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摘 要:从平时教学中能体会到学生有构造法的意识,却没有构造法系统的归纳与方法,因此学生经常在解题过程中碰到阻碍。从而本文归纳了几种常见的构造法,并讲解如何建立条件与构造对象的联系来获得构造的思路,以便学生更好地掌握构造法,使构造法在解题中发挥出创造性的作用,同时培养学生的解题能力,减轻学生的学习负担。
关键词:构造法;初中数学;创造性;解题能力;思路分析
引言
我在进行八年级上册第四章 《平面直角坐标系》教学时,发现很大部分同学对求两点之间的距离问题感到迷茫与不解。例如:已知O为坐标原点,点A坐标为(1,2),点B坐标为(-1,4),请求线段OA、AB的长?
部分同学可能会直接求OA的长,即一个点到坐标原点的距离,却不知道任意两点之间的距离,只能说明这些同学是靠记公式求得OA的长,而并非正真理解求两点之间距离的知识本源。其实,此题主要是要求学生掌握直角三角形的构造,再利用勾股定理求出AB的长。但是,我们的学生往往缺乏利用构造法解决问题的思想,因此对类似的题目感到毫无头绪。所以,我就对初中阶段的几种构造方法做了简单的归纳,以帮助学生能初步形成构造思想。
正文
首先,我主要通过有限的几个例题,来分析各问题的特点和性质,然后建立与构造对象之间的联系,进而获取构造思路,达到灵活应用构造法解题的目的。
1 构造图形
著名数学家华罗庚教授说过:“数与形,本是相倚依。”一般来讲,代数的问题比较抽象,若能通过构造将之合理转化为几何问题,利用“数形结合”这一重要思想方法沟通代数与几何的关系,往往可增强问题的直观性,使解答事半功倍,实现难题巧解。巧用构造图形不仅可以提升学生数形互用的能力,而且还对培养学生探究能力和建模能力有积极作用。
例1:已知 , ,求证:
思路分析:刚看见此题,貌似很难找到突破口,但是我们观察左式的形式 与两点间的距离公式很像,不难联想到将不等式的左边看成点 分别到四个点 距离的和。
证明:把不等式左边看成是点 到四个点 距离的和,描出各点,如图所示:不等式左式=AE+BE+CE+DE,且由三角形三边关系可得:AE+CE AC(当E在AC上时,取到等号),BE+DE BD(当E在BD上时,取到等号),所以不等式左式 AC+BD(当E既在AC上又在BD上,取到等号)。
因为AC= ,BD= ,所以
例2:已知 , , 为正数, ,求 的最大值。
思路分析:本题很难从已知条件中的式子通过放缩变形得到目标函数,也难以用线性规划的知识构造出已知的区域,那么我们需要思考该如何得到目标函数,这是我们解决本题的关键所在。我们首先分析条件: , , 为正数,而且存在 , ,根据对称关系,那么显然也存在 。根据切线长定理,我们可以将 , , 看成是一个有内切圆的三角形的三条边,从而构造得一个三角形。那么目标函数中的各元素可以借助三角形性质得以转化,从而求出目标函数的最大值。
解:以 , , 为三条边构造出一个三角形,然后根据切线长定理知道该三角形必有一个内切圆,如图所示:
为方便表示,我们令 , , ,根据海伦公式知
,其中
,即目标函数=
又 ,
,
当且仅当 时,即 取到最大值。
当 , ,
最大值是1。
2 构造方程
通过构造方程,我们建立了已知量与未知量之间的联系,从而沟通了问题的条件与结论,使问题转化为求未知量,这就是我们所用的构造方程法。该法避免了学生对于一些复杂的数量关系的逆向思维,而是可以直接地、正面地构造方程,从而转化条件与结论的联系,也使一些隐含条件明朗化,从而能更加快捷有效地解决问题,因此方程思想能为广大的学生所接受。
例1:已知 ,求证:
思路分析:首先我们可以根据问题中未知量的对称性可知,只要求出其中的一个未知量的范围即可。接着我们可以由条件中的形式出发,得到用其中的一个量来表示 和 ,即 。而且据我们所知,要沟通 和 ,可借助完全平方公式得到 ,所以 。已知 ,通过韦达定理构造出以 为两根的二次方程 ,同时 是其两根。由根的存在性的判定得到结论。
证明:我们由条件可得:
借助完全平方公式 ,
得 。
通过韦达定理构造出一个关于 的二次方程 ,同时 是其两根。
由根的存在性得到结论: ,解得 。
同理可得 范围,所以 。
3 构造数学模型
构造数学模型就是将问题的条件和结论放到一个具体的现实背景中,将其转化为所构造的模型的相关问题。构造数学模型可以渗透数学思想,也使某些数学理论变得更加鲜活,更加明确,从而减轻了学生的学习压力,使学生快乐地学习,这些都符合新课程标准对数学教学的要求。
例:求方程 有多少组正整数解?
思路分析:我们发现该方程的各解都是正整数,与我们现实生活中的数学非常类似,因此我们转换背景,构造模型:12个形状、大小、颜色完全相同的球,任意放入五个不同的盒子中,问共有多少种放法?由题可知,一种放法对应着方程的一组解;反之,方程的任一组正整数解也对应着球在盒中的一种放法,从而问题转化为排列组合问题。
解:我们构造出模型:12个形状、大小、颜色完全相同的球,任意放入五個不同的盒子中,问共有多少种放法?
我们将12个完全相同的球排成一列,在它们之间形成的11个间隙中任意插入4块隔板,把球分成5堆,每一种分法所得5堆球的各堆球的数目,依次对应为a、b、c、d、e的一组正整解。 故原方程的正整数解的组数共有 。
总结语
以上是构造法在中学数学中的几种应用,着重强调的是各种构造法应用的思路分析,在这里只是抛砖引玉,希望能以此引起足够的反思和重视。
新课程为我们提出了新的课程目标,在解题的过程中要善于观察,善于发现,不墨守成规,大胆去探求解题的最佳途径。创新思维是整个创新活动的关键,敏锐的观察力,创造性的想象,独特的知识结构及活跃的灵感是其基本特征。这种创新思维能保证学生顺利地解决问题,高水平地掌握知识,并能把知识广泛地运用到解决问题上来。而构造法正是从这方面来训练学生思维,使学生的思维由单一型转变为多角度型,显得积极灵活,从而培养学生创新思维。在运用构造法时,一定要明确构造的目的,也就是说为什么目的而构造;二要弄清楚问题的特点,以便依据特点确定方案,实现构造。
从以上各例不难看出,构造法是一种极富技巧性和创造性的解题方法,它体现了数学中发现、类比、化归的思想,也渗透着猜想、探索、特殊化等重要的数学方法。构造法解题重在“构造”,它可以构造图形、方程、函数以及其它对象,就会促使学生更加熟悉几何、代数、三角等基本知识技能,并多方设法加以综合利用,这对学生的多元思维培养、学习兴趣的提高以及钻研独创精神的发挥十分有利。因此,在解题教学时,若能启发学生从多角度、多渠道进行广泛的联想,则能得到许多构思巧妙,新颖独特,简捷有效的解题方法,而且还能加强学生对知识的理解,培养思维的灵活性,提高学生自主分析问题的能力。所以“构造法”作为一种重要的化归手段,在数学解题中有着广泛的作用。运用构造法解数学题,不仅可从中欣赏到数学之美,还能感受到解题之乐,更重要的是可开拓思维空间,启迪智慧,并对培养多元化思维和创新精神大有裨益。
希望本文对构造法在中学数学中的应用的研究,可以引導深受构造困惑的广大学子有所感悟,从而感受到构造法解题的优势所在,体会到构造法呈现的数学之美,增强他们学习数学的兴趣。
参考文献
[1] 姚祥江,施建昌.重水复疑无路,巧用构造辟蹊径[J].教学金刊,2004,7(11):30~31.
[2] 王平,李明鸿.构造图形证明不等式[J].河北理科教学研究,2009,11(5):49~50.
关键词:构造法;初中数学;创造性;解题能力;思路分析
引言
我在进行八年级上册第四章 《平面直角坐标系》教学时,发现很大部分同学对求两点之间的距离问题感到迷茫与不解。例如:已知O为坐标原点,点A坐标为(1,2),点B坐标为(-1,4),请求线段OA、AB的长?
部分同学可能会直接求OA的长,即一个点到坐标原点的距离,却不知道任意两点之间的距离,只能说明这些同学是靠记公式求得OA的长,而并非正真理解求两点之间距离的知识本源。其实,此题主要是要求学生掌握直角三角形的构造,再利用勾股定理求出AB的长。但是,我们的学生往往缺乏利用构造法解决问题的思想,因此对类似的题目感到毫无头绪。所以,我就对初中阶段的几种构造方法做了简单的归纳,以帮助学生能初步形成构造思想。
正文
首先,我主要通过有限的几个例题,来分析各问题的特点和性质,然后建立与构造对象之间的联系,进而获取构造思路,达到灵活应用构造法解题的目的。
1 构造图形
著名数学家华罗庚教授说过:“数与形,本是相倚依。”一般来讲,代数的问题比较抽象,若能通过构造将之合理转化为几何问题,利用“数形结合”这一重要思想方法沟通代数与几何的关系,往往可增强问题的直观性,使解答事半功倍,实现难题巧解。巧用构造图形不仅可以提升学生数形互用的能力,而且还对培养学生探究能力和建模能力有积极作用。
例1:已知 , ,求证:
思路分析:刚看见此题,貌似很难找到突破口,但是我们观察左式的形式 与两点间的距离公式很像,不难联想到将不等式的左边看成点 分别到四个点 距离的和。
证明:把不等式左边看成是点 到四个点 距离的和,描出各点,如图所示:不等式左式=AE+BE+CE+DE,且由三角形三边关系可得:AE+CE AC(当E在AC上时,取到等号),BE+DE BD(当E在BD上时,取到等号),所以不等式左式 AC+BD(当E既在AC上又在BD上,取到等号)。
因为AC= ,BD= ,所以
例2:已知 , , 为正数, ,求 的最大值。
思路分析:本题很难从已知条件中的式子通过放缩变形得到目标函数,也难以用线性规划的知识构造出已知的区域,那么我们需要思考该如何得到目标函数,这是我们解决本题的关键所在。我们首先分析条件: , , 为正数,而且存在 , ,根据对称关系,那么显然也存在 。根据切线长定理,我们可以将 , , 看成是一个有内切圆的三角形的三条边,从而构造得一个三角形。那么目标函数中的各元素可以借助三角形性质得以转化,从而求出目标函数的最大值。
解:以 , , 为三条边构造出一个三角形,然后根据切线长定理知道该三角形必有一个内切圆,如图所示:
为方便表示,我们令 , , ,根据海伦公式知
,其中
,即目标函数=
又 ,
,
当且仅当 时,即 取到最大值。
当 , ,
最大值是1。
2 构造方程
通过构造方程,我们建立了已知量与未知量之间的联系,从而沟通了问题的条件与结论,使问题转化为求未知量,这就是我们所用的构造方程法。该法避免了学生对于一些复杂的数量关系的逆向思维,而是可以直接地、正面地构造方程,从而转化条件与结论的联系,也使一些隐含条件明朗化,从而能更加快捷有效地解决问题,因此方程思想能为广大的学生所接受。
例1:已知 ,求证:
思路分析:首先我们可以根据问题中未知量的对称性可知,只要求出其中的一个未知量的范围即可。接着我们可以由条件中的形式出发,得到用其中的一个量来表示 和 ,即 。而且据我们所知,要沟通 和 ,可借助完全平方公式得到 ,所以 。已知 ,通过韦达定理构造出以 为两根的二次方程 ,同时 是其两根。由根的存在性的判定得到结论。
证明:我们由条件可得:
借助完全平方公式 ,
得 。
通过韦达定理构造出一个关于 的二次方程 ,同时 是其两根。
由根的存在性得到结论: ,解得 。
同理可得 范围,所以 。
3 构造数学模型
构造数学模型就是将问题的条件和结论放到一个具体的现实背景中,将其转化为所构造的模型的相关问题。构造数学模型可以渗透数学思想,也使某些数学理论变得更加鲜活,更加明确,从而减轻了学生的学习压力,使学生快乐地学习,这些都符合新课程标准对数学教学的要求。
例:求方程 有多少组正整数解?
思路分析:我们发现该方程的各解都是正整数,与我们现实生活中的数学非常类似,因此我们转换背景,构造模型:12个形状、大小、颜色完全相同的球,任意放入五个不同的盒子中,问共有多少种放法?由题可知,一种放法对应着方程的一组解;反之,方程的任一组正整数解也对应着球在盒中的一种放法,从而问题转化为排列组合问题。
解:我们构造出模型:12个形状、大小、颜色完全相同的球,任意放入五個不同的盒子中,问共有多少种放法?
我们将12个完全相同的球排成一列,在它们之间形成的11个间隙中任意插入4块隔板,把球分成5堆,每一种分法所得5堆球的各堆球的数目,依次对应为a、b、c、d、e的一组正整解。 故原方程的正整数解的组数共有 。
总结语
以上是构造法在中学数学中的几种应用,着重强调的是各种构造法应用的思路分析,在这里只是抛砖引玉,希望能以此引起足够的反思和重视。
新课程为我们提出了新的课程目标,在解题的过程中要善于观察,善于发现,不墨守成规,大胆去探求解题的最佳途径。创新思维是整个创新活动的关键,敏锐的观察力,创造性的想象,独特的知识结构及活跃的灵感是其基本特征。这种创新思维能保证学生顺利地解决问题,高水平地掌握知识,并能把知识广泛地运用到解决问题上来。而构造法正是从这方面来训练学生思维,使学生的思维由单一型转变为多角度型,显得积极灵活,从而培养学生创新思维。在运用构造法时,一定要明确构造的目的,也就是说为什么目的而构造;二要弄清楚问题的特点,以便依据特点确定方案,实现构造。
从以上各例不难看出,构造法是一种极富技巧性和创造性的解题方法,它体现了数学中发现、类比、化归的思想,也渗透着猜想、探索、特殊化等重要的数学方法。构造法解题重在“构造”,它可以构造图形、方程、函数以及其它对象,就会促使学生更加熟悉几何、代数、三角等基本知识技能,并多方设法加以综合利用,这对学生的多元思维培养、学习兴趣的提高以及钻研独创精神的发挥十分有利。因此,在解题教学时,若能启发学生从多角度、多渠道进行广泛的联想,则能得到许多构思巧妙,新颖独特,简捷有效的解题方法,而且还能加强学生对知识的理解,培养思维的灵活性,提高学生自主分析问题的能力。所以“构造法”作为一种重要的化归手段,在数学解题中有着广泛的作用。运用构造法解数学题,不仅可从中欣赏到数学之美,还能感受到解题之乐,更重要的是可开拓思维空间,启迪智慧,并对培养多元化思维和创新精神大有裨益。
希望本文对构造法在中学数学中的应用的研究,可以引導深受构造困惑的广大学子有所感悟,从而感受到构造法解题的优势所在,体会到构造法呈现的数学之美,增强他们学习数学的兴趣。
参考文献
[1] 姚祥江,施建昌.重水复疑无路,巧用构造辟蹊径[J].教学金刊,2004,7(11):30~31.
[2] 王平,李明鸿.构造图形证明不等式[J].河北理科教学研究,2009,11(5):49~50.