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不等式是高中数学的重要内容和强大工具,在高中数学中应用广泛,有着不可替代的地位.不等式的应用深入到高中数学的每个知识章节,盘根错节,如求函数的定义域,值域,研究函数的性质单调性,利用基本不等式求最值,求变量的范围,比较大小,求数列的最大(小)项,解不等式,不等式恒成立等等许多方面,高中阶段主要研究不等式的求解、证明以及不等式的应用.然而正是由于不等式的强大功能,同学们在处理与不等式有关问题时经常发生一些错误.下面就平时学习中常犯的错误,咱们来一次寻根究底吧.
一、错因探析
(一)不等式的基本性质应用出错
例1 求函数y=x2x2-x+1的值域.
错解:由题:定义域为R,(1)x=0时,y=0;(2)x≠0时,y=1x2-x+1x2=11-1x+1x2=1(1x-12)2+34
∵(1x-12)2+34≥34,∴1(1x-12)2+34≤43,即y≤43.综上:值域为(-∞,43].
错误分析:在由(1x-12)2+34≥34取倒数来求1(1x-12)2+34的范围时,忽略了1(1x-12)2+34>0,即0<1(1x-12)2+34≤43,从而值域为[0,43].
例2 若1α<1β,则α与β的大小关系为 .
错解1:由α的倒数小于β的倒数,所以α>β.
错误分析:忽视了结论若1α<1β,则α>β成立的条件:α与β都必须为正数或都必须为负数.
错解2:由1α<1β,不等式两边同乘以αβ,得到β<α.
错误分析:不等式两边同乘以或除以一个变量或表达式时,变量或表达式符号必须确定,否则要分类讨论.
正确解答:(1)当α,β均为正数时,不等式两边同乘以αβ,得到β<α;(2)当α,β均为负数时,不等式两边同乘以αβ,得到β<α;(3)当α<0,β>0时,不等式成立,∴α<β.
例3 已知x>1,则a=log23x,b=(32)x-1,c=(23)x从大到小的排列为 .
错解:由x>1得a<0,b>1,0 错误分析:正确答案为b>c>a题目要求从大到小排列但许多同学常常审题不清,答非所问.这种按从大到小或从小到大的排列的错误率极高,极让人惋惜.
小结:不等式的基本性质是不等式的求解和证明的基础,学好它意义深远,然而许多同学却重视不够,在应用不等式的性质时会出现一些常见的典型的错误.原因一方面是知识上的缺陷,另一方面在于平时解题错误习惯的养成.前者解决的方法是熟悉并理解常用的基本性质并进行正确的知识迁移,可通过适当练习来完善基础知识.而后者,错误的习惯一旦养成,就是我们一生的敌人.同学们对于这些错误恨之入骨,甚至有些同学每逢考试后垂头顿足,因为常常就是这些错误让分数羞涩,难以面对.对于这类错误,许多同学束手无策,我认为最好的方法是通过不停的强化就能得到根治.就是将这些错误写在你经常能看见的地方如笔记本的扉页上,每当你打开笔记本时,你就能一眼就看到自己的经常犯的错误,从而不断强化,不断改进,慢慢你会发现奇迹正在发生.常见的习惯性错误有:不等式取倒数的范围没考虑另一半的范围,不等式两边同时乘以(或除以)一个变量没考虑变量的符号,同向不等式可以相加却不能相减等等.所谓“吃一堑,长一智”,同学们只有要改掉学习中的错题惯性,总结应试经验,才能百战百胜.
(二)不等式求解出现的错误
例3 求解关于x的不等式-x2+4x+5>0
错解:由题,不等式化为(-x+5)(x+1)>0,∴x<-1或x>5.
错解分析:当二次项系数为负值,在求解时需先转化为正值.本题正确答案是-1 例4 求解关于x的不等式:x2-(a+a2)x+a3<0
错解:原不等式化为(x-a)(x-a2)<0,∴a<x 错因分析:未对两个根a和a2大小分类讨论产生错误.
正确解答:原不等式化为(x-a)(x-a2)<0,(1)若a1时,解得:a (2)若a>a2即0 例5 若(x-1)-2>(2+x)-2,则x的取值范围为 .
错解:由题:1(x-1)2>1(2+x)2,(x-1)2<(2+x)2,解得:x>-12.
错因分析:忽略了不等式成立的条件:x-1≠0,且2+x≠0,即此不等式的正确解答为{x|x>-12,x≠1}.
小结:一元二次不等式的求解在高中数学中应用广泛,是高考的重点、热点,许多不等式问题最终化归为二次不等式问题求解.特别是含参的二次不等式的求解,需对二次项系数,判别式及两个根的大小进行适当分类讨论.因此对于这类问题应强化训练.另外一类求解不等式常犯的错误是忽视不等式存在的前提条件(如例6),在求对数不等式和分式不等式时尤为要突出强化真数,底数等的范围.
(三)应用基本不等式出现的错误
例6 下列不等式中正确的是().
(1)若a,b∈R,则ba+ab≥2ba•ab=2;
(2)若x>0,则cosx+1cosx≥2cosx•1cosx=2
(3)若x<0,则x+4x≤2x•4x=4;
(4)若a,b∈R且ab<0,则ba+ab=-[(-ba)-(-ab)]
≤-2(-ba)•(-ab)=-2.
错因分析:本题着重考察了基本不等式,基本不等式成立的条件:一正二定三相等.许多同学常忽视这些条件造成了错误.(1)成立的条件是a,b须同号;(2)成立的条件是cosx>0;(3)因x<0,所以x+4x≤-2-x•4-x=-4,当且仅当x=-2取“=”;正确的答案是(4).
例7 实数m,n,x,y满足m2+n2=a,x2+y2=b(a≠b),则mx+ny的最大值为 .
错解:由m2+n2=a,x2+y2=b得:m2+n2+x2+y2=a+b
又m2+x2≥2mx,n2+y2≥2ny,∴m2+n2+x2+y2≥2(mx+ny),即a+b≥2(mx+ny),
∴mx+ny≤a+b2,即mx+ny的最大值为a+b2.
错因分析:忽略取等号的条件.要使mx+ny的最大值为a+b2,必须m2+x2≥2mx,n2+y2≥2ny能同时取等号,即必须m=x,n=y,此时m2+n2=x2+y2,即a=b与条件a≠b矛盾,∴mx+ny的最大值取不到a+b2.
正确解答:由题m2+n2=a,x2+y2=b得到:bm2+bn2=ab,ax2+ay2=ab,两式相加∴bm2+bn2+ax2+ay2=2ab,即2ab=bm2+bn2+ax2+ay2≥2ab(mx+ny),当且仅当m=x,n=y取“=”.mx+ny的最大值为ab.
例9 若恒成立,则a的最小值是 .
错解:不能灵活运用基本不等式和平均数的关系.
正确解答:由,即,故a的最小值是.
小结:基本不等式及其变式,均值不等式等一直是高考重点考查内容,其应用极广,同学们在学习时必须弄清不等式成立条件和取等号的条件,尤其要重视和重点强化训练不等式成立的条件,只有这样才能百战不殆.
(四)简单线性规划
例8 若二次函数y=f(x)的图象经过原点,且1≤f(-1)≤2,3≤f(1)≤4,求f(-2)的范围.
错解:将不等式组变形得4≤2a≤61≤2b≤3即2≤a≤312≤b≤32,而f(-2)=4a-2b,8≤4a≤12,-3≤-2b≤-1,所以5≤f(-2)≤11.
错因分析:此题极易由已知二不等式求出的范围,然后再求即的范围,这种解法错在已知两不等式中的等号成立的条件不一定相同,它们表示的区域也不一定相同,用待定系数法则容易避免上述错误.
正确解答:解法一:建立直角坐标系aob,作出不等式组所表示的区域,如图中的阴影部分.因为f(-2)=4a-2b,所以4a-2b-f(-2)=0表示斜率为2的直线系.如图,当直线4a-2b-f(-2)=0过点A(2,1),B(3,1)时,分别取得的最小值6,最大值10.即的取值范围是:6≤f(-2)≤11.
解法二∵f(1)=a+bf(-1)=a-b
∴a=12[f(1)+f(-1)]b=12[f(1)-f(-1)],又f(-2)=4a-2b=3f(-1)+f(1),1≤f(-1)≤2,3≤f(1)≤4①,所以3≤3f(-1)≤6②①+②得6≤3f(-1)+f(1)≤10即6≤3f(-2)≤10.
(五)不等式恒成立和存在性问题的不进行等价转化导致错误
例9 若不等式x+1-x-2>a在上有解,则的取值范围是 .
错解:设y=x+1-x-2得ymax=3,所以a>3.
错因分析:要使原不等式在上有解,只要a小于y=x+1-x-2的最大值即可.本题错误原因是混淆了不等式在上有解和在上恒成立.本题正确答案是a<3.
例10 函数f(x)=ax2+ax+1的值域为一切非负实数,求a的取值范围.
错解:由题:只要ax2+ax+1≥0恒成立,故a=0时,不等式为1>0成立;若a≠0时,只要a>0△≤0,解得0 错因分析:值域为一切非负实数不等价ax2+ax+1≥0恒成立.
正确解答:要使值域为一切非负实数,必须使ax2+ax+1取遍所有正数,若a=0时,ax2+ax+1=1(舍去);若a≠0时,要使ax2+ax+1取遍所有正数,只要a>0△≥0,解得a≥4.综上:a≥4.
小结:像这种定义域为R问题和值域为R问题,不等式有解问题等应进行合理正确转化,防止切入点、思路出错,对二次函数图象与判别式的关系认识不清,误用Δ≥0.正确运用一元二次方程、二次函数和二次不等式之间联系来解决.
(六)不等式的证明放缩方向不一致导致错误
例11 已知:a,b均为正数,且满足a+b=1,求证:(a+2)2+(b+2)2≥252.
错解:(a+2)2+(b+2)2≥2(a+2)(b+2)=8+4(a+b)+2ab=12+2ab
∵ab≤(a+b2)2=1412+2ab≤252,∴(a+2)2+(b+2)2≥252.
错解原因:用放缩法证明不等式时必须保证不等号方向一致性.此题证明方法很多.
正确解答:(a+2)2+(b+2)2=a2+b2+4(a+b)+8=a2+(1-a)2+12=2(a-12)2+252≥252
二、牛刀小试
同学们:错不可怕,可怕的是不能一错再错啊!来吧,挑战自我吧,相信你一定能行!
1.已知1a<1b<0下列结论不正确的是()
(1)a22;(4)a+b>a+b
2.-π2<β<α<π2,则α-β的取值范围是 .
3.求x+1x-1的取值范围.
4.解不等式:log12(x2-3x+1)>0.
5.不等式的解集是 .
6.若不等式ax+x+a<0的解集为Φ,则实数a的取值范围为 .
7.数列{an}的通项式,则数列{an}中的最大项是第 项.
8.(08镇江模拟)定义在R上的函数f(x)满足f(x+2)=-f(x),且当x∈[-1,1]时,f(x)=x3.
(1)求f(x)在[1,5]上的表达式;(2)A={x|f(x)>a,x∈R}且A≠,求实数a的取值范围.
简答:1.4 2.(0,π) 3.(-∞,-1]∪[3,+∞) 4.(0,3-52) 5. 6.a≥12 7.第9项和第10项 8.(1)f(x)=(2-x)3x∈[1,3](x-4)3x∈(3,5](2)a∈(-∞,1).
三、结束语
本篇没有将同学们所发生的错误全部道来,只是管中窥豹,旨在洞悉命题者精心设计的陷阱或常见的雷区,通过例题归纳错误原因,总结解题规律,提高解题能力.错题集是高考成功的绝密武器,错题集是解决“会而不对,对而不全”这个老大难问题的法宝.希望同学们在高三的复习时从题海中跳出,在错题集中“淘金”,这样你才能事半功倍.
一、错因探析
(一)不等式的基本性质应用出错
例1 求函数y=x2x2-x+1的值域.
错解:由题:定义域为R,(1)x=0时,y=0;(2)x≠0时,y=1x2-x+1x2=11-1x+1x2=1(1x-12)2+34
∵(1x-12)2+34≥34,∴1(1x-12)2+34≤43,即y≤43.综上:值域为(-∞,43].
错误分析:在由(1x-12)2+34≥34取倒数来求1(1x-12)2+34的范围时,忽略了1(1x-12)2+34>0,即0<1(1x-12)2+34≤43,从而值域为[0,43].
例2 若1α<1β,则α与β的大小关系为 .
错解1:由α的倒数小于β的倒数,所以α>β.
错误分析:忽视了结论若1α<1β,则α>β成立的条件:α与β都必须为正数或都必须为负数.
错解2:由1α<1β,不等式两边同乘以αβ,得到β<α.
错误分析:不等式两边同乘以或除以一个变量或表达式时,变量或表达式符号必须确定,否则要分类讨论.
正确解答:(1)当α,β均为正数时,不等式两边同乘以αβ,得到β<α;(2)当α,β均为负数时,不等式两边同乘以αβ,得到β<α;(3)当α<0,β>0时,不等式成立,∴α<β.
例3 已知x>1,则a=log23x,b=(32)x-1,c=(23)x从大到小的排列为 .
错解:由x>1得a<0,b>1,0
小结:不等式的基本性质是不等式的求解和证明的基础,学好它意义深远,然而许多同学却重视不够,在应用不等式的性质时会出现一些常见的典型的错误.原因一方面是知识上的缺陷,另一方面在于平时解题错误习惯的养成.前者解决的方法是熟悉并理解常用的基本性质并进行正确的知识迁移,可通过适当练习来完善基础知识.而后者,错误的习惯一旦养成,就是我们一生的敌人.同学们对于这些错误恨之入骨,甚至有些同学每逢考试后垂头顿足,因为常常就是这些错误让分数羞涩,难以面对.对于这类错误,许多同学束手无策,我认为最好的方法是通过不停的强化就能得到根治.就是将这些错误写在你经常能看见的地方如笔记本的扉页上,每当你打开笔记本时,你就能一眼就看到自己的经常犯的错误,从而不断强化,不断改进,慢慢你会发现奇迹正在发生.常见的习惯性错误有:不等式取倒数的范围没考虑另一半的范围,不等式两边同时乘以(或除以)一个变量没考虑变量的符号,同向不等式可以相加却不能相减等等.所谓“吃一堑,长一智”,同学们只有要改掉学习中的错题惯性,总结应试经验,才能百战百胜.
(二)不等式求解出现的错误
例3 求解关于x的不等式-x2+4x+5>0
错解:由题,不等式化为(-x+5)(x+1)>0,∴x<-1或x>5.
错解分析:当二次项系数为负值,在求解时需先转化为正值.本题正确答案是-1
错解:原不等式化为(x-a)(x-a2)<0,∴a<x
正确解答:原不等式化为(x-a)(x-a2)<0,(1)若a
错解:由题:1(x-1)2>1(2+x)2,(x-1)2<(2+x)2,解得:x>-12.
错因分析:忽略了不等式成立的条件:x-1≠0,且2+x≠0,即此不等式的正确解答为{x|x>-12,x≠1}.
小结:一元二次不等式的求解在高中数学中应用广泛,是高考的重点、热点,许多不等式问题最终化归为二次不等式问题求解.特别是含参的二次不等式的求解,需对二次项系数,判别式及两个根的大小进行适当分类讨论.因此对于这类问题应强化训练.另外一类求解不等式常犯的错误是忽视不等式存在的前提条件(如例6),在求对数不等式和分式不等式时尤为要突出强化真数,底数等的范围.
(三)应用基本不等式出现的错误
例6 下列不等式中正确的是().
(1)若a,b∈R,则ba+ab≥2ba•ab=2;
(2)若x>0,则cosx+1cosx≥2cosx•1cosx=2
(3)若x<0,则x+4x≤2x•4x=4;
(4)若a,b∈R且ab<0,则ba+ab=-[(-ba)-(-ab)]
≤-2(-ba)•(-ab)=-2.
错因分析:本题着重考察了基本不等式,基本不等式成立的条件:一正二定三相等.许多同学常忽视这些条件造成了错误.(1)成立的条件是a,b须同号;(2)成立的条件是cosx>0;(3)因x<0,所以x+4x≤-2-x•4-x=-4,当且仅当x=-2取“=”;正确的答案是(4).
例7 实数m,n,x,y满足m2+n2=a,x2+y2=b(a≠b),则mx+ny的最大值为 .
错解:由m2+n2=a,x2+y2=b得:m2+n2+x2+y2=a+b
又m2+x2≥2mx,n2+y2≥2ny,∴m2+n2+x2+y2≥2(mx+ny),即a+b≥2(mx+ny),
∴mx+ny≤a+b2,即mx+ny的最大值为a+b2.
错因分析:忽略取等号的条件.要使mx+ny的最大值为a+b2,必须m2+x2≥2mx,n2+y2≥2ny能同时取等号,即必须m=x,n=y,此时m2+n2=x2+y2,即a=b与条件a≠b矛盾,∴mx+ny的最大值取不到a+b2.
正确解答:由题m2+n2=a,x2+y2=b得到:bm2+bn2=ab,ax2+ay2=ab,两式相加∴bm2+bn2+ax2+ay2=2ab,即2ab=bm2+bn2+ax2+ay2≥2ab(mx+ny),当且仅当m=x,n=y取“=”.mx+ny的最大值为ab.
例9 若恒成立,则a的最小值是 .
错解:不能灵活运用基本不等式和平均数的关系.
正确解答:由,即,故a的最小值是.
小结:基本不等式及其变式,均值不等式等一直是高考重点考查内容,其应用极广,同学们在学习时必须弄清不等式成立条件和取等号的条件,尤其要重视和重点强化训练不等式成立的条件,只有这样才能百战不殆.
(四)简单线性规划
例8 若二次函数y=f(x)的图象经过原点,且1≤f(-1)≤2,3≤f(1)≤4,求f(-2)的范围.
错解:将不等式组变形得4≤2a≤61≤2b≤3即2≤a≤312≤b≤32,而f(-2)=4a-2b,8≤4a≤12,-3≤-2b≤-1,所以5≤f(-2)≤11.
错因分析:此题极易由已知二不等式求出的范围,然后再求即的范围,这种解法错在已知两不等式中的等号成立的条件不一定相同,它们表示的区域也不一定相同,用待定系数法则容易避免上述错误.
正确解答:解法一:建立直角坐标系aob,作出不等式组所表示的区域,如图中的阴影部分.因为f(-2)=4a-2b,所以4a-2b-f(-2)=0表示斜率为2的直线系.如图,当直线4a-2b-f(-2)=0过点A(2,1),B(3,1)时,分别取得的最小值6,最大值10.即的取值范围是:6≤f(-2)≤11.
解法二∵f(1)=a+bf(-1)=a-b
∴a=12[f(1)+f(-1)]b=12[f(1)-f(-1)],又f(-2)=4a-2b=3f(-1)+f(1),1≤f(-1)≤2,3≤f(1)≤4①,所以3≤3f(-1)≤6②①+②得6≤3f(-1)+f(1)≤10即6≤3f(-2)≤10.
(五)不等式恒成立和存在性问题的不进行等价转化导致错误
例9 若不等式x+1-x-2>a在上有解,则的取值范围是 .
错解:设y=x+1-x-2得ymax=3,所以a>3.
错因分析:要使原不等式在上有解,只要a小于y=x+1-x-2的最大值即可.本题错误原因是混淆了不等式在上有解和在上恒成立.本题正确答案是a<3.
例10 函数f(x)=ax2+ax+1的值域为一切非负实数,求a的取值范围.
错解:由题:只要ax2+ax+1≥0恒成立,故a=0时,不等式为1>0成立;若a≠0时,只要a>0△≤0,解得0
正确解答:要使值域为一切非负实数,必须使ax2+ax+1取遍所有正数,若a=0时,ax2+ax+1=1(舍去);若a≠0时,要使ax2+ax+1取遍所有正数,只要a>0△≥0,解得a≥4.综上:a≥4.
小结:像这种定义域为R问题和值域为R问题,不等式有解问题等应进行合理正确转化,防止切入点、思路出错,对二次函数图象与判别式的关系认识不清,误用Δ≥0.正确运用一元二次方程、二次函数和二次不等式之间联系来解决.
(六)不等式的证明放缩方向不一致导致错误
例11 已知:a,b均为正数,且满足a+b=1,求证:(a+2)2+(b+2)2≥252.
错解:(a+2)2+(b+2)2≥2(a+2)(b+2)=8+4(a+b)+2ab=12+2ab
∵ab≤(a+b2)2=1412+2ab≤252,∴(a+2)2+(b+2)2≥252.
错解原因:用放缩法证明不等式时必须保证不等号方向一致性.此题证明方法很多.
正确解答:(a+2)2+(b+2)2=a2+b2+4(a+b)+8=a2+(1-a)2+12=2(a-12)2+252≥252
二、牛刀小试
同学们:错不可怕,可怕的是不能一错再错啊!来吧,挑战自我吧,相信你一定能行!
1.已知1a<1b<0下列结论不正确的是()
(1)a2
2.-π2<β<α<π2,则α-β的取值范围是 .
3.求x+1x-1的取值范围.
4.解不等式:log12(x2-3x+1)>0.
5.不等式的解集是 .
6.若不等式ax+x+a<0的解集为Φ,则实数a的取值范围为 .
7.数列{an}的通项式,则数列{an}中的最大项是第 项.
8.(08镇江模拟)定义在R上的函数f(x)满足f(x+2)=-f(x),且当x∈[-1,1]时,f(x)=x3.
(1)求f(x)在[1,5]上的表达式;(2)A={x|f(x)>a,x∈R}且A≠,求实数a的取值范围.
简答:1.4 2.(0,π) 3.(-∞,-1]∪[3,+∞) 4.(0,3-52) 5. 6.a≥12 7.第9项和第10项 8.(1)f(x)=(2-x)3x∈[1,3](x-4)3x∈(3,5](2)a∈(-∞,1).
三、结束语
本篇没有将同学们所发生的错误全部道来,只是管中窥豹,旨在洞悉命题者精心设计的陷阱或常见的雷区,通过例题归纳错误原因,总结解题规律,提高解题能力.错题集是高考成功的绝密武器,错题集是解决“会而不对,对而不全”这个老大难问题的法宝.希望同学们在高三的复习时从题海中跳出,在错题集中“淘金”,这样你才能事半功倍.