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摘要： 数列作为高考命题的热点，对数列知识的考察一直是高中數学的重要内容。本文以函数思想为工具，给出了巧解数列大题的几种思路，旨在通过多种方式理清数列与函数之间的关系，为优化数列题大题的解法提供方案参考。
关键词： 高中数学；函数；数列大题
【中图分类号】G633【文献标识码】A【文章编号】2236-1879（2018）01-0024-01
前言：随着新课改方案的推行，全国多地的高考数学试卷中都开始重视考察学生解题思路与理科思维的掌握程度，对学生的综合数学素养和知识储备提出了更高的要求。数列大题长期作为高考的重点考察内容，经常和函数、不等式等知识点揉合作为综合考察项目，但实际上都是将函数作为解题思路的核心，以数列的形式呈现出来，灵活运用数学归纳法、错位相减法等解题技巧能够使问题迎刃而解。
一、利用函数性质求解数列极值
例1：在公差为r的前提下，各项均为正整数的等差数列{Xn}中，如果x1=5，xn=78，则n+r的最小值为：
解：
∵x1=5，xn=78，∴r=78n-1+n=78n-1+（n-1）+1，∴当n=8时，n+r的最小值为24
该题型以基本不等式为基础，构建了基于均值定理的应用环境，当出现类似题型时，应适当构建函数与数列格式之间的联系，利用函数构造求解最值问题[1]。
例2：在等比数列{xn}中，x5=1/2，x6+x7=5，则使x1+x2+P+xn>x1x2Pxn的最大正整数n的值为：
解：
因为x5=1/2，x6+x7=5，所以x5q+x5q2=5，q2+q-6=0，因为q>0，所以q=3，xn=2n-6，因为n≧0，n的最大值为18.
这道例题出自2013年江苏理科数学解答大题的第一题，在该题中，体现了数列与函数值相融合的理念与思维，将数列视为一种特殊的函数形式，在给出全通项和前n项和的函数解析式时，我们可以运用函数性质进行解题，在这道题中，使用的是函数单调性思维进行求解，由于题中给出了n为最大正整数，所以在解题过程中当n在开方后出现多解时需要移除掉取值范围外的结果[2]。我们在解答问题时，需要站在出题人的角度去思考，揣摩他想要考察的知识范围和真实目的，这样就能方便我们给出解题思路，在正确的轨道上解答问题，表面上是想考察等比数列求值的掌握情况，实际上出题人是接着数列的外壳考察函数思维的运用程度，本题容易出错的点除了n取值范围的干扰项外，还有考察指数幂的运算性质，此外，本题还可运用导数法来求解，受篇幅影响不详细赘述，其相关思路见例3.
二、导数法在数列求值中的应用
例3：若等差数列{xn}的前n项和为Sn，若给出S5=10，S10=25，则nSn的最大值为：
解：
由已知得：因为Sn=1/3n（n-5），设f（n）=nSn=1/3（n3-5n2）=n（n-3/10），接近极大值点n=3/10的整数为3和4，将f（n）带入后得出当n=12时f（n）有最大值，最大值为72.
该题选自2013年全国新课标2卷的高考理科数学真题，是在函数思想下解答数列问题的典型，通常情况下都是通过求得f（n）的函数解析式判断极值的区间，并求高次后确定n的取值范围，由于常规的作商法或作差法难以有效判断函数的单调性，不能排除数列是否有变向的可能。本题是运用函数特性求导并求最值的常用情况，通过构建函数关系与数列之间的纽带，快速形成解题的基本思路[3]。
三、通过数列的特点转化为函数解题
例：设函数f（n）=2/n+sinn的全部大于零的极小值点所组成的数列为{xa}，其中{xa}的前a项和为Sa，则sinSn的值为：
解：
由于f（n）=n/2，+sinn得ff（n）=1/2+sinn，令ff（n）=0，则n=2kπ+2/3π，当ff（n）>0时，会出现2kπ-2π/3 本题节选自2016年海南卷新课标高考真题数学理科的第17题，是三角函数与数列问题相结合的典型问题，具有一定难度，出题人在数列的表层下考察学生对三角函数及数列问题知识点的运用程度，许多同学在三角函数的学习中对sin求极值的理解比较深入，也能够独立解答等差数列的相关问题，但在二者揉合后提出的综合性大题就能够考察出应试者的综合素质和开放性思维深度，该题将三角函数求极值作为载体，以三角函数单挑性和周期性作为切入点，以函数性质作为突破口，在解题时首先依据sin函数特性判断出f（n）的极小值点所在位置，通过等差数列求和公式得出Sa，最后分别讨论当n在不同条件下sinSn的值为多少。除三角函数外，还会有反函数、导数法、对称函数为载体的信息型问题，我们可以应用题目所给条件推导出函数的系数特性，并据此构造出等比数列，这是导数模式下解答数列问题的常用方法[4]。
结论：数列的特性在于具有多种变化，等差数列、等比数列等大题的解答过程中，运用数列的特性进行求解，结合函数单调性或奇偶性特征进行解题是比较合适的思路，对前n项和的项数求解可利用二次函数或反函数的相关知识进行解答。许多数列问题蕴含着均值定理和函数思想的内核，有的题目是在多种求解法中，运用函数解法能够优化步骤，为数列大题开辟新的解题思路，由于数列求值问题灵活多变，经常作为不等式、函数、方程等知识综合应用的考察点，我们可以运用均值定理法、导数法、多种函数的性质等作为突破点进行解答，许多大题在数列的外衣下呈现出来，但本质考察的核心却还是函数，而将方程和不等式作为解题的工具和套路，我们在解题过程中要灵活地调动思维，思考出题人在数列大题的表象下想要考察的本质，只要熟练的掌握了数列和函数的相关知识，就能够游刃有余的解题，为求值创造寻找最优思路。
参考文献
[1]叶惠.一题多解开拓思路提高能力——道函数与数列、不等式综合题的多种解法[J].语数外学习：高中语文教学，2015，18（6）：10050-10051.
[2]丛小艳.数列试题的解题方法与技巧[J].高中数理化，2015，26（12）：24-24.
[3]柳清源.浅析数列问题方法与思路[J].教育现代化：电子版，2017，28（7）：0151-0153.
[4]王艺璇.几种数列问题的解题思路与方法[J].新教育时代电子杂志：学生版，2017，34（13）：197-198.
关键词： 高中数学；函数；数列大题
【中图分类号】G633【文献标识码】A【文章编号】2236-1879（2018）01-0024-01
前言：随着新课改方案的推行，全国多地的高考数学试卷中都开始重视考察学生解题思路与理科思维的掌握程度，对学生的综合数学素养和知识储备提出了更高的要求。数列大题长期作为高考的重点考察内容，经常和函数、不等式等知识点揉合作为综合考察项目，但实际上都是将函数作为解题思路的核心，以数列的形式呈现出来，灵活运用数学归纳法、错位相减法等解题技巧能够使问题迎刃而解。
一、利用函数性质求解数列极值
例1：在公差为r的前提下，各项均为正整数的等差数列{Xn}中，如果x1=5，xn=78，则n+r的最小值为：
解：
∵x1=5，xn=78，∴r=78n-1+n=78n-1+（n-1）+1，∴当n=8时，n+r的最小值为24
该题型以基本不等式为基础，构建了基于均值定理的应用环境，当出现类似题型时，应适当构建函数与数列格式之间的联系，利用函数构造求解最值问题[1]。
例2：在等比数列{xn}中，x5=1/2，x6+x7=5，则使x1+x2+P+xn>x1x2Pxn的最大正整数n的值为：
解：
因为x5=1/2，x6+x7=5，所以x5q+x5q2=5，q2+q-6=0，因为q>0，所以q=3，xn=2n-6，因为n≧0，n的最大值为18.
这道例题出自2013年江苏理科数学解答大题的第一题，在该题中，体现了数列与函数值相融合的理念与思维，将数列视为一种特殊的函数形式，在给出全通项和前n项和的函数解析式时，我们可以运用函数性质进行解题，在这道题中，使用的是函数单调性思维进行求解，由于题中给出了n为最大正整数，所以在解题过程中当n在开方后出现多解时需要移除掉取值范围外的结果[2]。我们在解答问题时，需要站在出题人的角度去思考，揣摩他想要考察的知识范围和真实目的，这样就能方便我们给出解题思路，在正确的轨道上解答问题，表面上是想考察等比数列求值的掌握情况，实际上出题人是接着数列的外壳考察函数思维的运用程度，本题容易出错的点除了n取值范围的干扰项外，还有考察指数幂的运算性质，此外，本题还可运用导数法来求解，受篇幅影响不详细赘述，其相关思路见例3.
二、导数法在数列求值中的应用
例3：若等差数列{xn}的前n项和为Sn，若给出S5=10，S10=25，则nSn的最大值为：
解：
由已知得：因为Sn=1/3n（n-5），设f（n）=nSn=1/3（n3-5n2）=n（n-3/10），接近极大值点n=3/10的整数为3和4，将f（n）带入后得出当n=12时f（n）有最大值，最大值为72.
该题选自2013年全国新课标2卷的高考理科数学真题，是在函数思想下解答数列问题的典型，通常情况下都是通过求得f（n）的函数解析式判断极值的区间，并求高次后确定n的取值范围，由于常规的作商法或作差法难以有效判断函数的单调性，不能排除数列是否有变向的可能。本题是运用函数特性求导并求最值的常用情况，通过构建函数关系与数列之间的纽带，快速形成解题的基本思路[3]。
三、通过数列的特点转化为函数解题
例：设函数f（n）=2/n+sinn的全部大于零的极小值点所组成的数列为{xa}，其中{xa}的前a项和为Sa，则sinSn的值为：
解：
由于f（n）=n/2，+sinn得ff（n）=1/2+sinn，令ff（n）=0，则n=2kπ+2/3π，当ff（n）>0时，会出现2kπ-2π/3
结论：数列的特性在于具有多种变化，等差数列、等比数列等大题的解答过程中，运用数列的特性进行求解，结合函数单调性或奇偶性特征进行解题是比较合适的思路，对前n项和的项数求解可利用二次函数或反函数的相关知识进行解答。许多数列问题蕴含着均值定理和函数思想的内核，有的题目是在多种求解法中，运用函数解法能够优化步骤，为数列大题开辟新的解题思路，由于数列求值问题灵活多变，经常作为不等式、函数、方程等知识综合应用的考察点，我们可以运用均值定理法、导数法、多种函数的性质等作为突破点进行解答，许多大题在数列的外衣下呈现出来，但本质考察的核心却还是函数，而将方程和不等式作为解题的工具和套路，我们在解题过程中要灵活地调动思维，思考出题人在数列大题的表象下想要考察的本质，只要熟练的掌握了数列和函数的相关知识，就能够游刃有余的解题，为求值创造寻找最优思路。
参考文献
[1]叶惠.一题多解开拓思路提高能力——道函数与数列、不等式综合题的多种解法[J].语数外学习：高中语文教学，2015，18（6）：10050-10051.
[2]丛小艳.数列试题的解题方法与技巧[J].高中数理化，2015，26（12）：24-24.
[3]柳清源.浅析数列问题方法与思路[J].教育现代化：电子版，2017，28（7）：0151-0153.
[4]王艺璇.几种数列问题的解题思路与方法[J].新教育时代电子杂志：学生版，2017，34（13）：197-198.