论文部分内容阅读
摘要:数列是高考中必考内容,而数列的求和又是数列问题的核心部分,本文将介绍高考中几种常用的数列求和方法,供参考。
关键词:数列求和;方法
一、分组求和法
对于既不是等差数列,又不是等比数列的一类数列,若将数列的项进行适当地拆分,平分成等差数列、等比数列或常数列,然后求和。
例1(2015高考福建,文17)等差数列 中,
(1)求数列 的通项公式;
(2)设 ,求 的值。
解:(1)设等差数列 的公差为 ,由已知,得
(2)由(1)得 ,所以
点评:在求和时,首先要观察数列通项公式的形式,如果它能拆分成几部分的和,并拆分的数列是等差、等比或常数列,则可以重新分组,求出每一部分的和,再整体求和。
二、错位相减法
如果数列 为等差数列, 为等比数列,则在求数列 和 的和时,在已知和式的两边同时乘以等比数列的公比 后,与原数列的和作差,即, 然后求 即可。
例2(2015高考天津,文18)已知 是各项均为正数的等比数列, 是等差数列,且 , , 。
(1)求 和 的通項公式;(2)设 ,求数列 的前 项和。
解:设 的公比为 , 的公差为 ,由题意 ,由已知,有
消去 得, ,解得 。
所以数列 的通项公式为 , 的通项为 。
(2)由(1)有, ,设 的前 项和为 ,则
两式相减,得
所以,
点评:错位相减法步骤①在等式的两边同乘以等比数列的公比;②将两个等式错位相减;③利用等比数列求和公式求和,再整理即可。
三、裂项相消法
把数列的通项公式拆成两项之差,相加过程中消去中间项,只剩有限项再求和。
例3(2017高考新课标,文,17)设数列 满足 ,
(1)求数列 的通项公式;(2)求数列 的前 项和。
解:(1)
时,
两式相减得, ,
又 时, 适合上式,
(2)由(1)得
点评:此方法适用于通项为几个因式的积,且这几个因式成等差数列。
常见的拆项公式:1. 2.
3. 4.
四、公式法
如果数列是等差或等比数列,可由求和公式直接求和。
例4(2017高考北京,文15)已知等差数列 和等比数列 满足 ,
, .
(1)求 的通项公式;(2)求和:
解:(1)设数列 的公差为 ,则 ,所以 .
所以, .
(2)设数列 的公比为 ,由 ,得 ,所以 .
所以 是以 为首项, 为公比的等比数列,所以
点评:利用公式法求解时,要准确求出数列的通项公式,确定数列的类型,利用公式直接求和.
五、结束语
以上主要介绍了数列求和的几种常见方法,在求解数列问题时,首先要观察数列的特点,对其进行观察分析,选择恰当的方法进行求解,这样可以达到事半功倍的效果。
(作者单位:黑龙江省五大连池市实验中学)
关键词:数列求和;方法
一、分组求和法
对于既不是等差数列,又不是等比数列的一类数列,若将数列的项进行适当地拆分,平分成等差数列、等比数列或常数列,然后求和。
例1(2015高考福建,文17)等差数列 中,
(1)求数列 的通项公式;
(2)设 ,求 的值。
解:(1)设等差数列 的公差为 ,由已知,得
(2)由(1)得 ,所以
点评:在求和时,首先要观察数列通项公式的形式,如果它能拆分成几部分的和,并拆分的数列是等差、等比或常数列,则可以重新分组,求出每一部分的和,再整体求和。
二、错位相减法
如果数列 为等差数列, 为等比数列,则在求数列 和 的和时,在已知和式的两边同时乘以等比数列的公比 后,与原数列的和作差,即, 然后求 即可。
例2(2015高考天津,文18)已知 是各项均为正数的等比数列, 是等差数列,且 , , 。
(1)求 和 的通項公式;(2)设 ,求数列 的前 项和。
解:设 的公比为 , 的公差为 ,由题意 ,由已知,有
消去 得, ,解得 。
所以数列 的通项公式为 , 的通项为 。
(2)由(1)有, ,设 的前 项和为 ,则
两式相减,得
所以,
点评:错位相减法步骤①在等式的两边同乘以等比数列的公比;②将两个等式错位相减;③利用等比数列求和公式求和,再整理即可。
三、裂项相消法
把数列的通项公式拆成两项之差,相加过程中消去中间项,只剩有限项再求和。
例3(2017高考新课标,文,17)设数列 满足 ,
(1)求数列 的通项公式;(2)求数列 的前 项和。
解:(1)
时,
两式相减得, ,
又 时, 适合上式,
(2)由(1)得
点评:此方法适用于通项为几个因式的积,且这几个因式成等差数列。
常见的拆项公式:1. 2.
3. 4.
四、公式法
如果数列是等差或等比数列,可由求和公式直接求和。
例4(2017高考北京,文15)已知等差数列 和等比数列 满足 ,
, .
(1)求 的通项公式;(2)求和:
解:(1)设数列 的公差为 ,则 ,所以 .
所以, .
(2)设数列 的公比为 ,由 ,得 ,所以 .
所以 是以 为首项, 为公比的等比数列,所以
点评:利用公式法求解时,要准确求出数列的通项公式,确定数列的类型,利用公式直接求和.
五、结束语
以上主要介绍了数列求和的几种常见方法,在求解数列问题时,首先要观察数列的特点,对其进行观察分析,选择恰当的方法进行求解,这样可以达到事半功倍的效果。
(作者单位:黑龙江省五大连池市实验中学)