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一、填空题:本大题共14小题,每小题5分,共计70分.
1.已知全集U=R,集合A=x-2 2.已知向量a=(2,-1),b=(6,x),且a∥b,则x的值是 .
3.fx=cosωx-π6的最小正周期为π5,其中ω>0,则ω= .
4.复数z=2i1-i(i为虚数单位)的实部是 .
5.如图,给出幂函数y=xn在第一象限内的图象,n取±2,±12四个值,则相应于曲线C1,C2,C3,C4的n依次为 .
6.若函数y=(x+1)(x-a)为偶函数,则a= .
7.cos(-353π)的值是 .
8.已知复数z1=-1+2i,z2=1-i,z3=3-2i,它们所对应的点分别为A,B,C.若OC=xOA+yOB,则x+y的值是 .
9.设数列an为公比q>1的等比数列,若a4,a5是方程4x2-8x+3=0的两根,则a6+a7= .
10.已知sinα+π6=13,则cos2π3-2α的值等于 .
11.已知下列两个命题:
p:x∈[0,+∞),不等式ax≥x-1恒成立;
q:1是关于x的不等式(x-a)(x-a-1)≤0的一个解.
若两个命题中有且只有一个是真命题,则实数a的取值范围是 .
12.等边△ABC中,P在线段AB上,且AP=λPB,若CP•AB=PB•AC,则实数λ的值是 .
13.已知A(3,3),O是原点,点P(x,y)的坐标满足3x-y<0x-3y+2<0y≥0,则OA•OP|OP|的取值范围为 .
14.已知函数f(x)=(3-a)x-3,x≤7ax-6,x>7,数列an满足an=f(n),n∈N*,且数列an是递增数列,则实数a的取值范围是 .
二、解答题:本大题共6小题,共计90分.
15.设集合A为函数y=ln(-x2-2x+8)的定义域,集合B为函数y=x+1x+1的值域,集合C为不等式(ax-1a)(x+4)≤0的解集.
(Ⅰ)求A∩B;
(Ⅱ)若CCRA,求a的取值范围.
16.在边长为1的正三角形ABC中,E,F分别是边AB,AC上的点,若AE=mAB,AF=nAC,m,n∈(0,1).设EF的中点为M,BC的中点为N.
(Ⅰ)若A,M,N三点共线,求证m=n;
(Ⅱ)若m+n=1,求|MN|的最小值.
17.在△ABC中,cosA=-513,cosB=35.
(Ⅰ)求sinC的值;
(Ⅱ)设BC=5,求△ABC的面积.
18.某工厂有一个容量为300吨的水塔,每天从早上6时起到晚上10时止供应该厂的生产和生活用水,已知该厂生活用水为每小时10吨,工业用水量W(吨)与时间t(小时,且规定早上6时t=0)的函数关系为W=1003t.水塔的进水量分为10级,第一级每小时进水10吨,以后每提高一级,每小时进水量就增加10吨.若某天水塔原有水100吨,在开始供水的同时打开进水管,问进水量选择为第几级时,既能保证该厂的用水(水塔中水不空)又不会使水溢出?
19.已知数列{an}、{bn}中,对任何正整数n都有:
a1bn+a2bn-1+a3bn-2+…+an-1b2+anb1=2n+1-n-2.
(Ⅰ)若数列{an}是首项和公差都是1的等差数列,求证:数列{bn}是等比数列;
(Ⅱ)若数列{bn}是等比数列,数列{an}是否是等差数列,若是,请求出通项公式,若不是请说明理由;
20.已知集合D=(x1,x2)|x1>0,x2>0,x1+x2=k.其中k为正常数.
(Ⅰ)设u=x1x2,求u的取值范围;
(Ⅱ)求证:当k≥1时不等式(1x1-x1)(1x2-x2)≤(k2-2k)2对任意(x1,x2)∈D恒成立;
测试4 参考答案
一、填空题
1.0,2;
2.-3; 3.10; 4.-1; 5.-2,-12,12,2; 6.1;
7.12; 8.5; 9.18; 10.-79; 11.a≤0;
12.2; 13.[-3,3); 14.(2,3).
二、解答题:本大题共6小题,共计90分.
15.解:(Ⅰ)解得A=(-4,2),B=-∞,-3∪1,+∞
所以A∩B=-4,-3∪1,2
(Ⅱ)a的范围为-22≤a<0
16.解:(Ⅰ)由A,M,N三点共线,得AM//AN,
设AM=λANλ∈R,即12(AE+AF)=12λ(AB+AC),
所以mAB+nAC=λ(AB+AC),所以m=n.
(Ⅱ)因为MN=AN-AM=12(AB+AC)-12(AE+AF)=12(1-m)AB+12(1-n)AC,
又m+n=1,所以MN=12(1-m)AB+12mAC,
所以|MN|2=14(1-m)2AB2+14m2AC2+12(1-m)mAB•AC
=14(1-m)2+14m2+14(1-m)m=14(m-12)2+316
故当m=12时,|MN|min=34.
17.(Ⅰ)解:由cosA=-513,得sinA=1213,
由cosB=35,得sinB=45.
所以sinC=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB=1665.
(Ⅱ)解:由正弦定理得AC=BC×sinBsinA=5×451213=133.
所以△ABC的面积S=12×BC×AC×sinC=12×5×133×1665=83.
18.解:设进水量选第x级,则t小时后水塔中水的剩余量为:
y=100+10xt-10t-1003t,且0≤t≤16.
根据题意0 当t>0时,由左边得x>1+10(13t2-1t),令m=13t,由0 记f(t)=1+10(13t2-1t)=1+10m2-10m3,(m≥344)
则f((t)=20m–30m2=0得m=0或m=23.
∵当344≤m<23时,f((t)>0;当m>23时,f((t)<0,
∴所以m=23时(此时t=278)
f(t)最大值=1+10(23)2-10(23)3=6727≈2.48.
当t=278时,1+10(13t2-1t)有最大值2.48.∴x>2.48,即x≥3.
由右边得x≤20t+103t2+1,当t=16时,20t+103t2+1有最小值2016+103162+1
=94+5324∈(3,4).即x≤3.综合上述,进水量应选为第3级.
19.解:(Ⅰ)依题意数列{an}的通项公式是an=n,
故等式即为bn+2bn-1+3bn-2+…+(n-1)b2+nb1=2n+1-n-2,
同时有bn-1+2bn-2+3bn-3+…+(n-2)b2+(n-1)b1=2n-n-1n≥2,
两式相减可得bn+bn-1+…+b2+b1=2n-1
可得数列{bn}的通项公式是bn=2n-1,
知数列{bn}是首项为1,公比为2的等比数列。
(Ⅱ)设等比数列{bn}的首项为b,公比为q,则bn=bqn-1,从而有:
bqn-1a1+bqn-2a2+bqn-3a3+…+bqan-1+ban=2n+1-n-2,
又bqn-2a1+bqn-3a2+bqn-4a3+…+ban-1=2n-n-1n≥2,
故(2n-n-1)q+ban=2n+1-n-2
an=2-qb×2n+q-1b×n+q-2b,
要使an+1-an是与n无关的常数,必需q=2,
即①当等比数列{bn}的公比q=2时,数列{an}是等差数列,其通项公式是an=nb;
②当等比数列{bn}的公比不是2时,数列{an}不是等差数列.
20.(Ⅰ)解:x1x2≤(x1+x22)2=k24,当且仅当x1=x2=k2时等号成立,
故u的取值范围为(0,k24].
(Ⅱ)证明:函数法:(1x1-x1)(1x2-x2)=1x1x2+x1x2-x1x2-x2x1
=x1x2+1x1x2-x21+x22x1x2=x1x2-k2-1x1x2+2=u-k2-1u+2
由0 (1x1-x1)(1x2-x2)=u-k2-1u+2≤k24-k2-1k24+2=k24-2+4k2=(2k-k2)2
即当k≥1时不等式(1x1-x1)(1x2-x2)≤(k2-2k)2成立.
1.已知全集U=R,集合A=x-2
3.fx=cosωx-π6的最小正周期为π5,其中ω>0,则ω= .
4.复数z=2i1-i(i为虚数单位)的实部是 .
5.如图,给出幂函数y=xn在第一象限内的图象,n取±2,±12四个值,则相应于曲线C1,C2,C3,C4的n依次为 .
6.若函数y=(x+1)(x-a)为偶函数,则a= .
7.cos(-353π)的值是 .
8.已知复数z1=-1+2i,z2=1-i,z3=3-2i,它们所对应的点分别为A,B,C.若OC=xOA+yOB,则x+y的值是 .
9.设数列an为公比q>1的等比数列,若a4,a5是方程4x2-8x+3=0的两根,则a6+a7= .
10.已知sinα+π6=13,则cos2π3-2α的值等于 .
11.已知下列两个命题:
p:x∈[0,+∞),不等式ax≥x-1恒成立;
q:1是关于x的不等式(x-a)(x-a-1)≤0的一个解.
若两个命题中有且只有一个是真命题,则实数a的取值范围是 .
12.等边△ABC中,P在线段AB上,且AP=λPB,若CP•AB=PB•AC,则实数λ的值是 .
13.已知A(3,3),O是原点,点P(x,y)的坐标满足3x-y<0x-3y+2<0y≥0,则OA•OP|OP|的取值范围为 .
14.已知函数f(x)=(3-a)x-3,x≤7ax-6,x>7,数列an满足an=f(n),n∈N*,且数列an是递增数列,则实数a的取值范围是 .
二、解答题:本大题共6小题,共计90分.
15.设集合A为函数y=ln(-x2-2x+8)的定义域,集合B为函数y=x+1x+1的值域,集合C为不等式(ax-1a)(x+4)≤0的解集.
(Ⅰ)求A∩B;
(Ⅱ)若CCRA,求a的取值范围.
16.在边长为1的正三角形ABC中,E,F分别是边AB,AC上的点,若AE=mAB,AF=nAC,m,n∈(0,1).设EF的中点为M,BC的中点为N.
(Ⅰ)若A,M,N三点共线,求证m=n;
(Ⅱ)若m+n=1,求|MN|的最小值.
17.在△ABC中,cosA=-513,cosB=35.
(Ⅰ)求sinC的值;
(Ⅱ)设BC=5,求△ABC的面积.
18.某工厂有一个容量为300吨的水塔,每天从早上6时起到晚上10时止供应该厂的生产和生活用水,已知该厂生活用水为每小时10吨,工业用水量W(吨)与时间t(小时,且规定早上6时t=0)的函数关系为W=1003t.水塔的进水量分为10级,第一级每小时进水10吨,以后每提高一级,每小时进水量就增加10吨.若某天水塔原有水100吨,在开始供水的同时打开进水管,问进水量选择为第几级时,既能保证该厂的用水(水塔中水不空)又不会使水溢出?
19.已知数列{an}、{bn}中,对任何正整数n都有:
a1bn+a2bn-1+a3bn-2+…+an-1b2+anb1=2n+1-n-2.
(Ⅰ)若数列{an}是首项和公差都是1的等差数列,求证:数列{bn}是等比数列;
(Ⅱ)若数列{bn}是等比数列,数列{an}是否是等差数列,若是,请求出通项公式,若不是请说明理由;
20.已知集合D=(x1,x2)|x1>0,x2>0,x1+x2=k.其中k为正常数.
(Ⅰ)设u=x1x2,求u的取值范围;
(Ⅱ)求证:当k≥1时不等式(1x1-x1)(1x2-x2)≤(k2-2k)2对任意(x1,x2)∈D恒成立;
测试4 参考答案
一、填空题
1.0,2;
2.-3; 3.10; 4.-1; 5.-2,-12,12,2; 6.1;
7.12; 8.5; 9.18; 10.-79; 11.a≤0;
12.2; 13.[-3,3); 14.(2,3).
二、解答题:本大题共6小题,共计90分.
15.解:(Ⅰ)解得A=(-4,2),B=-∞,-3∪1,+∞
所以A∩B=-4,-3∪1,2
(Ⅱ)a的范围为-22≤a<0
16.解:(Ⅰ)由A,M,N三点共线,得AM//AN,
设AM=λANλ∈R,即12(AE+AF)=12λ(AB+AC),
所以mAB+nAC=λ(AB+AC),所以m=n.
(Ⅱ)因为MN=AN-AM=12(AB+AC)-12(AE+AF)=12(1-m)AB+12(1-n)AC,
又m+n=1,所以MN=12(1-m)AB+12mAC,
所以|MN|2=14(1-m)2AB2+14m2AC2+12(1-m)mAB•AC
=14(1-m)2+14m2+14(1-m)m=14(m-12)2+316
故当m=12时,|MN|min=34.
17.(Ⅰ)解:由cosA=-513,得sinA=1213,
由cosB=35,得sinB=45.
所以sinC=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB=1665.
(Ⅱ)解:由正弦定理得AC=BC×sinBsinA=5×451213=133.
所以△ABC的面积S=12×BC×AC×sinC=12×5×133×1665=83.
18.解:设进水量选第x级,则t小时后水塔中水的剩余量为:
y=100+10xt-10t-1003t,且0≤t≤16.
根据题意0
则f((t)=20m–30m2=0得m=0或m=23.
∵当344≤m<23时,f((t)>0;当m>23时,f((t)<0,
∴所以m=23时(此时t=278)
f(t)最大值=1+10(23)2-10(23)3=6727≈2.48.
当t=278时,1+10(13t2-1t)有最大值2.48.∴x>2.48,即x≥3.
由右边得x≤20t+103t2+1,当t=16时,20t+103t2+1有最小值2016+103162+1
=94+5324∈(3,4).即x≤3.综合上述,进水量应选为第3级.
19.解:(Ⅰ)依题意数列{an}的通项公式是an=n,
故等式即为bn+2bn-1+3bn-2+…+(n-1)b2+nb1=2n+1-n-2,
同时有bn-1+2bn-2+3bn-3+…+(n-2)b2+(n-1)b1=2n-n-1n≥2,
两式相减可得bn+bn-1+…+b2+b1=2n-1
可得数列{bn}的通项公式是bn=2n-1,
知数列{bn}是首项为1,公比为2的等比数列。
(Ⅱ)设等比数列{bn}的首项为b,公比为q,则bn=bqn-1,从而有:
bqn-1a1+bqn-2a2+bqn-3a3+…+bqan-1+ban=2n+1-n-2,
又bqn-2a1+bqn-3a2+bqn-4a3+…+ban-1=2n-n-1n≥2,
故(2n-n-1)q+ban=2n+1-n-2
an=2-qb×2n+q-1b×n+q-2b,
要使an+1-an是与n无关的常数,必需q=2,
即①当等比数列{bn}的公比q=2时,数列{an}是等差数列,其通项公式是an=nb;
②当等比数列{bn}的公比不是2时,数列{an}不是等差数列.
20.(Ⅰ)解:x1x2≤(x1+x22)2=k24,当且仅当x1=x2=k2时等号成立,
故u的取值范围为(0,k24].
(Ⅱ)证明:函数法:(1x1-x1)(1x2-x2)=1x1x2+x1x2-x1x2-x2x1
=x1x2+1x1x2-x21+x22x1x2=x1x2-k2-1x1x2+2=u-k2-1u+2
由0
即当k≥1时不等式(1x1-x1)(1x2-x2)≤(k2-2k)2成立.