎十分流畅，而实际教学效果不尽如人意. 这样的教学模式常常存在，也充分展示了教师的思维，但没有让学生整体地面对问题，全局地思考问题，探究问题，学生的思维能力没有得到实质性的提高. 长时间如此，学生只会模仿解题，学生被培养成依样画葫芦的能手，甚至连学生探究知识的热情也会被扼杀，学生的思维培养就流于空谈了.
荷兰数学家弗赖登塔尔提出：“学生学习数学是一个再创造的过程，把前人已经创造过的数学知识重新创造一遍”. 因此在教学中，要根据新课标的精神，倡导学生主动参与，乐于探究，勤于动手，进而培养各种思维能力. 具体教学中应该重点注意以下三个方面.
师生共同探究
在教学过程中，经常会遇到一些意料之外的事，有时学生所想的与教师事先的教学设计不吻合. 教师通常会有两种选择：一是调整学生思路，使其回到预设的轨道上来；二是教师放弃原有的教学设计，让学生思维的种子萌芽、成长. 笔者曾在一节数列课中给出了一道很常规的例题：在等差数列{an}中，Sn是其前n项和，已知S100=10，S10=100，求S110. 笔者原计划是给学生回顾基本的数列公式，但题目一给出，讲解时学生提出了很多不同的解法. 看到这种情况，笔者调整计划，按一题多解的上课思路，放开学生的思维，和学生共同总结四种解题的方法.
方法一：利用求和公式先求出a1，d，再求S110.
方法二：先设Sn=an2+bn（a≠0），求出a，b，再求S110.
方法三：将数列依原有的顺序每10项分为一组，每组的和作为一项构造新数列.
方法四：根据等差数列的性质“m，n，p，q∈N*，且m+n=p+q，则am+an=ap+aq”，再将其作为一个整体代入，灵活又简便.
在完成这些仅利用数列知识解决问题的方法后，笔者准备总结时，有一个学生提出新的看法，笔者让他在黑板上写出了如下解法：因为Sn=na1+，所以=a1+（n-1）d是关于n的一次函数，所以点10，，100，，110，共线，则=，解得S110=-110. 这方法虽然不是很简单，但思路很好，能利用数形结合，将其转化为解析几何问题，进行了知识的交叉、迁移，进一步拓展了学生的思维.
这节课事先设想的教学设计未能实施，但学生获得了自主探究的机会，让他们感受到了成功的喜悦，也激发了他们的思考热情，课堂教学也收到了很好的效果. 因此我们在教学中要发扬民主，给学生提供平等交流的机会，师生共同探究，不要让学生在教师的框框下模仿.
广泛联想
数学问题的解决本质上就是寻求命题的条件与结论之间的逻辑联系. 解题的思维推理过程实质上就是一系列广泛联想的过程. 苏联著名数学家C·A·雅诺夫斯卡娅在一次演讲中说：解题就是把题归结为已经解过的题. 联想就是从旧方法到发现新方法的中介，因此在教学中引导学生进行联想，也锻炼学生的思维. 联想有很多种方式，比如有相似性联想、特殊性联想、整体性联想，也可以跨学科联想.
例1 设函数f（x）是R上的非零函数，且对于任意实数x1，x2，总有f（x1+x2）+f（x1-x2）=2f（x1）f（x2）成立，又f=0，问f（x）是否为周期函数？
分析：由于f（x）为抽象函数，故尝试寻求实例支撑. 由函数关系式的结构去观察、联想，发现函数f（x）与y=cosx具有相似的性质. 如cos（x+y）+cos（x-y）=2cos（x）cos（y）. 于是猜想f（x）是以2π为一个周期的函数.
解：由题设函数关系式得f（x1+x2）=2f（x1）f（x2）-f（x1-x2），又因为f=0，所以f（x+2π）=fx++=2fx+·f-fx+-=-f（x+π）=-fx++=-2fx+f+fx+-=f（x），即f（x+2π）=f（x），故f（x）是以2π为一个周期的周期函数.
这题用了相似性联想，这种联想往往从性质相似、形式相似的同类内容想起.
例2 在等比数列{an}中，a5+a6=a（a≠0），a15+a16=b，则a25+a26的值为（ ）
A. B. C. D.
分析：这题用数列的性质不难得出正确选项，但如果能跨学科联想到物理学科的量纲分析法，会有更巧妙的解法，我们设想这个等比数列的各项具有一定的实际背景，比如都是长度（设其单位为m），则公比是无单位的量，而a，b单位都应为m，对照选项，只有C可选.
运用联想常常能获得出人意料的巧思妙解，能使学生的眼界更加开阔，洞察能力更为深刻. 当然，要合理运用联想成功解决问题并不简单，这取决于知识结构多维化的程度和是否善于运用联想的规律. 联想是一种重要的思维活动，我们不能因为他难于驾驭，而束缚学生的联想翅膀，采用填鸭式教学. 教学中教师不一定要学生一举解决问题，但一定要把学生培养成头脑敏捷、思维活跃的创新人才.
积极反思
反思能促使学生从不同方面多角度观察事物并寻求不同思路，善于在学习中质疑问题，解决问题时不满足常规的思考方法，这样有利于学生思维的培养、创新能力的形成. 因此，在教学中教师一定要引导学生学会反思，积极反思. 可以引导学生反思解题过程，以培养思维的严谨性；反思思维定式，以培养思维的灵活性；反思解题方法，培养学生的独创性，等等.
例3 已知两个等差数列{an}和{bn}的前n项和分别为An和Bn，且=，则使得为整数的正整数n的个数是（ ）
A. 3 B. 4 C. 5 D. 无数个
分析：这题主要考查等差数列的前n项和与第n项之间的联系.正确选项是C. 如果不反思解题过程，可能有学生歪打正着得出C选项，其解题思路可能是这样的：===7+，当n=1，3，5，9，21时，为整数，故选C. 这种解法显然是错误的. 也可能有这样的错误解法：设An=k（7n+45），Bn=k（n+3）（k是与n无关的常数），则an=An-An-1=7k，bn=Bn-Bn-1=k，从而=7，故使得为整数的正整数n的个数有无数个，选D. 如果不仔细反思解题的过程，很容易就以为是正确的解法. 在等差数列{an}中，设其前n项和为Sn，则S2n-1==（2n-1）an，故an=，所以对第一种解题思路，正确的是：===7+，当n=1，2，3，5，11时，为整数，故选C. 第二种解法错在没有弄清等差数列的前n项和Sn是关于n的二次式，并且不含常数项. 因此若设成An=kn（7n+45），Bn=kn（n+3），再求出的表达式来解，则是正确的.
像以上通过对一些解题方法、思路的反思，可以优化知识结构，提高学习效率，能使学生的解题能力和思维能力向更高的层次升华. 所以在教学中教师要不失时机地引导学生进行反思，使学生养成良好的反思习惯.
当前教师不再是课堂教学的主导者，而是组织者和引导者，要组织我们的学生积极主动地投入到各项教学活动中来. 在教学活动中，教师要引导学生展开联想，积极反思. 若教师在传授知识的同时，也培养了学生思维，那学生不仅可以学会教师教授的数学知识，还可以在自己的思维实践中学到教师没有讲授的知识，甚至创造新知识.
关键词：思维能力；再创造；共同探究；广泛联想；反思
新课标提出“关注学生的学习问题，关注学生的思维发展”，因此数学教学的一个主要目的是培养学生的思维能力. 而数学教学往往是通过解题来开展，以课堂练习为载体，以问题发现为主要突破口. 目前高中数学教学内容繁多而且时间紧迫，每一节课的每一分钟都弥足珍贵. 为了追求效率，教师在课前往往认真备课，找到各种各样的资料进行仔细梳理，对问题进行归类，然后在课堂上把尽量多的题型对应的解题方法教给学生，让学生记住这些解题方法，并对号入座的解题. 也有的教师在教学过程中点滴式地启发学生，详细引导学生解答问题，整个过程似乎十分流畅，而实际教学效果不尽如人意. 这样的教学模式常常存在，也充分展示了教师的思维，但没有让学生整体地面对问题，全局地思考问题，探究问题，学生的思维能力没有得到实质性的提高. 长时间如此，学生只会模仿解题，学生被培养成依样画葫芦的能手，甚至连学生探究知识的热情也会被扼杀，学生的思维培养就流于空谈了.
荷兰数学家弗赖登塔尔提出：“学生学习数学是一个再创造的过程，把前人已经创造过的数学知识重新创造一遍”. 因此在教学中，要根据新课标的精神，倡导学生主动参与，乐于探究，勤于动手，进而培养各种思维能力. 具体教学中应该重点注意以下三个方面.
师生共同探究
在教学过程中，经常会遇到一些意料之外的事，有时学生所想的与教师事先的教学设计不吻合. 教师通常会有两种选择：一是调整学生思路，使其回到预设的轨道上来；二是教师放弃原有的教学设计，让学生思维的种子萌芽、成长. 笔者曾在一节数列课中给出了一道很常规的例题：在等差数列{an}中，Sn是其前n项和，已知S100=10，S10=100，求S110. 笔者原计划是给学生回顾基本的数列公式，但题目一给出，讲解时学生提出了很多不同的解法. 看到这种情况，笔者调整计划，按一题多解的上课思路，放开学生的思维，和学生共同总结四种解题的方法.
方法一：利用求和公式先求出a1，d，再求S110.
方法二：先设Sn=an2+bn（a≠0），求出a，b，再求S110.
方法三：将数列依原有的顺序每10项分为一组，每组的和作为一项构造新数列.
方法四：根据等差数列的性质“m，n，p，q∈N*，且m+n=p+q，则am+an=ap+aq”，再将其作为一个整体代入，灵活又简便.
在完成这些仅利用数列知识解决问题的方法后，笔者准备总结时，有一个学生提出新的看法，笔者让他在黑板上写出了如下解法：因为Sn=na1+，所以=a1+（n-1）d是关于n的一次函数，所以点10，，100，，110，共线，则=，解得S110=-110. 这方法虽然不是很简单，但思路很好，能利用数形结合，将其转化为解析几何问题，进行了知识的交叉、迁移，进一步拓展了学生的思维.
这节课事先设想的教学设计未能实施，但学生获得了自主探究的机会，让他们感受到了成功的喜悦，也激发了他们的思考热情，课堂教学也收到了很好的效果. 因此我们在教学中要发扬民主，给学生提供平等交流的机会，师生共同探究，不要让学生在教师的框框下模仿.
广泛联想
数学问题的解决本质上就是寻求命题的条件与结论之间的逻辑联系. 解题的思维推理过程实质上就是一系列广泛联想的过程. 苏联著名数学家C·A·雅诺夫斯卡娅在一次演讲中说：解题就是把题归结为已经解过的题. 联想就是从旧方法到发现新方法的中介，因此在教学中引导学生进行联想，也锻炼学生的思维. 联想有很多种方式，比如有相似性联想、特殊性联想、整体性联想，也可以跨学科联想.
例1 设函数f（x）是R上的非零函数，且对于任意实数x1，x2，总有f（x1+x2）+f（x1-x2）=2f（x1）f（x2）成立，又f=0，问f（x）是否为周期函数？
分析：由于f（x）为抽象函数，故尝试寻求实例支撑. 由函数关系式的结构去观察、联想，发现函数f（x）与y=cosx具有相似的性质. 如cos（x+y）+cos（x-y）=2cos（x）cos（y）. 于是猜想f（x）是以2π为一个周期的函数.
解：由题设函数关系式得f（x1+x2）=2f（x1）f（x2）-f（x1-x2），又因为f=0，所以f（x+2π）=fx++=2fx+·f-fx+-=-f（x+π）=-fx++=-2fx+f+fx+-=f（x），即f（x+2π）=f（x），故f（x）是以2π为一个周期的周期函数.
这题用了相似性联想，这种联想往往从性质相似、形式相似的同类内容想起.
例2 在等比数列{an}中，a5+a6=a（a≠0），a15+a16=b，则a25+a26的值为（ ）
A. B. C. D.
分析：这题用数列的性质不难得出正确选项，但如果能跨学科联想到物理学科的量纲分析法，会有更巧妙的解法，我们设想这个等比数列的各项具有一定的实际背景，比如都是长度（设其单位为m），则公比是无单位的量，而a，b单位都应为m，对照选项，只有C可选.
运用联想常常能获得出人意料的巧思妙解，能使学生的眼界更加开阔，洞察能力更为深刻. 当然，要合理运用联想成功解决问题并不简单，这取决于知识结构多维化的程度和是否善于运用联想的规律. 联想是一种重要的思维活动，我们不能因为他难于驾驭，而束缚学生的联想翅膀，采用填鸭式教学. 教学中教师不一定要学生一举解决问题，但一定要把学生培养成头脑敏捷、思维活跃的创新人才.
积极反思
反思能促使学生从不同方面多角度观察事物并寻求不同思路，善于在学习中质疑问题，解决问题时不满足常规的思考方法，这样有利于学生思维的培养、创新能力的形成. 因此，在教学中教师一定要引导学生学会反思，积极反思. 可以引导学生反思解题过程，以培养思维的严谨性；反思思维定式，以培养思维的灵活性；反思解题方法，培养学生的独创性，等等.
例3 已知两个等差数列{an}和{bn}的前n项和分别为An和Bn，且=，则使得为整数的正整数n的个数是（ ）
A. 3 B. 4 C. 5 D. 无数个
分析：这题主要考查等差数列的前n项和与第n项之间的联系.正确选项是C. 如果不反思解题过程，可能有学生歪打正着得出C选项，其解题思路可能是这样的：===7+，当n=1，3，5，9，21时，为整数，故选C. 这种解法显然是错误的. 也可能有这样的错误解法：设An=k（7n+45），Bn=k（n+3）（k是与n无关的常数），则an=An-An-1=7k，bn=Bn-Bn-1=k，从而=7，故使得为整数的正整数n的个数有无数个，选D. 如果不仔细反思解题的过程，很容易就以为是正确的解法. 在等差数列{an}中，设其前n项和为Sn，则S2n-1==（2n-1）an，故an=，所以对第一种解题思路，正确的是：===7+，当n=1，2，3，5，11时，为整数，故选C. 第二种解法错在没有弄清等差数列的前n项和Sn是关于n的二次式，并且不含常数项. 因此若设成An=kn（7n+45），Bn=kn（n+3），再求出的表达式来解，则是正确的.
像以上通过对一些解题方法、思路的反思，可以优化知识结构，提高学习效率，能使学生的解题能力和思维能力向更高的层次升华. 所以在教学中教师要不失时机地引导学生进行反思，使学生养成良好的反思习惯.
当前教师不再是课堂教学的主导者，而是组织者和引导者，要组织我们的学生积极主动地投入到各项教学活动中来. 在教学活动中，教师要引导学生展开联想，积极反思. 若教师在传授知识的同时，也培养了学生思维，那学生不仅可以学会教师教授的数学知识，还可以在自己的思维实践中学到教师没有讲授的知识，甚至创造新知识.